中小学教育资源及组卷应用平台
四边形 单元综合模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图 ， 在五边形 中， 分别 是 ， 的外角， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，两把完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE 为菱形，下列选项中，错误的是（ ）
A．BD=AE B．CB=BF
C．BE⊥CF D．BA 平分∠CBF
3．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．AD∥BC B．OA＝OC C．AB＝CD D．AB＝AD
4．如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6.若∠B=45°，则 ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．12 D．24
5．已知三角形纸片 ，其中 ，将这个角剪去后得到四边形 ，则这个四边形的两个内角 与 的和等于（ ）
A．235° B．225° C．215° D．135°
6．如图，在△ABC中以AC， BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M。若∠ACB=120°，AC=3，BC=2，则MD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．顺次连结菱形四边中点得到的四边形是 （ ）
A．一般的平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．只有一组对边平行的四边形
8．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF。下列结论正确的是（ ）
A．CE= B．EF=
C．cos∠CEP= D．HF2=EF·CF
10．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．24 B．9 C．20 D．16
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图， 为射线 上任意一点， 连结 ． 以 为邻边作平行四边形 ， 连结 ，则线段 的最小值为 ．
12．如图所示，在菱形ABCD 中，∠C=108°，AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB= .
13．如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则的值为 ．
14．如图，平行四边形ABCD中，BD=2AD，AC与BD相交于点O，E为OA中点，F为OB中点，M为DC中点；①DE⊥AO；②FM⊥AC；③∠BAC=∠ACF；④四边形EFCM为正方形．其中正确的有 （填序号）
15．如图，在四边形 中，点P是对角线 的中点，点E、F分别是 、 的中点， ， ，则 的度数是 ．
16．如图，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，与交于点．已知，．有以下四个结论：
①；②；③；④若，则的面积为．
以上结论中正确的是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长．
18．如图，已知点 是四边形 的外角 和外角 的平分线的交点.若 ， ，求 的度数.
19．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ， .求矩形的对角线长.
20．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
21．如图，在四边形ABCD中，点B 与点 D 关于直线AC 对称，连接 BD 交 AC 于点 O，E 为AC上一点，OE=OC，连接BE，DE.
（1）求证：四边形 EBCD 为菱形；
（2）若 AE=DE，∠BAE=15°，BD=6，求 AC的长.
22．如图，在平行四边形中，E为边上一点，F在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，点E为的中点，求的长．
23．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，平分，求的长．
24．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
25．如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
四边形 单元综合模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图 ， 在五边形 中， 分别 是 ， 的外角， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AE∥CD
∴∠E+∠D=180°
则∠E和∠D的外角之和为180°
∵多边形外角和为360°
∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°
故答案为：C.
【分析】由平行得∠E+∠D=180°，则∠E和∠D的外角之和为180°，根据多边形外角和为360°，即可求得答案.
2．如图，两把完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动，可以添加一个条件，使四边形CBFE 为菱形，下列选项中，错误的是（ ）
A．BD=AE B．CB=BF
C．BE⊥CF D．BA 平分∠CBF
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
A、，
，
，
四边形CBFE是平行四边形，A错误；
B、四边形CBFE是平行四边形，，
四边形CBFE是菱形，B正确；
C、四边形CBFE是平行四边形，，
四边形CBFE是菱形，C正确；
D、平分，
，
，
，
，
，
四边形CBFE是平行四边形，
四边形CBFE是菱形，D正确.
故答案为：A.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A．AD∥BC B．OA＝OC C．AB＝CD D．AB＝AD
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在 中，∴AD∥BC，所以A选项的结论正确；
B、在 中，∴OA＝OC，所以B选项的结论正确；
C、在 中，AB＝CD，所以C选项的结论正确；
D、在 中，得不出AB＝AD，所以D选项的结论错误.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可判断A、C、D的正误；根据平行四边形的对角线互相平分可判断B的正误.
4．如图，在 ABCD中，AB=4，BC=6.若∠B=45°，则 ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．12 D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°，
∵∠B=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
∴2AE2=AB2即2AE2=16，
解之：，
∴平行四边形ABCD的面积为.
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，易证△AEB是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AE的长；然后利用平行四边形的面积公式求出结果.
5．已知三角形纸片 ，其中 ，将这个角剪去后得到四边形 ，则这个四边形的两个内角 与 的和等于（ ）
A．235° B．225° C．215° D．135°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴∠BDE+∠BED=180°-45°=135°
又∵∠BDE与∠ADE互补、∠BED与∠DEF互补
∴∠BDE+∠ADE+∠BED+∠DEF=360°，即 + =360°-135°=225°．
故答案为B．
【分析】先由三角形内角和定理结合∠B的度数即可得出∠BDE+∠BED的度数，再根据∠BDE与∠ADE互补、∠BED与∠DEF互补，即∠BDE+∠ADE+∠BED+∠DEF=360°，即可求得 + 的大小．
6．如图，在△ABC中以AC， BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M。若∠ACB=120°，AC=3，BC=2，则MD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，
∴∠FQC=∠DNC=∠DPC=90°，
∵∠ACB＝120°，正方形ACFG，正方形BCDE，
∴∠ACF＝∠BCD＝90°，BD=CD，
∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，
又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，
∴CN＝DF＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，
∴DN= ；
在Rt△DFN中，
；
∵CH⊥AB，
∴∠CHB=∠CPD=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠CBH+∠BCH=90°，
∴∠DCP=∠CBH，
在△DCP和△CBH中
∴△DCP≌△CBH（ASA）
∴DP=CH，
同理可知：△ACH≌△CFQ，
∴∴FQ＝CH，
∴FQ＝DP，
∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，
∴△FQM≌△DPM（AAS），
∴FM＝DM，
∴M是FD的中点，
∴MD= DF= .
故答案为：A.
【分析】过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，利用垂直的定义可证得∠FQC=∠DNC=∠DPC=90°，利用正方形的性质可得到∠ACF＝∠BCD＝90°，BD=CD，由∠ACB的度数可求出∠DCN，∠CDN的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CN，DF的长；再利用勾股定理求出DN的长及DF的长；利用余角的性质可证得∠DCP=∠CBH，利用ASA证明△DCP≌△CBH，△ACH≌△CFQ，利用全等三角形的对应边相等可得到DP=CH=FQ；利用AAS证明△FQM≌△DPM可推出FM=DM，由此可求出MD的长.
7．顺次连结菱形四边中点得到的四边形是 （ ）
A．一般的平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．只有一组对边平行的四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：画出图形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论.
∴
同理：FG⊥HG， GH⊥EH，HE⊥EF，
∴ 四边形EFGH是矩形.
故选C.
【分析】用菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理即可解本题.
8．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
平分，于点H，
，，
和是等腰直角三角形，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，
故正确，
，
，
，，
，，
∴平分；
故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
连接．
，
，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：D．
【分析】根据角平分线的定义得到，即可得到和是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得到，即可判断①；根据AAS得到和全等，根据全等三角形的性质得到，再根据等边对等角得到，进而求出判断；求出，然后利用等角对等边得到，判断；连接，根据全等三角形的对应边相等得到，即可得到判断④解答即可．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF。下列结论正确的是（ ）
A．CE= B．EF=
C．cos∠CEP= D．HF2=EF·CF
【答案】D
【解析】【解答】解：连接EH。
在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，AB∥CD，AB=BC=CD=AD=2
∵P为CD的中点 ∴PC=
又∵ AP⊥BE，CH⊥BE∴AP∥CH
∴四边形APCH是平行四边形 ∴AH=PC=1 ∴BH=AH=1
在Rt△ABE中，EH=BH
又∵ CH⊥BE ∴BH=EH=
∴CH是BE的垂直平分线
∴CE=BC=2，故A错误；
∵CE=CB，CH=CH，EH=BH
∴△CEH≌△CBH
∴∠CEB=∠ABC=90°
又∵EH=AH=1，FH=FH
∴Rt△EFH≌Rt△AFH
∴AF=EF
设EF=AF=x
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD2+DF2=CF2，即，22+（2-x）2=（2+x）2
解得 x=∴EF=，故B错误；
在Rt△CEH中，CH= ，∴cos∠ECH=
∵AP∥CH ∴∠CEP=∠ECH ，∴cos∠CEP=cos∠ECH=，故C错误；
在Rt△AFH中，HF2=AF2+AH2=（）2+1=
EF·CF=×（2+）=
∴HF2=EF·CF，故D正确。
故答案为：D.
【分析】先判断四边形APCH是平行四边形，再利用平行四边形的性质、中点的定义以及直角三角形斜边中线的性质得AH=BH=EH，然后利用线段的垂直平分线的判定和性质得CE=BE，然后在证得△CEH≌△CBH、Rt△EFH≌Rt△AFH，利用全等三角形的性质及勾股定理即可对各个选项一一作出判断。
10．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为6，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
A．24 B．9 C．20 D．16
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点E作EP⊥BC，EQ⊥CD；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MCN=90°，CE平分∠MCN，
∴四边形PCQE为矩形，且EP=EQ，
∴四边形PCQE为正方形；
∵EC=2EA，
∴EC：CA=2：3；
∵EP∥AB，
∴△EPC∽△ABC，
∴EP：AB=EC：CA=2：3，
∴EP= ×6=4，
∴正方形EPCQ的面积为16；
∵四边形EPCQ为正方形，
∴∠PEQ=∠MEN=90°，
∴∠PEM=∠QEN；
在△PEM与△QEN中，
，
∴△PEM≌△QEN（ASA），
∴S△PEM=S△QEN，
∴S重叠部分=S正方形EPCQ=16，
故答案为：D.
【分析】如图，过点E作EP⊥BC，EQ⊥CD；首先根据正方形的性质得出∠MCN=90°，CE平分∠MCN，进而判断出四边形PCQE为正方形，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△EPC∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例得出EP：AB=EC：CA=2：3，利用比例式算出PE的长，进而求出正方形EPCQ的面积；然后利用ASA判断出△PEM≌△QEN，根据全等三角形的面积相等得出S△PEM=S△QEN，最后根据割补法，利用S重叠部分=S正方形EPCQ即可得出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图， 为射线 上任意一点， 连结 ． 以 为邻边作平行四边形 ， 连结 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：设PQ与OB相交于M，
由平行四边形POQB可知OM＝BM＝OB＝2，PM＝QM，
当PQ⊥OB时，PQ最短。
∵∠AOB＝30°，∴OP＝2PM，
在△OPM中，
∴
∴PM＝
∴PQ＝2PM＝
故答案为：.
【分析】根据垂线段最短可知当PQ⊥OB时，PQ最短。根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算即可。
12．如图所示，在菱形ABCD 中，∠C=108°，AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB= .
【答案】72°
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴∠C=∠DAB=108°，AD=AB
∴∠ADP=（180°-108°）÷2=36°，
∵AD的垂直平分线交对角线 BD于点P，
∴AP=DP，
∴∠ADP=∠DAP=36°，
∴∠APB=∠ADP+∠DAP=36°+36°=72°.
故答案为：72°.
【分析】利用菱形的性质可证得∠C=∠DAB=108°，AD=AB，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠ADP的度数；再利用线段垂直平分线的性质可证得AP=DP，即可求出∠DAP的度数；然后利用三角形的外角的性质求出∠APB的度数.
13．如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则的值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵FC平分，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵平行四边形ABCD
∴，
∴，
∴，，
∴FAE和FBC是等腰三角形，
∴，
∵AF=BF-AB，
∴AF=BC-AB=8-6=2，
∴AE+AF=2AF=4，
故答案为：4．
【分析】先证△FAE和△FBC是等腰三角形，可得AF=AE，BF=BC，可求出AF=BF-AB=BC-AB=2，由AE+AF=2AF即得结论.
14．如图，平行四边形ABCD中，BD=2AD，AC与BD相交于点O，E为OA中点，F为OB中点，M为DC中点；①DE⊥AO；②FM⊥AC；③∠BAC=∠ACF；④四边形EFCM为正方形．其中正确的有 （填序号）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中，BD=2AD，E为OA中点，F为OB中点，M为DC中点，
∴AE=EO，AD=OD=OB=BC，OF=FB，DM=CM，AB=CD，AB∥CD，
∴DE⊥AO，EF∥AB∥CD，EF=，
∴四边形EFMD，四边形EFCM都平行四边形，∠BAC=∠FEC；
∴DE∥FM，
∴FM⊥AC，
∴四边形EFCM是菱形，
∴EF=FC，
∴∠ACF=∠FEC；
∴∠BAC=∠ACF；
∴正确的有①②③，错误的是④．
故答案为：①②③．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，可得DE⊥AO，从而判断①正确；利用平行四边形的判定和性质，可判断四边形EFMD，四边形EFCM都是平行四边形，从而得到ED∥FM，得到FM⊥AC，可以判断②正确，从而判定四边形EFCM是菱形，因此EF=FC，利用三角形中位线定理，得证∠BAC=∠FEC=∠ACF，由此得到③正确，④错误.
15．如图，在四边形 中，点P是对角线 的中点，点E、F分别是 、 的中点， ， ，则 的度数是 ．
【答案】120°
【解析】【解答】解：∵点P是对角线 的中点，点E、F分别是 、 的中点，
∴PE= AD，PF= BC，
∵ ，
∴PE=PF，
∴△PEF是等腰三角形，
∴∠PFE= ，
∴ = ，
故答案为： ．
【分析】根据中位线定理和已知条件，可证明三角形EPF是等腰三角形，由此可得出结论。
16．如图，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，与交于点．已知，．有以下四个结论：
①；②；③；④若，则的面积为．
以上结论中正确的是 ．
【答案】①②
【解析】【解答】解：如图所示，在上截取，连接，
∵四边形是正方形
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故②正确；
∴，故①正确；
∵
∴垂直平分，
∴
若，
则
又∵
∴垂直平分
∴；
又∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
在中，
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴当且仅当时，，故③不一定正确；
④若，则，
设，
∵在上，垂直平分，
则
在中，
∴
解得：
∴，
∴
∴的面积为．故④不正确
故答案为：①②．
【分析】在上截取，连接，即可得到，根据全等三角形的性质判断①②，假设，即可得到，判断知③；在中，利用勾股定理求出CG的长，进而求出三角形的面积判断④解答即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若，求线段的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵绕着点B旋转后能到达的位置，
∴，
∵BP=3cm，
∴．
答；.
【解析】【分析】根据旋转得到，在等腰Rt PBE中，用勾股定理可求解．
18．如图，已知点 是四边形 的外角 和外角 的平分线的交点.若 ， ，求 的度数.
【答案】解：因为 ， ， ，
所以 .
因为 ， ，
所以 .
因为点 是四边形 的外角 和外角 的平分线的交点，
所以 ， .
所以 ，
所以 .
【解析】【分析】根据四边形的内角和公式即可求出∠BCD∠CDA=120°， 然后根据平角的定义即可求出 ，再根据角平分线的定义即可求出 ，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论.
19．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ， .求矩形的对角线长.
【答案】解：∵矩形ABCD，
∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝6cm，
∴AC＝BD＝2×6cm＝12cm，
答：矩形对角线的长是12cm.
【解析】【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD，OA＝OC=OD＝OB，结合∠AOB＝60°可推出△AOB是等边三角形，得到OA＝OB＝AB＝6cm，据此可得矩形的对角线长.
20．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
【答案】依题意可知AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
分别作CD，BC边上的高为AE，AF，
∵两纸条相同，所以纸条宽度AE=AF.
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC.
∴平行四边形ABCD为菱形；
【解析】【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.
21．如图，在四边形ABCD中，点B 与点 D 关于直线AC 对称，连接 BD 交 AC 于点 O，E 为AC上一点，OE=OC，连接BE，DE.
（1）求证：四边形 EBCD 为菱形；
（2）若 AE=DE，∠BAE=15°，BD=6，求 AC的长.
【答案】（1）证明：∵点B与点D关于直线AC对称，
∴OD=OB， OD⊥AC，
又∵OE=OC，
∴四边形EBCD为平行四边形，
∵OD⊥AC，
∴四边形EBCD为菱形；
（2）解：∵AE=DE， ∠BAE =15°，
∴∠EAD =∠EDA =15°，
∴∠DEO=∠EAD+∠EDA=15°+15°=30°，
∵四边形EBCD为菱形；
∴DE=EB，∠BEO=∠DEO=30°， EO=OC，
∴∠DEB=60°，
∴△DEB是等边三角形，
∵BD=6，
∴BO=OD=3，
在直角三角形BOE中，由勾股定理得：EO=
【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质可得OD=OB， OD⊥AC，进而证明四边形EBCD为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证；
(2)根据等边对等角得出∠EAD =∠EDA =15°，进而根据三角形的外角的性质即可得出∠DEO的度数，进而根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得EO，进而根据AC=AE+EC， 即可求解.
22．如图，在平行四边形中，E为边上一点，F在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，点E为的中点，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴.
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，再结合，利用“ASA”证出即可；
（2）先利用线段中点的性质可得，再结合，利用线段的和差求出即可．
23．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，平分，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
∵，
，
四边形是矩形.
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
四边形是矩形，
，
，
由勾股定理得，，
平分，
，
∵，
，
，
∴，
∴的长为．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是矩形；
（2）先利用勾股定理求出，再利用平行线的性质和角平分线的定义及等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得的长为．
（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
∵，
，
四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
四边形是矩形，
，
，
由勾股定理得，，
平分，
，
∵，
，
，
∴，
∴的长为．
24．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值.
【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）解：∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质得得到AB＝BC，AD∥BC，再根据平行线的性质得到∠A＝∠CBF，进而根据垂直得到∠AEB＝∠BFC＝90°，根据三角形全等的判定与性质证明△AEB≌△BFC（AAS）得到AE＝BF；
（2）根据垂直平分线的判定与性质结合题意即可求解。
25．如图，在中，于点，，分别是，的中点，是的中点，的延长线交线段于点，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：
，
，，
，
是的中点，
，
，
是菱形，
，
．
【解析】【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键。
(1)由三角形中位线定理可得，则，再证，得然后由平行四边形的判定即可得出结论。
(2)根据勾股定理得出，进而由菱形的判定和性质解答即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
