2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时达标6.1　平面向量的概念（含解析）

6.1　平面向量的概念
一．选择题
1.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　)
A.都相等 B.都共线 C.都不共线 D.模都相等
2.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则 (　　)
A共线
B共线
C相等
D相等
3.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.1 021 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量
D.一人从点A向东走500 m到达点B,则向量表示这个人从点A到点B的位移
4.若||=||,且,则四边形ABCD的形状为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.||=||
B共线
C共线
D
6.(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.||=||
B.共线
C.共线
D.
二．填空题
7.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=　　　　　.
8.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是　　　　　　　　　　　.
9.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是　　　　　.(填序号)
10.在四边形ABCD中,,且是单位向量,则四边形ABCD是　　　　　.
11.有下列说法:
①若向量a与b满足a≠b,则a一定不与b共线;
②在同一平面中,若||=||=||≠0,则点B,C,D在以A为圆心,以||长为半径的圆上;
③在 ABCD中,一定有;
④共线向量是在一条直线上的向量.
其中所有正确的说法是　　　　.(填序号)
三．解答题
12. 一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:
(1)与相等的向量共有几个
(2)与平行且模为的向量共有几个
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个
13.一辆汽车从点A出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D.
(1)作出向量;
(2)求||.
14. 已知在四边形ABCD中,,且||=||,tan D=,判断四边形ABCD的形状.
15.中国象棋中规定:马走“日”字,如图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量表示马走了“一步”,试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
16.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量;
(2)求||的最大值与最小值.
6.1　平面向量的概念
一．选择题
1.因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.
D
2.如图所示,因为D,E分别是AB,AC的中点, 所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以共线.
B
3.一个单位长度取1 021 cm时,1 021 cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量,故B正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C正确;根据位移的定义,可知向量表示这个人从点A到点B的位移,故D正确.
BCD
4.由,知AB=CD,且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.
因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.
C
5.对于A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,因此||=||一定成立,故A符合题意;对于B,根据菱形的性质,共线一定成立,故B符合题意;对于C,因为BD与EH不一定平行,所以不一定共线,故C不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知方向相同且模相等,
因此一定成立,故D符合题意.故选ABD.
ABD
6.ABD　由向量相等及共线的概念,结合图形可知C不一定正确.
二．填空题
7.因为A,B,C三点不共线,
所以不共线,
又因为m且m,所以m=0.
0
8.单位向量的长度是一个单位,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.
以点O为圆心的单位圆
9.①③④　若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
10.菱形　由可知四边形ABCD是平行四边形,
又是单位向量,所以||=||=1,所以四边形ABCD是菱形.
11.②③　①两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;
②显然点B,C,D到点A的距离都等于||,故②正确;
③在平行四边形ABCD中,||=||,平行且方向相同,所以,故③正确;
④共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确.
三．解答题
12.
(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).
(2)与向量平行且模为的向量共有24个.
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
13.
(1)如图所示.
(2)由题意,易知方向相反,故共线.
因为||=||,所以在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形,
所以||=||=200千米.
14. 解∵在四边形ABCD中,,
∴ABDC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵tan D=,∴∠B=∠D=60°.
又||=||,
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形.
15.解根据规则,画出符合要求的所有向量,马在B处走了“一步”的情况如图所示,
马在C处走了“一步”的情况如图所示.
16.解(1)画出所有的向量如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值;
②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值.
∴||的最大值为,最小值为.