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实数 基础知识达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．23
2．对于实数a，下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＞0 B． ＞0 C．a2+1＞0 D．（a+1）2＞0
3．下列说法，正确的是（ ）
A．零不存在算术平方根
B．一个数的算术平方根一定是正数
C．一个数的立方根一定比这个数小
D．一个非零数的立方根仍是一个非零数
4．若，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（ ）
A． B． C． D．
5．按一定规律排列的一列数： ， ， ， …其中第6个数为（ ）
A． B． C． D．
6． 规定用符号[m]表示m 的整数部分，如： 若 ，则a+b的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．关于 的判断：① 是无理数；② 是实数；③ 是2的算术平方根；④ ．正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③④
8．若一个自然数的算术平方根是a，则与这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A．a2+1 B． C．a+1 D．
9．自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
10．设 p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，是无理数，有下列四个数：①p12+q12；②（p2+q2）2；③（p3+q3）q3；④p4（p4+q4）.其中必为无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．实数﹣32， ，﹣|﹣6|， 中最大的数为 ．
12． = ， = ， ± = ．
13．一个正数的平方根分别是 和 ，则x= ．
14．如图，数轴上点 表示的实数是-1，半径为1个单位长度的圆从点 沿数轴向右滚动一周，圆上的点 达到 ，则点 表示的数是 .
15．比较大小： 0.（填“”、“”或“”）
16．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列各数的平方根与算术平方根。
（1）16。
（2）
（3）
（4）0.25。
18． 求下列各式中x的值．
（1）；
（2）．
19．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=|-3|，n为立方等于本身的数的个数，求代数式 的值.
20． 若 ， 求代数式 的值。
21．若3个不同的实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，a为2的算术平方根，A，B两点之间的距离与B，C两点之间的距离相等.求：
（1）数轴上A，B两点之间的距离.
（2）点C 所表示的数.
22．求下列各数的平方根：
（1）121；
（2）；
（3）；
（4）．
23．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”， 运算规则为： a b=a×b-a-b.
（1） 计算(-2) 2的值；
（2） 若 求 的值.
24．如图是 的正方形网格(每个小正方形的边长为1)与数轴.
（1）求出图 1中阴影部分的面积.
（2）求出图 1 中阴影部分正方形的边长.
（3）在图 2 所示的数轴上作出表示图1中阴影部分正方形的边长的数值的点.
25．计算：
（1）2-(精确到0.01)．
（2）π-(精确到0.001)．
（3）
（4）(精确到0.01)．
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实数 基础知识达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．23
【答案】C
【解析】【解答】解：的相反数为.
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义进行判断即可.
2．对于实数a，下列不等式一定成立的是（ ）
A．|a|＞0 B． ＞0 C．a2+1＞0 D．（a+1）2＞0
【答案】C
【解析】【解答】根据绝对值的意义，可知|a|≥0，故不正确；根据二次根式的非负性，可知 ≥0，故不正确；根据平方的意义，可知a2≥0，因此可得a2+1＞0，故正确；根据平方的非负性，可知（a+1）2≥0，故不正确.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的非负性得出|a|≥0；根据算数平方根的非负性得出 ≥0；根据偶次方的非负性可得a2≥0，因此可得a2+1＞0；根据偶次方的非负性可得（a+1）2＞0；从而即可得出答案。
3．下列说法，正确的是（ ）
A．零不存在算术平方根
B．一个数的算术平方根一定是正数
C．一个数的立方根一定比这个数小
D．一个非零数的立方根仍是一个非零数
【答案】D
【解析】【解答】解：A、零的算术平方根是它本身，故答案为：A错误；
B、一个数的算术平方根是非负数，故B选项错误；
C、一个数的立方根不一定比这个数小，比如：0、纯小数等；故答案为：C错误；
D、一个数的立方根与原数的符号相同，故答案为：D正确；
故答案为：D.
【分析】利用算术平方根、立方根的性质；算术平方根为非负数；任何实数都有立方根，且与原数符号相同；据此逐一判断即可.
4．若，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、当x＞y＞z时，|x-y|-|x-z|＝x-y-（x-z）＝z-y，|y-z|＝y-z，已知等式不成立，不符合题意；
B、当z＞y＞x时，|x-y|-|x-z|＝y-x-（z-x）＝y-z，|y-z|＝z-y，已知等式不成立，不符合题意；
C、当y＞x＞z时，|x-y|-|x-z|＝y-x-（x-z）＝y+z-2x，|y-z|＝y-z，已知等式不成立，不符合题意；
D、当x＞z＞y时，|x-y|-|x-z|＝x-y-（x-z）＝z-y，|y-z|＝z-y，已知等式成立，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用绝对值的性质，根据各选项中x，y，z的大小关系，进行化简，可得到正确结论的选项.
5．按一定规律排列的一列数： ， ， ， …其中第6个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据一列数： ， ， ， 可知，
第n个数分母是n，分子是（n+1）2﹣1的算术平方根，
据此可知：第六个数是 = ，
故选D．
【分析】观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．
6． 规定用符号[m]表示m 的整数部分，如： 若 ，则a+b的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】先估算出的近似值介于1和2之间，则的近似值介于和之间，则可知介于6和7之间、介于5和6之间，则和的值即可确定，的值亦可确定.
7．关于 的判断：① 是无理数；② 是实数；③ 是2的算术平方根；④ ．正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：是无理数，也是实数，又是2的算术平方根， ．
∴正确的序号有：①②③④.
故答案为：D.
【分析】根据开方开不尽的数是无理数，可对①作出判断；有理数和无理数统称为实数，可对②作出判断；利用算术平方根的意义可对③作出判断；根据，可对④作出判断，综上所述，可得出正确结论的序号。
8．若一个自然数的算术平方根是a，则与这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A．a2+1 B． C．a+1 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一个自然数的算术平方根为a，
∴这个自然数是a2，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数是a2+1．
故选A．
【分析】先求出这个数，然后加1求出下一个自然数，写出即可．
9．自定义运算： 例如： ，若m，n在数轴上的位置如图所示，且 ，则 的值等于（ ）
A．2028 B．2035 C．2028或2035 D．2021或2014
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，且 ，
根据题图可知： ，
当 时
∴ ，
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
当 时
∴ ，
∵
∴
∴ ，化简得：
∴
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据题图可知 ，分两种情况：当 时 ，可得出；当 时 ，可得，然后根据自定义运算分别解答即可.
10．设 p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，是无理数，有下列四个数：①p12+q12；②（p2+q2）2；③（p3+q3）q3；④p4（p4+q4）.其中必为无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】【解答】解：①当 则p12+q12=3，是有理数；
②当 时， 是有理数；
③当 时， 是有理数；
④无论取何值，原式都是无理数.
故答案为：B
【分析】根据无理数的和有理数的定义结合题意分别举例即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．实数﹣32， ，﹣|﹣6|， 中最大的数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵﹣32=﹣9， =3 ，﹣|﹣6|=﹣6， =4．
由于正数大于一切负数，
所以只需比较 和 的大小，
因为 ＞ =4，
所以最大的数是 ．
故答案为：
【分析】先把各式进行化简，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
12． = ， = ， ± = ．
【答案】-2；4；±2
【解析】【解答】解： =-2，
=4，
= ，
故答案为：-2，4，±2．
【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的定义计算即可．
13．一个正数的平方根分别是 和 ，则x= ．
【答案】-2
【解析】【解答】解： 一个正数的平方根分别是 和 ，
解得
故答案为： ．
【分析】由平方根性质，一个非负数的平方根有两个，且它们互为相反数，即互为相反数的两个数和为0，据此解题．
14．如图，数轴上点 表示的实数是-1，半径为1个单位长度的圆从点 沿数轴向右滚动一周，圆上的点 达到 ，则点 表示的数是 .
【答案】2π-1
【解析】【解答】圆的周长=2π，点A表示的数是-1，点A在点A′的左侧，所以点A′所对应的数为2π-1，
故答案为2π-1.
【分析】用-1加上滚动一周经过的路程即可.
15．比较大小： 0.（填“”、“”或“”）
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据有理数比较大小的方法可得10<16，两边同时开方可得<4，据此进行比较.
16．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
【答案】255
【解析】【解答】解：∵[ ]=1，[ ]=3，[ ]=15；
所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：255．
【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大是3，再向前一步推取整是3的最大数为15，继续会得到取整是15的最大数为255；反之验证得出答案即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．求下列各数的平方根与算术平方根。
（1）16。
（2）
（3）
（4）0.25。
【答案】（1）解：，
（2）解：，
（3）解：，
（4）解：，
【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用开平方和开算术平方根解题即可.
18． 求下列各式中x的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）把（x+1）看成一个整体，先方程两边同时除以16将未知数项的系数化为1，再利用平方根的意义求解即可；
（2）把（x-1）看成一个整体，先方程两边同时除以2将未知数项的系数化为1，利用立方根的意义求解即可．
19．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=|-3|，n为立方等于本身的数的个数，求代数式 的值.
【答案】解：根据题意可知，a+b=0，cd=1，m=±3，
∵立方等于本身的数有0和±1.
∴n=3，
∴
或
∴代数式的值为11.
【解析】【分析】互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得a+b=0，cd=1，m=±3，再由立方等于本身的数有0和±1，得到n=3，据此代值计算即可.
20． 若 ， 求代数式 的值。
【答案】解：∵ ， ， ，
∴，，，
∴ a=3，b=-5，c=-1，
∴.
【解析】【分析】根据绝对值，平方，二次根式的值的非负性，由几个非负数的和为零，则每一个数都等于零求得a，b，c的值，代入待求代数式，即可求得.
21．若3个不同的实数a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，a为2的算术平方根，A，B两点之间的距离与B，C两点之间的距离相等.求：
（1）数轴上A，B两点之间的距离.
（2）点C 所表示的数.
【答案】（1）解：∵a为2的算术平方根，
∴a=，
∵b=3，
∴数轴上A、B两点之间的距离为.
（2）解：∵a=，b=3，AB=BC，
∴点C对应的数为=．
【解析】【分析】先根据算术平方根的定义求出a，再利用两点间的距离公式即可求解.
22．求下列各数的平方根：
（1）121；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：∵，
∴的平方根是
【解析】【分析】根据平方根的概念即可求出答案，注意，一个正数有两个平方根.
23．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“ ”， 运算规则为： a b=a×b-a-b.
（1） 计算(-2) 2的值；
（2） 若 求 的值.
【答案】（1）解：原式=-2×2-(-2)-2
=-4+2-2
=-4；
（2）解：若
解得：m=-3，n=4，
原式
=7.5+3+2.5
=13.
【解析】【分析】(1)根据定义的新运算列式计算即可；
(2)根据绝对值及算术平方根的非负性求得m，n的值，然后根据定义的新运算列式计算即可.
24．如图是 的正方形网格(每个小正方形的边长为1)与数轴.
（1）求出图 1中阴影部分的面积.
（2）求出图 1 中阴影部分正方形的边长.
（3）在图 2 所示的数轴上作出表示图1中阴影部分正方形的边长的数值的点.
【答案】（1）解：阴影部分的面积为.
（2）解：阴形部分正方形的边长为 .
（3）解：
C点表示 .
【解析】【分析】（1）阴影部分面积实际上是边长为4的正方形面积-4个长为3高为1的三角形面积；
（2）由（1）得到阴影部分的面积，取其正平方根即为其边长；
（3）作图方法：以数轴3个单位长为直角边，数轴1个单位长为高作直角三角形，其斜边长即为 ，然后利用圆规，以原点为圆心， 为半径作弧，弧与数轴的正半轴相交的点即为 .
25．计算：
（1）2-(精确到0.01)．
（2）π-(精确到0.001)．
（3）
（4）(精确到0.01)．
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：.
【解析】【分析】在计算过程中要比结果精确度多保留一位，5的立方根，10的平方根，11的平方根用计算器计算.
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