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二次根式 课堂同步达标测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次根式有意义，那么（ ）
A．x>-1 B．x>1 C．x≥-1 D．x≥1
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．计算（2+ ）（ ﹣2）的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣7
5．已知xy＞0，化简二次根式x 的正确结果为（ ）
A． B． C．- D．-
6．某校的校园内有一块尺寸如图所示的三角形空地，现计划将这块空地建成一个花园．已知每平方米的造价为30元．则学校建这个花园需要投资（ ）
A．7794元 B．7820元 C．7822元 D．7921元
7．计算 等于（ ）
A．45 B．55 C．66 D．70
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
9．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；
…；
以此类推．
下列说法：
①当时，；
②；
③（n为自然数）．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，化简： ．
12．是整数，则正数的最小值是 ．
13．计算 的最后结果是 .
14．使得 有意义的x的取值范围为
15．读取表格中的信息，解决问题．
n=1 a1= +2 b1= +2 c1=1+2
n=2 a2=b1+2c1 b2=c1+2a1 c2=a1+2b1
n=3 a3=b2+2c2 b3=c2+2a2 c=a2+2b2
… … … …
满足 的n可以取得的最小整数是 ．
16．我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
18．计算：
（1）（2017 +2017 ）（ ﹣ ）
（2）（ ﹣4 ）﹣（3 ﹣2 ）
19．（1）已知x，y是有理数，若，求的平方根；
（2）已知a，b是等腰的两边长，且满足，求的周长．
20．已知，。
（1） ， 。
（2） 求代数式的值。
21．化简下列各式：
（1）______；______；
（2）______；______；______；
（3）（写出解答过程）
22．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积．
（1）三角形三边长分别为9，10，11；
（2）三角形三边长分别为，，．
23． 两船同时同地出发， 船以 的速度朝正北方向行驶， 船以 的速度朝正西方向行驶， 行驶时间为 ．
（1） 用含 的代数式表示两船的距离 ．
（2）当 时，两船相距多少千米？
24．解答题。
（1）计算：
（2）
25．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且满足，过点A作轴于点B．
（1）______，_______，______．
（2）如图2，过点B作交y轴于点D，且分别平分，，，求的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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二次根式 课堂同步达标测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次根式有意义，那么（ ）
A．x>-1 B．x>1 C．x≥-1 D．x≥1
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：x 10，
∴x1，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、原计算错误，该选项不符合题意；
D、正确，该选项不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质、平方根、二次根式的乘法法则分别计算，再判断即可.
3．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：，，
解得：，，
，
∴，
则
.
故答案为：B.
【分析】由二次根式的非负性可得关于x的不等式组：x-2≥0，2-x≥0，解之可得x的值，把x的值代入已知的等式可求得y的值；然后把x、y的值代入所求代数式计算即可求解.
4．计算（2+ ）（ ﹣2）的结果是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣7
【答案】C
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：C.
【分析】观察式子的特点。可以利用平方差公式计算。
5．已知xy＞0，化简二次根式x 的正确结果为（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，xy＞0，
得x和y同号，
又x中，≥0，
得y＜0，
故x＜0，y＜0，
所以原式= ．
故答案选D．
【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．
6．某校的校园内有一块尺寸如图所示的三角形空地，现计划将这块空地建成一个花园．已知每平方米的造价为30元．则学校建这个花园需要投资（ ）
A．7794元 B．7820元 C．7822元 D．7921元
【答案】A
【解析】【解答】解：作BH⊥CA于H，如图，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAH=60°，
在Rt△BAH中，sin∠BAH=，
∴BH=ABsin60°=20×=10，
∴S△ABC=BH AC=×10×30=150≈150×1.732=259.8（每平方米）
∴学校建这个花园需要投资额=30×259.8=7794（元）．
故选A．
【分析】作BH⊥CA于H，根据邻补角得到∠BAH=60°，在Rt△BAH中，根据∠BAH的正弦可计算出BH=10，再计算S△ABC=150≈259.8（每平方米），然后用面积乘以单价即可得到学校建这个花园需要的投资额．
7．计算 等于（ ）
A．45 B．55 C．66 D．70
【答案】C
【解析】【解答】解：原式= ×
=11×6
=66．
故选C．
【分析】利用二次根式的乘法公式计算．
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（ ）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】【解答】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴ .
故答案为：C．
【分析】根据点在数轴上表示的数，判断a，a+b的符号，再根据二次根式的性质与求绝对值的法则，即可得到结果．
9．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；
…；
以此类推．
下列说法：
①当时，；
②；
③（n为自然数）．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，，
∴当时，
，
∴①的说法正确；
由以上计算可知：，
∴②的说法正确；
∵；
；
；
…
∵
∴③的说法正确，
综上可知：正确的个数为3个，
故答案为：D．
【分析】先根据已知条件，分别求出M1，M2，，M8，N1，N2，，N8，然后根据计算的结果，分别列出各种说法中的算式，进行计算，根据计算结棍判断即可．
10．下列说法正确的是（ ）
A． 是分数 B．16的平方根是±4， 即
C．8.30万精确到百分位 D．若 ， 则
【答案】D
【解析】【解答】解：A选项，是无理数，A选项不正确；
B选项， 16的平方根是±4， 即 ，B选项不正确；
C选项， 8.30万精确到百位，C选项不正确；
D选项，∵
∴a-2022=0，b+1=0
∴ a=2022，b=-1
∴
D选项正确；
故答案为：D.
【分析】A选项，利用分数的定义，分子分母为互质整数，得出结果；
B选项，利用平方根定义和符号表示，得出结果；
C选项，利用近似数的定义，得出结果；
D选项，利用代数式的非负性，得出结果。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知，化简： ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故答案为：2
【分析】
本题考查完全平方公式和二次根式的性质，熟知二次根式的性质是解题关键.二次根式的性质：，先利用完全平方公式化简：，然后再根据二次根式的性质化简每一项，得出原式，再合并同类项即可得出答案．
12．是整数，则正数的最小值是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵是整数，
∴ 正数的最小值是5；
故答案为：5.
【分析】 由是整数，可知5n是一个平方数，求出n的最小整数解即可.
13．计算 的最后结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：
【分析】先将能化简的二次根式进行化简，再合并同类二次根式。
14．使得 有意义的x的取值范围为
【答案】x≤3且x≠-5
【解析】【解答】解：由题意得，3-x≥0，x+5≠0，
解得，x≤3且x≠-5，
故答案为：x≤3且x≠-5.
【分析】根据被开方数≥0，且分母≠0，求出x的取值范围.
15．读取表格中的信息，解决问题．
n=1 a1= +2 b1= +2 c1=1+2
n=2 a2=b1+2c1 b2=c1+2a1 c2=a1+2b1
n=3 a3=b2+2c2 b3=c2+2a2 c=a2+2b2
… … … …
满足 的n可以取得的最小整数是 ．
【答案】7
【解析】【解答】解：由a1+b1+c1= +2 + +2+1+2 =3（ + +1），
a2+b2+c2=9（ + +1），
…
an+bn+cn=3n（ + +1），
∵
∴an+bn+cn≥2014×（ ﹣ +1）（ + ）=2014（ + +1），
∴3n≥2014，
则36＜2014＜37，
∴n最小整数是7．
故答案为：7
【分析】由表格可知当n=1时，a1+b1+c1= +2 + +2+1+2 =3（ + +1），同理得出a2+b2+c2=9（ + +1），…由此得出an+bn+cn=3n（ + +1），进一步整理 ，求得n的最小值即可．
16．我们在二次根式的化简过程中得知： ，…，则
【答案】2019
【解析】【解答】
=( …+ )( )
=( )( )
=
=2019.
故答案为：2019
【分析】先利用分母有理化求出第一个括号内的值，再利用平方差公式即可得答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
=
（3）解：原式=
=3-4-4+3
=-2.
【解析】【分析】（1）先逐项化简，再合并同类二次根式即可；（2）先把第一项化简，再合并同类二次根式即可；（3）先根据平方差公式，立方根的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义，以及负整数指数幂的意义化简，再算加减即可.
18．计算：
（1）（2017 +2017 ）（ ﹣ ）
（2）（ ﹣4 ）﹣（3 ﹣2 ）
【答案】（1）解：原式=2017（ + ）（ ﹣ ）=2017
（2）解：原式=4 ﹣ ﹣ + =3 ．
【解析】【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式各项化简后，去括号合并即可得到结果．
19．（1）已知x，y是有理数，若，求的平方根；
（2）已知a，b是等腰的两边长，且满足，求的周长．
【答案】解：（1）由题意，得，，且，
∴，，
解得，
∴，
∴，
∴的平方根是；
（2），
，
，
∴，，
∴，，
当为腰时，三边为1，1，3，，不符合三角形三边关系，舍去；
当为腰时，三边为3，3，1，，符合三角形三边关系，
∴的周长．
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”和分式有意义的条件可得关于x的不等式，解之求得x、y的值， 然后结合平方根的定义即可求解 ；
（2）由题意，把原式变形为，根据偶次方的非负性和二次根式的非负性可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，根据等腰三角形的定义，分情况讨论即可求解．
20．已知，。
（1） ， 。
（2） 求代数式的值。
【答案】（1）；-13
（2）解：
将 ， 代入得：
【解析】【解答】解：（1）x+y==；
xy=；
故答案为：；-13；
【分析】（1）分别把，代入x+y和xy中，并进行二次根式的相关运算即可；
（2）首先把代数式变形为，然后再根据（1）求得的结果，整体代入求值即可。
21．化简下列各式：
（1）______；______；
（2）______；______；______；
（3）（写出解答过程）
【答案】（1），
（2）；；
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1），，
故答案为：，；
（2），
，
；
，且，
；
设，
则，
，
，
故答案为：；；；
【分析】（1）化去被开方数中的分母或化去分母中的根式即可；
（2）将被开方数进行适当变形，写成完全平方式，再进行开方即可；
（3）首先把各项进行分母有理化，然后再合并同类二次根式即可。
（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：，
，
；
，且，
；
设，
则，
，
，
故答案为：；；；
（3）解：
．
22．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有三角形的面积公式（海伦公式），（秦九韶公式）．请选用以上公式，计算下列两个三角形的面积．
（1）三角形三边长分别为9，10，11；
（2）三角形三边长分别为，，．
【答案】（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积．
，
．
（2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算．
，，，
【解析】【分析】（1）海伦公式与秦九韶公式都适用于知道三角形的三边，求面积的计算，观察两个公式发现海伦公式更适用于边长为整数的情况，故先计算出半周长，再代入公式求面积即可；
（2）三角形的三边是无理数，平方后可得整数，故可选秦九韶公式计算即可．
（1）解：因为三角形的三边是整数，所以可以选用海伦公式计算面积．
，
．
（2）解：因为三角形的三边是无理数，平方后可得整数，所以可选秦九韶公式计算．
，，，
．
23． 两船同时同地出发， 船以 的速度朝正北方向行驶， 船以 的速度朝正西方向行驶， 行驶时间为 ．
（1） 用含 的代数式表示两船的距离 ．
（2）当 时，两船相距多少千米？
【答案】（1）解：.
（2）解：代入x=12，得.
即两船相距 26km.
【解析】【分析】（1）算出2h后A、B各自所行驶的距离，然后结合勾股定理表达出d；
（2）代入x=12到d的表达式计算化简即可.
24．解答题。
（1）计算：
（2）
【答案】（1）原式=
（2）原式=
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法性质化简；
（2）根据整式中的完全平方公式和平方差公式计算.
25．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且满足，过点A作轴于点B．
（1）______，_______，______．
（2）如图2，过点B作交y轴于点D，且分别平分，，，求的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；；20
（2）解：∵轴，，
，，，
过作交轴于点，如图所示：
，
，
、分别平分、，
，，
.
（3）解：存在．理由如下：
当在轴正半轴上时，如图．
设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，．
，
，
．
解得，即点的坐标为；
当在轴负半轴上时，如图作辅助线，
设点，则，，．
，
同理，．
解得，即点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
【解析】【解答】（1）解：，
，，
，，
，
，，，
的面积为；
故答案为：；；20.
【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再求出点A、B、C的坐标，最后求出△ABC的面积即可；
（2）过作交轴于点，利用角平分线的定义及平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）分类讨论：①当在轴正半轴上时，②当在轴负半轴上时，先分别画出图形并利用三角形的面积公式及割补法列出方程求解即可.
（1）解：，
，，
，，
，
，，，
的面积为；
故答案为：；；20；
（2）解：∵轴，，
，，，
过作交轴于点，如图所示：
，
，
、分别平分、，
，，
；
（3）解：存在．理由如下：
当在轴正半轴上时，如图．
设点，分别过点作轴，轴，轴，交于点，则，，．
，
，
．
解得，即点的坐标为；
当在轴负半轴上时，如图作辅助线，
设点，则，，．
，
同理，．
解得，即点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
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