培优课 一元二次不等式恒、能成立问题
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（ ）
A. B.
C. D.
2.关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜0＜m＜4}
B.{m｜m＜－2或m＞2}
C.{m｜－2≤m≤2}
D.{m｜－2＜m＜2}
3.对任意实数x，式子均有意义，则实数k的取值范围是（ ）
A.k≤8 B.0≤k＜8
C.0≤k≤8 D.k＞8
4.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜m≤－2或m≥2}
B.{m｜－2≤m≤2}
C.{m｜m＜－2或m＞2}
D.{m｜－2＜m＜2}
5.若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A.t≤2 B.t≥2
C.t≤4 D.t≥4
6.〔多选〕不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）
A.a＜1 B.a≤1
C.a＜2 D.a＜0
7.〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则（ ）
A.b2－4c＋4≤0 B.b≤0
C.c≥1 D.b＋c≥0
8.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 .
9.若不等式x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是 .
10.命题p： x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，则实数m的取值范围为 .
11.已知关于x的不等式（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（1，－2），B（－1，0），且与反比例函数y＝交于点M（3，4）.
（1）求二次函数与反比例函数的表达式；
（2）若对 x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围.
13.已知关于x的函数y＝x2－（a＋2）x＋4（a∈R）.
（1）若关于x的不等式y≤4－2a的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，求实数a的值；
（2）若对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，y＋a＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围.
2 / 2重点解读
1.理解一元二次不等式恒、能成立问题的区别及不同的表述形式（直观想象、逻辑推理）. 2.会求一元二次不等式在R上（或在给定区间上）的恒成立问题（逻辑推理、数学运算）. 3.会求一元二次不等式中简单的能成立问题（直观想象、逻辑推理）.
一、在R上恒成立问题
【例1】 已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
∴解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}.
【规律方法】
一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立
提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，一定要讨论二次项系数是否为0.
训练1 已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}.
解析：原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上，∴Δ＝a2－4（3－a）＝a2＋4a－12≤0，即（a－2）（a＋6）≤0，∴－6≤a≤2，∴实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}.
二、在给定范围上的恒成立问题
【例2】 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值范围.
解：令y＝x2＋mx＋4，
∵y＜0在1≤x≤2上恒成立，
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得解得m＜－5，
∴实数m的取值范围是{m｜m＜－5}.
【规律方法】
在给定范围上恒成立问题的解题策略
（1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；
（2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
训练2 若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的取值范围是（ ）
A.a≤－3 B.a≤0
C.a≥1 D.a≤1
解析：A 令y＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3.故选A.
三、简单的能成立问题
【例3】 已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A.{a｜－1≤a≤4} B.{a｜－1＜a＜4}
C.{a｜a≥4或a≤－1} D.{a｜－4≤a≤1}
解析：A 由于－x2＋4x＝－（x－2）2＋4≤4，又因为－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，则实数a的取值范围为{a｜－1≤a≤4}.
【规律方法】
解决能成立问题的方法
（1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
（2）对一些简单的问题，m＞y能成立可转化为m＞ymin，m＜y能成立可转化为m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围.当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动.
训练3 若关于x的方程x2＋kx－k＋3＝0有实数解，则实数k的取值范围是k≤－6或k≥2.
解析：由题设，Δ＝k2－4（3－k）＝k2＋4k－12＝（k＋6）（k－2）≥0，所以k≤－6或k≥2.
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要
2.关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜0＜m＜4}
B.{m｜m＜－2或m＞2}
C.{m｜－2≤m≤2}
D.{m｜－2＜m＜2}
解析：D ∵不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，∴函数y＝x2－mx＋1的图象在x轴上方，∴方程x2－mx＋1＝0无实数解，∴Δ＜0，即m2－4＜0，解得－2＜m＜2，∴实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜2}.故选D.
3.对任意实数x，式子均有意义，则实数k的取值范围是（ ）
A.k≤8 B.0≤k＜8
C.0≤k≤8 D.k＞8
解析：C 由对任意实数x，式子均有意义知，kx2＋kx＋2≥0恒成立，若k＝0，则2≥0恒成立，满足题意；若k≠0，则有解得0＜k≤8.综上可知，实数k的取值范围是0≤k≤8.
4.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜m≤－2或m≥2}
B.{m｜－2≤m≤2}
C.{m｜m＜－2或m＞2}
D.{m｜－2＜m＜2}
解析：A ∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A.
5.若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A.t≤2 B.t≥2
C.t≤4 D.t≥4
解析：C ∵x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，∴t≤＝x＋在x≥1时恒成立，∴t≤，∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，∴＝4，则t≤4.
6.〔多选〕不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）
A.a＜1 B.a≤1
C.a＜2 D.a＜0
解析：BC 因为ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由解得0＜a＜1.综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要条件为a＜1，所以不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的必要不充分条件应该比a＜1的范围大，故选项B、C正确.
7.〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则（ ）
A.b2－4c＋4≤0 B.b≤0
C.c≥1 D.b＋c≥0
解析：ACD x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋（b－2）x＋c－b≥0，则Δ＝（b－2）2－4（c－b）＝b2－4c＋4≤0，故A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，故B错误；由Δ≤0，得c≥＋1，所以c≥1，故C正确；b＋c≥＋b＋1＝≥0，故D正确.
8.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.
解析：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.综上，所求实数a的取值范围是.
9.若不等式x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是{m｜1≤m≤9}.
解析：x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则Δ＝（m－3）2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9.
10.命题p： x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，则实数m的取值范围为{m｜m≠6}.
解析：因为命题p： x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，所以不等式（m－3）x2－mx＋3＜0在R上有解.当m＝3时，不等式可化为－3x＋3＜0，得x＞1，符合题意；当m＞3时，由题意得Δ＝（－m）2－12（m－3）＞0，即m2－12m＋36＝（m－6）2＞0，解得m≠6；当m＜3时，一定存在x∈R，使得（m－3）x2－mx＋3＜0成立.综上，实数m的取值范围为{m｜m≠6}.
11.已知关于x的不等式（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
解：令y＝（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3.
①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数大于0对一切实数x恒成立，
得
解得1＜m＜19.
综合①②得，实数m的取值范围为{m｜1≤m＜19}.
12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（1，－2），B（－1，0），且与反比例函数y＝交于点M（3，4）.
（1）求二次函数与反比例函数的表达式；
（2）若对 x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）∵点M（3，4）在反比例函数y＝的图象上，故有4＝，
解得k＝12，从而反比例函数为y＝.
又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A，B，M，
∴解得
∴二次函数为y＝x2－x－2.
（2）由（1）知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2，故有x2－x－2≥mx－3在R上恒成立，即x2－（m＋1）x＋1≥0在R上恒成立，∴Δ≤0，
又Δ＝[－（m＋1）]2－4＝m2＋2m－3，
∴m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1.
故实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤1}.
13.已知关于x的函数y＝x2－（a＋2）x＋4（a∈R）.
（1）若关于x的不等式y≤4－2a的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，求实数a的值；
（2）若对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，y＋a＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）y≤4－2a，即x2－（a＋2）x＋2a≤0，即（x－a）（x－2）≤0，
因为不等式的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，所以a＝5.
（2）由题意得，对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，x2－（a＋2）x＋5＋a≥0恒成立，
即a（x－1）≤x2－2x＋5恒成立.
当x＝1时，0≤4恒成立，此时a∈R；
当x∈{x｜1＜x≤4}时，a≤＝x－1＋恒成立，
因为0＜x－1≤3，所以x－1＋≥2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立，
所以a≤4.
综上可得a的取值范围为{a｜a≤4}.
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