章末检测（二） 一元二次函数、方程和不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（ ）
A.M＞N B.M≥N
C.M＜N D.M≤N
2.不等式＜0的解集为（ ）
A.{x｜－2＜x＜3} B.{x｜x＜－2}
C.{x｜x＜－2或x＞3} D.{x｜x＞3}
3.已知p：2x－3＞0，q：6x－8＞x2，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则的最小值为（ ）
A.2 B.
C.4 D.
5.已知a，b∈R，若ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A.＜ B.＋＞0
C.a2＞b2 D.a＜｜b｜
6.已知命题p：“ x∈R，（a＋1）x2－2（a＋1）x＋3≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.－1＜a＜2 B.a≥1
C.a＜－1 D.－1≤a≤2
7.一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80%的酒精.第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满.要使这时容器内的酒精的浓度不大于20%.则每次至少倒出溶液（ ）
A.200 mL B.500 mL
C.1 000 mL D.1 500 mL
8.设x＞0，y＞0，不等式＋＋≥0恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A.－2 B.2
C.1 D.－4
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A.c－a＜c－b B.ac2≥bc2
C.＜ D.＜1
10.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是（ ）
A.a＜0
B.ax＋c＞0的解集为{x｜x＞6}
C.8a＋4b＋3c＜0
D.cx2＋bx＋a＜0的解集为
11.已知正数a，b满足（a－1）（b－1）＝1，则（ ）
A.＋＝1 B.＋2b≥5
C.a＋b≥4 D.a2＋b2≥8
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是 .
13.若－1＜x＜y＜1，则x－y的取值范围是 .
14.已知关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为集合A，集合B＝{x｜2＜x＜3}.若B A，则实数a的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）解下列不等式.
（1）－3x2＋5x－2＞0；
（2）＞1.
16.（本小题满分15分）（1）求函数y＝－x（0＜x＜4）的最小值；
（2）已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2，求＋的最小值.
17.（本小题满分15分）已知关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0.
（1）当a＝2时，解上述不等式；
（2）当a＜1时，解上述关于x的不等式.
18.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；
（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？
19.（本小题满分17分）学习与探究问题：已知正实数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值.求解本题的方法很多，其中一种求解方法是：＋＝（x＋y）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝，y＝时等号成立.这种解题方法叫做“1”的代换.
（1）利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足－＝1，试比较a2－b2与（x－y）2的大小，并注明等号成立的条件；
（2）利用（1）中的结论，求T＝－的最小值，并注明使T取得最小值时t的值.
2 / 3章末检测（二） 一元二次函数、方程和不等式
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（ ）
A.M＞N B.M≥N
C.M＜N D.M≤N
解析：A 因为M－N＝（2a2－4a）－（a2－2a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.
2.不等式＜0的解集为（ ）
A.{x｜－2＜x＜3} B.{x｜x＜－2}
C.{x｜x＜－2或x＞3} D.{x｜x＞3}
解析：A 法一 原不等式可化为（x－3）（x＋2）＜0，其对应方程的两根分别为3和－2，对应函数的图象为开口向上的抛物线，故原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}.
法二 ＜0等价于不等式组①，或②，解①，得x∈ ；解②，得－2＜x＜3.所以原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}.
3.已知p：2x－3＞0，q：6x－8＞x2，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：B 因为2x－3＞0，所以x＞，又因为6x－8＞x2，则2＜x＜4，因为{x｜2＜x＜4} ，所以p是q的必要不充分条件.
4.若a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则的最小值为（ ）
A.2 B.
C.4 D.
解析：B 因为a＞0，b＞0，故2a＋b≥2（当且仅当2a＝b时取等号）.又因为2a＋b＝4，所以2≤4 0＜ab≤2，所以≥，故的最小值为.
5.已知a，b∈R，若ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A.＜ B.＋＞0
C.a2＞b2 D.a＜｜b｜
解析：C 由题意得a＞0，b＜0，所以＞0＞，故A错误；＜0，＜0，所以＋＜0，故B错误；由a＋b＞0得a＞｜b｜，所以a2＞b2，故C正确，D错误.
6.已知命题p：“ x∈R，（a＋1）x2－2（a＋1）x＋3≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.－1＜a＜2 B.a≥1
C.a＜－1 D.－1≤a≤2
解析：D 当a＝－1时，3≥0成立；当a≠－1时，需满足解得－1＜a≤2.综上所述，－1≤a≤2.
7.一个容积为1 000 mL的容器里盛满浓度为80%的酒精.第一次倒出若干毫升后，用水加满；第二次又倒出同样毫升数的溶液，再用水加满.要使这时容器内的酒精的浓度不大于20%.则每次至少倒出溶液（ ）
A.200 mL B.500 mL
C.1 000 mL D.1 500 mL
解析：B 设每次倒出溶液x mL.根据题意，得1 000×80%－1 000×20%≤80%x＋x，整理得x2－2 000x＋750 000≤0，解得500≤x≤1 500.又因为x≤1 000，所以500≤x≤1 000.故每次至少倒出500 mL溶液.
8.设x＞0，y＞0，不等式＋＋≥0恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A.－2 B.2
C.1 D.－4
解析：D 因为x＞0，y＞0，不等式＋＋≥0恒成立，即m≥－（x＋y）恒成立.因为（x＋y）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时取等号，所以－（x＋y）≤－4，所以m≥－4，所以m的最小值为－4.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A.c－a＜c－b B.ac2≥bc2
C.＜ D.＜1
解析：AB 由a＞b，得－a＜－b，那么c－a＜c－b，所以A正确；由a＞b，且c2≥0，所以ac2≥bc2，所以B正确；取a＝1，b＝－2，可知＝1＞＝－，此时不等式＜不成立，所以C错误；取a＝－1，b＝－2，此时＝2＞1，即不等式＜1不成立，所以D错误.故选A、B.
10.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是（ ）
A.a＜0
B.ax＋c＞0的解集为{x｜x＞6}
C.8a＋4b＋3c＜0
D.cx2＋bx＋a＜0的解集为
解析：AD 因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥3}，所以a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2，3，即3×（－2）＝＝－6，3＋（－2）＝－＝1 c＝－6a，b＝－a，因此选项A正确；因为c＝－6a，a＜0，所以ax＋c＞0 ax－6a＞0 x＜6，因此选项B不正确；由c＝－6a，b＝－a可知：8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a＞0，因此选项C不正确；因为c＝－6a，b＝－a，所以cx2＋bx＋a＜0 －6ax2－ax＋a＜0 6x2＋x－1＜0，解得－＜x＜，因此选项D正确.
11.已知正数a，b满足（a－1）（b－1）＝1，则（ ）
A.＋＝1 B.＋2b≥5
C.a＋b≥4 D.a2＋b2≥8
解析：ACD 由（a－1）（b－1）＝1，可得ab＝a＋b，即＋＝1，故A正确；由（a－1）（b－1）＝1＞0，a，b均为正数，可知a＞1，b＞1.＋2b＝＋2（b－1）＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当＝2（b－1），即b＝1＋时，等号成立，故B错误；a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故C正确；a2＋b2≥2ab＝2（a＋b）≥8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，故D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是{k｜k≥4或k≤2}.
解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
13.若－1＜x＜y＜1，则x－y的取值范围是{x－y｜－2＜x－y＜0}.
解析：因为－1＜x＜y＜1，所以则得－2＜x－y＜0，因此x－y的取值范围是{x－y｜－2＜x－y＜0}.
14.已知关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为集合A，集合B＝{x｜2＜x＜3}.若B A，则实数a的取值范围为{a｜a≤1}.
解析：关于x的不等式（x－1）（x－2a）＞0（a∈R）的解集为A.①当2a＞1时，A＝{x｜x＜1或x＞2a}，∵B A，∴解得＜a≤1；②当2a＝1，即a＝时，A＝{x｜x≠1}，此时B A，满足题意；③当2a＜1时，A＝{x｜x＜2a或x＞1}，满足B A，由2a＜1，解得a＜.综上可得实数a的取值范围为{a｜a≤1}.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）解下列不等式.
（1）－3x2＋5x－2＞0；
（2）＞1.
解：（1）原不等式可化为3x2－5x＋2＜0，
因为Δ＝（－5）2－4×3×2＝1＞0，所以方程3x2－5x＋2＝0的两个实数根为x1＝，x2＝1.
所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为.
（2）原不等式可化为－1＞0，
所以＞0，即＞0，解得x＜－2.故原不等式的解集为{x｜x＜－2}.
16.（本小题满分15分）（1）求函数y＝－x（0＜x＜4）的最小值；
（2）已知a＞0，b＞0，2a＋b＝2，求＋的最小值.
解：（1）因为0＜x＜4，所以4－x＞0，
则y＝－x＝＋4－x－4≥2－4＝－2，
当且仅当＝4－x，即x＝3时等号成立，所以函数y的最小值为－2.
（2）法一 ＋＝＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
所以＋的最小值为.
法二 ＋＝＋＝＋－2＝（2a＋b）－2
＝－2≥－2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
所以＋的最小值为.
17.（本小题满分15分）已知关于x的不等式（ax－1）（x－1）＜0.
（1）当a＝2时，解上述不等式；
（2）当a＜1时，解上述关于x的不等式.
解：（1）当a＝2时，代入可得（2x－1）（x－1）＜0，解得＜x＜1，
所以不等式的解集为.
（2）当a＝0时，代入不等式可得－x＋1＜0，解得x＞1；
当0＜a＜1时，化简不等式可得a（x－1）＜0，由＞1，解不等式可得1＜x＜；
当a＜0时，化简不等式可得a（x－1）＜0，解不等式可得x＞1或x＜.
综上可知，当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}.
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
当a＜0时，不等式的解集为.
18.（本小题满分17分）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
（1）扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地从第几年开始获取纯利润；
（2）若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？
解：（1）由已知得，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝12，即解得a＝3，c＝0，所以y＝3x2.
又投资243万元，x年共收入90x万元，
设x年共获得的纯利润为P万元，则P＝90x－3x2－243（x∈N*）.
令P＞0，即90x－3x2－243＞0，即x2－30x＋81＜0，解得3＜x＜27（x∈N*），
所以从第4年开始获得纯利润.
（2）方案①：
年平均利润t＝＝90－3≤90－3×2＝36（万元），当且仅当x＝9时，取等号，
所以当x＝9时，t取最大值36，
此时以138万元出售该基地共获得利润36×9＋138＝462（万元）.
方案②：
由（1）知P＝90x－3x2－243＝－3（x－15）2＋432（x∈N*），
当x＝15时，纯利润总和最大，为432万元，
此时以30万元出售该基地共获得利润432＋30＝462（万元）.
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.
19.（本小题满分17分）学习与探究问题：已知正实数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值.求解本题的方法很多，其中一种求解方法是：＋＝（x＋y）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝，y＝时等号成立.这种解题方法叫做“1”的代换.
（1）利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足－＝1，试比较a2－b2与（x－y）2的大小，并注明等号成立的条件；
（2）利用（1）中的结论，求T＝－的最小值，并注明使T取得最小值时t的值.
解：（1）a2－b2＝（a2－b2）＝x2＋y2－，
又＋≥2＝2｜xy｜，
当且仅当＝时，等号成立，
所以x2＋y2－≤x2＋y2－2｜xy｜≤x2＋y2－2xy＝（x－y）2，
因此a2－b2≤（x－y）2，
当且仅当＝且－＝1，x，y同号时等号成立.
（2）令x＝，y＝，t≥1，
设－＝1，则－＝1，
即t＋＝0对任意t≥1恒成立，
则＝，＋＝1，解得a2＝1，b2＝，所以x2－9y2＝1.
因为9t－8＝t－1＋8t－7＞t－1，所以T＝x－y＞0，
由（1）中的结论得（x－y）2≥a2－b2＝1－＝，
所以T＝x－y≥＝，
当且仅当＝，x2－9y2＝1，且x，y＞0，
即x＝，y＝时等号成立，此时t＝.
所以当t＝时，T有最小值.
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