一、不等式及其性质
理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关.
【例1】 （1）〔多选〕若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（ ）
A.＞ B.ab＜b2
C.a｜c｜＞b｜c｜ D.a（c2＋1）＜b（c2＋1）
解析：AD 对于A，因为a＜b＜0，所以－＝＞0，则＞，故A正确；对于B，因为a＜b＜0，所以ab＞b2，故B错误；对于C，当c＝0时，a｜c｜＝b｜c｜，故C错误；对于D，由c2＋1＞0，a＜b＜0，可得a（c2＋1）＜b（c2＋1），故D正确.
（2）已知－1＜x＜4，2＜y＜3.试求x－y与3x＋2y的取值范围.
解：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，
所以－3＜－y＜－2，
所以－4＜x－y＜2.
由－1＜x＜4，2＜y＜3，可得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18.
【反思感悟】
不等式及其性质的2个关注点
（1）运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题；
（2）作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
二、基本不等式（考教衔接）
基本不等式：≤（a＞0，b＞0）是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式中和与积的转化在高考中也经常出现.
教材原题 （链接教材P58复习参考题5题）若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.
变式1 若条件不变，则a＋b的最小值为6.
解析：因为a＞0，b＞0，所以ab≤，所以ab＝a＋b＋3≤，所以（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即[（a＋b）－6][（a＋b）＋2]≥0，因为a＋b＋2＞0，所以a＋b－6≥0，所以a＋b≥6，当且仅当a＝b，即a＝b＝3时，a＋b取最小值6，故a＋b的最小值为6.
变式2 若a，b＞0，且ab＝a＋b，则a＋b的最小值为4.
解析：因为a，b＞0，且ab＝a＋b得＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝2时取等号，所以a＋b的最小值为4.
变式3 若正实数a，b，满足a＋2b＝1，求＋的最小值.
解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝1，∴（a＋1）＋2b＝2，∴＋＝[（a＋1）＋2b]＝≥（6＋2）＝×（6＋4）＝3＋2（当且仅当＝，即a＝3－2，b＝－1时取等号），∴＋的最小值为3＋2.
变式4 （真题检验）〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解析：BC 对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝－，所以（x＋y）2－3＝1，即1＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知.故选B、C.
【反思感悟】
利用基本不等式解题的关注点
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”；
（2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式；
（3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.
三、一元二次不等式的解法
通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例2】 若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是.
（1）求a的值；
解：依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a＜0.由根与系数的关系，得解得a＝－2.
（2）求不等式＞a＋5的解集.
解：将a＝－2代入不等式，得＞3，即－3＞0，整理得＞0，即（x＋1）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜－1，则不等式的解集为{x｜－2＜x＜－1}.
【反思感悟】
一元二次不等式的解集问题
（1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系；
（2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、构建数学模型解决实际问题
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例3】 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费）
（1）若运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度值的范围；
解：设汽车行驶的速度为x千米/时，运输的总费用为y元，则y＝×60＋1 000＋2x.
令×60＋1 000＋2x≤1 260，整理得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90.
∴若运输的总费用不超过1 260元，则汽车行驶速度值的范围应为{x｜40≤x≤90}.
（2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
解：由（1）得y＝×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2＋1 000＝1 240，当且仅当2x＝，即x＝60时取等号，∴若要使运输的总费用最小，则汽车应以每小时60千米的速度行驶.
【反思感悟】
解决实际问题的关注点
（1）审题要准，初步建模；
（2）设出变量，列出函数关系式；
（3）根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
1 / 4
一、不等式及其性质
理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关.
【例1】 （1）〔多选〕若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（ ）
A.＞ B.ab＜b2
C.a｜c｜＞b｜c｜ D.a（c2＋1）＜b（c2＋1）
（2）已知－1＜x＜4，2＜y＜3.试求x－y与3x＋2y的取值范围.
【反思感悟】
不等式及其性质的2个关注点
（1）运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题；
（2）作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等.
二、基本不等式（考教衔接）
基本不等式：≤（a＞0，b＞0）是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式中和与积的转化在高考中也经常出现.
教材原题 （链接教材P58复习参考题5题）若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.
变式1 若条件不变，则a＋b的最小值为 .
变式2 若a，b＞0，且ab＝a＋b，则a＋b的最小值为 .
变式3 若正实数a，b，满足a＋2b＝1，求＋的最小值.
变式4 （真题检验）〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
【反思感悟】
利用基本不等式解题的关注点
（1）前提：“一正”“二定”“三相等”；
（2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式；
（3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.
三、一元二次不等式的解法
通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例2】 若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是.
（1）求a的值；
（2）求不等式＞a＋5的解集.
【反思感悟】
一元二次不等式的解集问题
（1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系；
（2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、构建数学模型解决实际问题
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例3】 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费）
（1）若运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度值的范围；
（2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
【反思感悟】
解决实际问题的关注点
（1）审题要准，初步建模；
（2）设出变量，列出函数关系式；
（3）根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
2 / 2
