第二课时 等式性质与不等式性质
知识点一｜等式的性质
【知识梳理】
性质 别名 内容
1 对称性 如果a＝b，那么b＝a
2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c
3 同加（减）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c
4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc
5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝
提醒：（1）性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性；（2）性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性.
训练1 （1）〔多选〕若ma＝mb，则下列等式一定成立的是（ BCD ）
A.a＝b B.ma－3＝mb－3
C.－ma＝－mb D.ma＋8＝mb＋8
解析：当m＝0时，a＝b不一定成立；根据等式的性质3可知ma－3＝mb－3，ma＋8＝mb＋8均成立；根据等式的性质4可知，－ma＝－mb.
（2）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.
①若2x－3＝－5，则2x＝－2，x＝－1；
②若5x＋2＝2x－4，则3x＝－6，x＝－2.
解析：①根据等式的性质3，等式两边同加3，得2x＝－2.再根据等式的性质5，等式两边同除以2，得x＝－1.
②根据等式的性质3，等式两边同减（2x＋2），得3x＝－6.再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得x＝－2.
知识点二｜不等式的性质
问题 （1）如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？
提示：甲比丙高.如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
（2）若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数一定比乙班多吗？如何用符号语言表述这种不等关系？
提示：一定.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
【知识梳理】
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b ＜ a 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c ＞ b＋c 可逆
4 可乘性 ac ＞ bc c的符号
ac ＜ bc
性质 别名 性质内容 注意
5 同向可加性 a＋c ＞ b＋d 同向
6 同向同正可乘性 ac ＞ bd 同向同正
7 可乘方性 a＞b＞0 an ＞ bn（n∈N，n≥2） 同正
【例1】 〔多选〕下列命题中为真命题的是（ ）
A.若a＞b，c＞d则a－d＞b－c
B.a2＞b2 a＞b＞0
C.若a＞b，c＞d＞0，则＞
D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
解析：AD 对于A，由c＞d，则－d＞－c，又因为a＞b，所以a－d＞b－c，故A为真命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1满足a＞b且c＞d＞0，而＝－1，＝－1，＝，故C为假命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题.
【规律方法】
利用不等式的性质判断命题真假的2种方法
（1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
训练2 （1）已知a＞b，则下列关系中正确的是（ A ）
A.a－c＞b－c B.ac＞bc
C.｜a｜＞｜b｜ D.a2＞b2
解析：对于A，由a＞b，得a－c＞b－c，故A正确；对于B，当c＝0时，ac＝bc，故B错误；对于C，D，当a＝－3，b＝－7时，a＞b，而｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜a｜＜｜b｜，故C错误；a2＝9，b2＝49，则a2＜b2，故D错误.
（2）〔多选〕对于实数a，b，c，下列命题中正确的有（ AD ）
A.若a＞b且ab＞0，则＜
B.若＜且c＞0，则a＞b
C.若a＞b＞0，c＜d＜0，则＞
D.若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞
解析：由ab＞0，得＞0.又a＞b，所以·a＞·b，即＜，A正确；取a＝－1，b＝1，c＝1，满足＜且c＞0，但a＜b，B错误；由c＜d＜0，得－c＞－d＞0，＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，＜，C错误；因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以＞＞0，所以＞，D正确.
知识点三｜利用不等式的性质证明不等式
【例2】 （链接教材P42例2）已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
证明：因为a＞b＞0，所以－a＜－b，c－a＜c－b.
因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b.
上式两边同乘，得＞＞0.
又因为a＞b＞0，所以＞.
【规律方法】
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
训练3 已知a＞b＞0，求证：＞.
证明：∵a＞b＞0，∴＞＞0. ①
又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0. ②
由①②得＞.
提能点｜利用不等式的性质求代数式的范围
【例3】 已知1＜a＜6，3＜b＜4，则的取值范围是＜＜2，2a－b的取值范围为－2＜2a－b＜9.
解析：因为3＜b＜4，所以＜＜，所以＜＜2.因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，所以2－4＜2a－b＜12－3，即－2＜2a－b＜9.
变式1 本例条件不变，则－的取值范围为－8＜－＜－1.
解析：因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以＜＜1，所以＜＜4，所以－4＜－＜－，所以－8＜－＜－1.
变式2 若将本例条件变为“2＜a＜7，1＜b＜2”，求2a－b，的取值范围.
解：因为2＜a＜7，1＜b＜2，所以4＜2a＜14，－2＜－b＜－1，＜＜1，所以2＜2a－b＜13，1＜＜7.
【规律方法】
利用不等式的性质求代数式范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围.
训练4 已知－＜β＜α＜，求2α－β的取值范围.
解：因为－＜α＜，－＜β＜，
所以－＜－β＜，所以－π＜α－β＜π.
又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π，
又2α－β＝α＋（α－β），所以－＜2α－β＜π.
糖水不等式的探究与应用
（链接教材P43习题10题）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜.
【问题探究】
试将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
解：已知b＞a＞0，m＞0，则＞（糖水不等式）.
证明如下：法一 －＝＝.
∵b＞a，m＞0，
∴b－a＞0，＞0，即＜.
法二 要证＜，
只需证a（b＋m）＜b（a＋m），
只需证am＜bm，
即证a＜b，由已知条件可得显然成立.
【拓展延伸】
“糖水不等式”常见变形如下：
①a，b，m都为正实数，且a＞b，则＞；
②a，b，m都为正实数，且a＜b，则＜；
③a，b，m都为正实数，且a＜b，a＞m，则＜；
④a，b，m，n都为正实数，且a＜b，n＜m，则＜；
⑤a，b，m，n都为正实数，且a＞b，n＜m，则＞；
⑥a，b，c，d都为正实数，且＜，则＜.
【迁移应用】
1.已知p：m＞n＞0，q：＞，则p是q的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：B 由糖水不等式得m＞n＞0时，＞成立；反之当n＝0，m＝1时，＞成立，m＞n＞0不成立.故选B.
2.（链接教材P58复习参考题7题）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少m2？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是坏了？
解：（1）设公寓窗户面积为a m2，则地板面积为（220－a）m2.由题意知≥10%，解得a≥20.所以这所公寓的窗户面积至少为20 m2.
（2）设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为m m2.
因为a，b，m＞0，且a＜b，所以－＝＝＞0，即＞.所以公寓的采光效果变好了.
1.与a＞b等价的不等式是（ ）
A.｜a｜＞｜b｜ B.a2＞b2
C.＞1 D.a3＞b3
解析：D 可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但｜a｜＜｜b｜，a2＜b2，＝－＜1，故A、B、C都不正确.
2.〔多选〕已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A.ac2＞bc2 a＞b B.＞ a＞b
C. ＞ D. ＞
解析：AC 由ac2＞bc2可知c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，A成立；当c＜0时，B不成立；ab＜0，a＞b ＜，即＞，C成立；同理可证D不成立.
3.已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则3x＋2y的取值范围为1＜3x＋2y＜18.
解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18.
4.已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
证明：因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d.则a－c＞b－d.
课堂小结
1.理清单 （1）等式的性质； （2）不等式的性质及其应用. 2.应体会 不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件要满足. 3.避易错 注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.
1.若a＞0，b＜0，且｜a｜＜｜b｜，则a＋b一定是（ ）
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
解析：B 因为a＞0，b＜0，所以｜a｜＝a，｜b｜＝－b.又因为｜a｜＜｜b｜，所以a＜－b，所以a＋b＜0，所以a＋b一定是负数.
2.已知a＜b＜0，则（ ）
A.a2＜ab B.ab＜b2
C.a2＜b2 D.a2＞b2
解析：D 由a＜b＜0，不妨取a＝－2，b＝－1.对于A，a2＝4，ab＝2，故a2＜ab不成立；对于B，b2＝1，ab＝2，故ab＜b2不成立；对于C，a2＝4，b2＝1，故a2＜b2不成立；对于D，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以（－a）2＞（－b）2＞0，即a2＞b2.故选D.
3.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是（ ）
A.a＞b B.b＞a
C.a＞m D.m＞b
解析：B ＞ －＞0 －＝＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a.
4.下列命题中正确的是（ ）
A.若a＞b，则ac4＞bc4
B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C.若a＞b且k∈N*，则ak＞bk
D.若a＞b＞0，则＞
解析：D A项，当c4＝0时，ac4＝bc4，故A不正确.B项，当a＝－1，b＝－2，c＝－3，d＝－4时，满足a＞b，c＞d，但ac＝3，bd＝8，此时ac＜bd，故B不正确.C项，当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故C不正确.D项，因为a＞b＞0，所以＞＞0①，又a＞b＞0两边同乘正数得＞＞0②，由①②得＞，故D正确.
5.〔多选〕若m＋n＜0，且m＞0，则（ ）
A.n＜0 B.－mn＞n2
C.－mn＞m2 D.｜m｜＞｜n｜
解析：AC 因为m＋n＜0，且m＞0，所以n＜0，且｜m｜＜｜n｜，A正确，D错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以n（n＜0）得－mn＜n2，B错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以－m（m＞0）得m2＜－mn，故－mn＞m2，C正确.故选A、C.
6.〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（ ）
A.4≤a＋b≤7 B.2≤b－a≤3
C.3≤ab≤10 D.≤≤
解析：AC 因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，故A正确；因为－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，故C正确；因为≤≤，所以≤≤，故D错误，故选A、C.
7.设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为y＜－y＜x.
解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y＜－y＜x.
8.不等式a＞b和＞同时成立的条件是a＞0＞b.
解析：∵－＝，∴a＞b和＞同时成立的条件是a＞0＞b.
9.若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要条件.
解析：∵－＞0，∴＞，∴（）2＞（）2，∴a＞b＞0，∴a2－b2＞0，∴“－＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出－＞0.
10.（1）若a＜b＜0，求证：＜；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
证明：（1）由于－＝＝.
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
（2）∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0，∴＞0，两边同乘以得，≤.
11.若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－｜b｜的范围是（ ）
A.－3＜a－｜b｜≤3 B.－3＜a－｜b｜＜5
C.－3＜a－｜b｜＜3 D.1＜a－｜b｜＜4
解析：C ∵－4＜b＜2，∴0≤｜b｜＜4，∴－4＜－｜b｜≤0.又1＜a＜3，∴－3＜a－｜b｜＜3.
12.有外表相同，质量不同的4个小球，它们的质量分别为a，b，c，d，且满足a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，b＞a＋c，则这4个小球由重到轻的顺序为（ ）
A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a
C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b
解析：A 由于a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，则a＋d＋（a＋b）＞b＋c＋（c＋d），所以a＞c，b＜d.又b＞a＋c，则a＜b.综上，d＞b＞a＞c.故选A.
13.若实数x，y满足－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，则x＋2y的取值范围为－1＜x＋2y＜6.
解析：∵x＋2y＝2（x＋y）＋（－x），且－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，∴－1＜－x＜2，0＜2（x＋y）＜4，∴－1＋0＜2（x＋y）＋（－x）＜4＋2，即－1＜x＋2y＜6.
14.证明下列不等式：
（1）若a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b；
（2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明：（1）因为－（a＋b）＝＝，
又因为a＞0，b＞0，所以≥0，所以＋≥a＋b.
（2）由－＝
＝，
因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0，
所以（a＋b）－（c＋d）＞0，（b－a）＋（c－d）＜0.
又因为e＜0，所以e[（a＋b）－（c＋d）][（b－a）＋（c－d）]＞0.
又因为（a－c）2（b－d）2＞0，
所以－＞0，即＞.
15.对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对（m，n）是（p，q）的“下位序列”.
（1）对于2，3，7，11，有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”吗？请简单说明理由；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系.
解：（1）有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”.
因为3×7＜11×2，
所以（3，11）是（2，7）的“下位序列”.
（2）因为（a，b）是（c，d）的“下位序列”，所以ad＜bc，因为a，b，c，d均为正数，
所以－＝＞0，
所以＞，又－＝＜0，
所以＜，综上所述，＜＜.
1 / 2第二课时 等式性质与不等式性质
1.若a＞0，b＜0，且｜a｜＜｜b｜，则a＋b一定是（ ）
A.正数 B.负数
C.非正数 D.非负数
2.已知a＜b＜0，则（ ）
A.a2＜ab B.ab＜b2
C.a2＜b2 D.a2＞b2
3.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是（ ）
A.a＞b B.b＞a
C.a＞m D.m＞b
4.下列命题中正确的是（ ）
A.若a＞b，则ac4＞bc4
B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C.若a＞b且k∈N*，则ak＞bk
D.若a＞b＞0，则＞
5.〔多选〕若m＋n＜0，且m＞0，则（ ）
A.n＜0 B.－mn＞n2
C.－mn＞m2 D.｜m｜＞｜n｜
6.〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（ ）
A.4≤a＋b≤7 B.2≤b－a≤3
C.3≤ab≤10 D.≤≤
7.设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为 .
8.不等式a＞b和＞同时成立的条件是 .
9.若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的 条件.
10.（1）若a＜b＜0，求证：＜；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
11.若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－｜b｜的范围是（ ）
A.－3＜a－｜b｜≤3 B.－3＜a－｜b｜＜5
C.－3＜a－｜b｜＜3 D.1＜a－｜b｜＜4
12.有外表相同，质量不同的4个小球，它们的质量分别为a，b，c，d，且满足a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，b＞a＋c，则这4个小球由重到轻的顺序为（ ）
A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a
C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b
13.若实数x，y满足－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，则x＋2y的取值范围为 .
14.证明下列不等式：
（1）若a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b；
（2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
15.对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对（m，n）是（p，q）的“下位序列”.
（1）对于2，3，7，11，有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”吗？请简单说明理由；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系.
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