第一课时 不等关系与比较大小
1.某厂月生活费a不低于300元，用不等式表示为（ ）
A.a≤300 B.a≥300
C.a＞300 D.a＜300
2.已知a1，a2∈{x｜0＜x＜1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A.M＜N B.M＞N
C.M＝N D.不确定
3.某学生期中考试数学成绩x不低于90分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为（ ）
A. B.
C. D.
4.在开山爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外（含150 m）为安全区.为使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：cm）应满足的不等式为（ ）
A.4×＜150 B.4×＞150
C.4×≤150 D.4×≥150
5.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B.小亮的体重x kg，小谦的体重y kg，则小亮比小谦重表示为“x＞y”
C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”
6.〔多选〕下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a2＋2＞2a
B.a2＋b2≥2（a－b－1）
C.a2＋b2≥ab
D.（a＋3）（a－5）＞（a＋2）（a－4）
7.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为 .
8.已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为 .
9.已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是 ，当且仅当a＝b＝ 时取得最小值.
10.有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
11.已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则（ ）
A.M＞N B.M＝N
C.M＜N D.不能确定
12.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A.6钱 B.7钱
C.8钱 D.9钱
13.比较下列各组M与N的大小.
（1）M＝（ac＋bd）2与N＝（a2＋b2）（c2＋d2）；
（2）已知a≥1，M＝－与N＝－.
14.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，和墙相对的一边长为x m.
（1）若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；
（2）若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系.
15.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx
C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz
2 / 22.1 等式性质与不等式性质
课标要求
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（数学抽象）.
2.会梳理等式的性质，理解不等式的概念，用类比的方法探究和掌握不等式的性质（逻辑推理）.
情境导入
实际生活中：在数学中，我们怎样来表示相等与不等关系呢？
第一课时 不等关系与比较大小
知识点一｜不等关系与不等式
问题1 在日常生活中，我们经常看到下列标志：
（1）上面各图中的标志有何作用？
提示：①限制高度；②最低限速；③限制质量.
（2）其含义分别是什么？
提示：①装载高度h不得超过3.5 m；②限制行驶速度v不得低于50 km/h；③装载总质量m不得超过10 t.
（3）你能用数学式子表示上述关系吗？
提示：①h≤3.5 m；②v≥50 km/h；③m≤10 t.
【知识梳理】
1.不等关系
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.
2.常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不超过
符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤
【例1】 （链接教材P40练习1题）某汽车运输公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）.
解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
【规律方法】
用不等式（组）表示不等关系的思路
（1）审题，读懂题意，分清已知量和未知量，设出未知量；
（2）找关系，寻找已知量和未知量之间有哪些不等关系（注意隐含条件和实际意义）；
（3）列不等式（组），建立已知量和未知量之间的关系式（不重不漏）.
训练1 （1）〔多选〕下面说法正确的是（ ）
A.x与2的和是非负数，可表示为“x＋2＞0”
B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“a＋b＞c且a＋c＞b且b＋c＞a”
D.若某天的最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度t ℃可表示为“7≤t≤13”
解析：CD x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，故A错误.小明比小华矮，应表示为“x＜y”，故B错误.C、D正确.
（2）京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低速度，该速度超过了普通客车速度的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系.
解：设复兴号列车的速度为v1，民航飞机的最低速度为v2，普通客车的速度为v3，则有
知识点二｜实数（式）的大小比较
问题2 （1）对于两个实数a，b，其大小关系有哪几种可能？
提示：三种关系：a＞b；a＝b；a＜b.
（2）给定两个实数（或代数式）a，b，如何比较它们的大小？
提示：可作差比较.若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.
【知识梳理】
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么 a＞b a－b＞0 a＞b
如果a－b等于0，那么 a＝b a－b＝0 a＝b
如果a－b是负数，那么 a＜b a－b＜0 a＜b
【例2】 （链接教材P38例1）（1）比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小；
（2）已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小.
解：（1）（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝＋.
∵≥0，∴＋≥＞0，
∴（2x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2）＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
（2）3x3－（3x2－x＋1）＝（3x3－3x2）＋（x－1）＝3x2（x－1）＋（x－1）＝（3x2＋1）（x－1）.
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴（3x2＋1）（x－1）≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
变式 把本例（2）中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小.
解：3x3－（3x2－x＋1）＝（3x2＋1）（x－1）.
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
【规律方法】
作差法比较两个实数（式）大小的基本步骤
提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
训练2 已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
解：∵a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2）
＝a2（a－b）＋b2（b－a）
＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，（a－b）2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
知识点三｜重要不等式
问题3 如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形.
（1）你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？
提示：能.设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a≠b），则正方形的边长为.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，则由图可知a2＋b2＞2ab.
（2）它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？
提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab，于是就有a2＋b2≥2ab.
【知识梳理】
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当 a＝b 时，等号成立.
【例3】 （链接教材P40练习3题）已知a＞0，求证：a＋≥2.
证明：法一 因为a＞0，
所以a＋＝（）2＋≥2·＝2.
当且仅当＝，即a＝1时，等号成立.
所以a＋≥2.
法二 因为a＞0，a＋－2＝（）2＋－2＝≥0，所以a＋≥2.
【规律方法】
在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质.
训练3 已知x，y∈R，且x2＋y2＝4，试比较xy与2的大小关系.
解：由重要不等式可知x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，即4≥2xy，所以xy≤2.
提能点｜不等关系的实际应用
【例4】 某单位组织职工去北京旅游，需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位职工的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
解：设该单位职工有n人（n∈N*），全票价为x（x＞0）元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元.
由题意，得y1＝x＋x（n－1）＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.
所以，当该单位职工有5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
【规律方法】
1.“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
2.与不等式有关的实际应用问题，解答时要注意最后将数学结论再转化到实际问题中去，得出解决问题的方案.
训练4 某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件）
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元.
解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件（50－x）件.根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6（50－x）＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元.
1.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T（单位：吨）不超过40，则用不等式表示为（ ）
A.T＜40 B.T＞40 C.T≤40 D.T≥40
解析：C 限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.
2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示为.
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴
3.不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为a＝2.
解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即（a－2）2＝0，∴a＝2.
4.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，比较m，n的大小.
解：m－n＝a－2＋2－2＋b＝（－1）2＋（－1）2≥0，所以m≥n.
课堂小结
1.理清单 （1）用不等式（组）表示不等关系； （2）作差法比较大小； （3）重要不等式. 2.应体会 作差法比较大小的关键是差式变形，常用方法： （1）因式分解；（2）配方.其实质是比较差与零的大小. 3.避易错 易忽视实际问题中变量隐含的限制条件.
1.某厂月生活费a不低于300元，用不等式表示为（ ）
A.a≤300 B.a≥300
C.a＞300 D.a＜300
解析：B 依题意，生活费a不低于300元，即a≥300.故选B.
2.已知a1，a2∈{x｜0＜x＜1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A.M＜N B.M＞N
C.M＝N D.不确定
解析：B 由题意得0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝（a1－1）（a2－1）＞0，故M＞N.故选B.
3.某学生期中考试数学成绩x不低于90分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 由题意可得故选D.
4.在开山爆破时，已知导火索燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外（含150 m）为安全区.为使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：cm）应满足的不等式为（ ）
A.4×＜150 B.4×＞150
C.4×≤150 D.4×≥150
解析：D 由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在此时间内跑的路程为（4×）m，则应满足的不等式为4×≥150，故选D.
5.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B.小亮的体重x kg，小谦的体重y kg，则小亮比小谦重表示为“x＞y”
C.某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D.某变量y不超过a可表示为“y≤a”
解析：BCD 对于A，x应满足x≤2 000，故A错；B、C、D正确.
6.〔多选〕下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a2＋2＞2a
B.a2＋b2≥2（a－b－1）
C.a2＋b2≥ab
D.（a＋3）（a－5）＞（a＋2）（a－4）
解析：ABC A中，a2＋2－2a＝（a－1）2＋1＞0，故A正确；B中，a2＋b2－2（a－b－1）＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，故B正确；C中，a2＋b2－ab＝a2－ab＋b2＋b2＝＋b2≥0，故C正确；D中，因为（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7＜0，所以（a＋3）（a－5）＜（a＋2）（a－4），故D不正确.
7.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为499≤x≤501.
解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，∴499≤x≤501.
8.已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为P＞Q.
解析：∵P－Q＝（a2－4a＋3）－（－4a＋1）＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2.∵a2≥0，∴a2＋2＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
9.已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是2，当且仅当a＝b＝±1时取得最小值.
解析：由重要不等式得a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝±1时等号成立.
10.有学生若干个，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
解：设宿舍有x间，则学生有（4x＋19）人，依题意，得解得＜x＜.∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67，故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
11.已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则（ ）
A.M＞N B.M＝N
C.M＜N D.不能确定
解析：A 易知M＞0，N＞0，∵M2－N2＝（＋）2－（）2＝2＞0，∴M＞N.
12.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（ ）
A.6钱 B.7钱
C.8钱 D.9钱
解析：C 依题意可设买大竹子x根，每根单价为m钱，则买小竹子（78－x）根，每根单价为（m－1）钱，所以576＝mx＋（78－x）（m－1），即78m＋x＝654，即x＝6（109－13m），因为0≤x≤78，所以即所以≤m≤，根据选项知m＝8，x＝30，所以买大竹子30根，每根8钱.
13.比较下列各组M与N的大小.
（1）M＝（ac＋bd）2与N＝（a2＋b2）（c2＋d2）；
（2）已知a≥1，M＝－与N＝－.
解：（1）M－N＝（a2c2＋2abcd＋b2d2）－（a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2）＝－（ad－bc）2≤0，故M≤N.
（2）因为a≥1，
所以M＝－＞0，N＝－＞0，所以＝＝.
因为＋＞＋＞0，
所以＜1，所以M＜N.
14.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，和墙相对的一边长为x m.
（1）若要求菜园的面积不小于110 m2，试用不等式组表示其中的不等关系；
（2）若矩形的长、宽都不能超过11 m，试求x满足的不等关系.
解：（1）因为矩形菜园和墙相对的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18，这时菜园的另一边长为＝m，
所以菜园的面积S＝x，依题意有S≥110，即x≥110，故该题中的不等关系可用不等式组表示为
（2）由题得所以8≤x≤11.
15.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx
C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz
解析：B 法一（作差法） 因为x＜y＜z，a＜b＜c，所以x－z＜0，a－c＜0，c－b＞0，a－b＜0，z－y＞0，所以ax＋by＋cz－（az＋by＋cx）＝（x－z）（a－c）＞0，故ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）＝（x－z）（c－b）＜0，故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－（ay＋bz＋cx）＝（a－b）（z－y）＜0，故az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.
法二（特值法） 令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.因为10＜11＜13＜14，所以最低的总费用为az＋by＋cx.
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