第一课时 基本不等式
1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（ ）
A.x≥2y B.x＞2y
C.x≤2y D.x＜2y
2.下列各式中最小值为2的是（ ）
A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋
C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0）
3.3x2＋的最小值是（ ）
A.3－3 B.3
C.6 D.6－3
4.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则（1＋x）·（1＋y）的最大值为（ ）
A.9 B.16
C.25 D.36
5.〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（ ）
A.＋＞
B.a＋≥2
C.｜＋｜≥2
D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2
6.〔多选〕下列说法正确的有（ ）
A.x＋（x≠0）的最小值是2
B.＋（a＜0，b＜0）的最小值是2
C.x2＋2＋的最小值是2
D.（a＋b）（a＞0，b＞0）的最小值是4
7.已知y＝4x＋（x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，则a的值为 .
8.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为 .
9.已知x＞0，则y＝的最大值为 .
10.已知x＞3，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时，y取得最小值.下面是某位同学的解答过程：
解：因为x＞3，所以＞0，根据基本不等式有y＝x＋≥2，其中等号成立当且仅当x＝，即x（x－3）＝4，解得x＝4或x＝－1（舍），所以y＝x＋的最小值为2＝8，因此，当x＝4时，y＝x＋取得最小值8.
该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程.
11.若a，b都是正数，则的最小值为（ ）
A.5 B.7
C.9 D.13
12.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为 .
13.已知t＞0，则y＝的最大值为 .
14.若x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，求x＋3y＋5的最小值.
15.如图，ABDC为梯形，其中AB＝a，CD＝b，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，并据此几何图形推测这四个代数式之间的大小关系.
2 / 22.2 基本不等式
课标要求
1.知道基本不等式≤（a＞0，b＞0）的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件（逻辑推理）.
2.利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式（数学运算、逻辑推理）.
3.会用基本不等式求解实际应用题（数学建模）.
情境导入
有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起探究一下吧！
第一课时 基本不等式
知识点一｜基本不等式
问题1 （1）由教材中的“赵爽弦图”我们得到了一个什么样的不等式？
提示：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时，取得等号）.
（2）如果a＞0，b＞0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？
提示：用，分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立.
（3）上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a＞0，b＞0都能成立？请给出证明.
提示：法一（作差法） －＝
＝＝≥0，
即≥，当且仅当a＝b时，等号成立.
法二（性质法） 要证≤，
只需证2≤a＋b，
只需证2－a－b≤0，
只需证－（－）2≤0，
显然（－）2≥0成立，故原不等式成立，当且仅当a＝b时，等号成立.
【知识梳理】
1.如果a＞0，b＞0，那么 ≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立.
2.叫做正数a，b的 算术平均数 ，叫做正数a，b的 几何平均数 .
3.基本不等式表明：两个正数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数.
提醒：“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b ＝；②仅当a＝b时取等号，即＝ a＝b.
【例1】 〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.对 a，b∈R，≥成立
B.若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2
C.对 a，b∈R，a2＋b2≥2ab
D.若x＞2，则x＋≥2中可以取等号
解析：BC A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋≥2＝2取等号的条件为无解，不等式中不可取等号.
【规律方法】
利用基本不等式判断命题真假的步骤
（1）检查是否满足应用基本不等式的条件；
（2）应用基本不等式；
（3）检验等号是否成立.
训练1 下列不等式的推导过程正确的是①③.（填序号）
①因为a，b为正实数，所以＋≥2＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
③若x＜0，则x＋＝－≤－2·＝－4.
解析：②中，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，所以＋a≥2＝4是错误的；①和③可由基本不等式推导得到，正确.
知识点二｜基本不等式的几何解释
问题2 如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.
（1）线段OD，CD的长度分别是多少？
提示：OD＝，
因为△ADC∽△DBC，所以利用相似比可得CD＝.
（2）你能否利用语言文字描述以上结论？
提示：表示圆的半径的长.表示圆内任意半弦长.
（3）如何利用这个图形得到基本不等式的几何解释？
提示：根据直角三角形三边关系可知，OD＞CD，当且仅当点O与点C重合时，OD＝CD，所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立.即圆内任意半弦长小于或等于圆的半径长.
知识点三｜基本不等式与最值
问题3 （1）试写出基本不等式的几种变形.
提示：当a＞0，b＞0时，有①a＋b≥2；②ab≤.
（2）由基本不等式的变形你能发现什么规律？
提示：若两个正数的和为定值，我们可以求这两个数乘积的最大值；若两个正数的乘积为定值，我们可以求这两个数和的最小值.
【知识梳理】
已知x，y都是正数，则
（1）如果积xy等于定值P，那么当 x＝y 时，和x＋y有最小值 2 ；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当 x＝y 时，积xy有最大值 S2 .
提醒：三个关键点：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
【例2】 （链接教材P45例1）（1）若x＞0，求y＝4x＋的最小值；
解：∵x＞0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2＝2＝12，
当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，
∴y＝4x＋的最小值为12.
（2）若x＋y＝40，且x，y都是正数，求xy的最大值.
解：由xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，则所求最大值为400.
【规律方法】
利用基本不等式求最值的策略
训练2 （1）的最小值是2；
解析：＝｜a｜＋≥2＝2，当且仅当｜a｜＝，即a＝±时，取等号.
（2）若0＜a＜2，则的最大值为1.
解析：当0＜a＜2时，2－a＞0，则≤＝1，当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立.
提能点｜利用配凑法求最值
【例3】 （1）已知x＞3，求y＝2x＋的最小值；
解：因为x＞3，所以2x－6＞0，
所以y＝2x＋＝（2x－6）＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，
当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号，
所以y＝2x＋的最小值是10.
（2）已知0＜x＜，求y＝x（1－3x）的最大值.
解：因为0＜x＜，所以1－3x＞0，
所以y＝·3x（1－3x）≤＝×＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立.
所以y＝x（1－3x）的最大值为.
【规律方法】
配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
训练3 （1）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝4，则ab的最大值是（ B ）
A. B.2
C.2 D.4
解析：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝4，∴ab＝a·2b≤＝×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时，等号成立.∴ab的最大值为2.
（2）已知x＜0，则＋4x的最大值为－8.
解析：因为x＜0，所以－x＞0，所以＋（－4x）≥2＝8，当且仅当＝－4x，即x＝－时取等号，所以＋4x≤－8，所以当x＜0时，＋4x的最大值为－8.
1.不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是（ ）
A.a＝4 B.a＝
C.a＝－ D.a＝±
解析：D 此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±.
2.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为，此时x＝.
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值.
3.已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是4.
解析：正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝4y，即x＝2，y＝时，取得等号.
4.已知m，n＞0，且m＋n＝16，则mn的最大值为32.
解析：因为m，n＞0，且m＋n＝16，所以mn≤＝＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64，所以mn的最大值为32.
课堂小结
1.理清单 （1）基本不等式的推导与证明； （2）求简单代数式的最值. 2.应体会 求最值的常用方法有配凑法. 3.避易错 忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字.
1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（ ）
A.x≥2y B.x＞2y
C.x≤2y D.x＜2y
解析：B 因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y.
2.下列各式中最小值为2的是（ ）
A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋
C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0）
解析：B A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，所以等号取不到；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3.
3.3x2＋的最小值是（ ）
A.3－3 B.3
C.6 D.6－3
解析：D 3（x2＋1）＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.
4.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则（1＋x）·（1＋y）的最大值为（ ）
A.9 B.16
C.25 D.36
解析：C 法一 （1＋x）（1＋y）＝xy＋x＋y＋1＝xy＋9≤＋9＝25，当x＝y＝4时取等号，故选C.
法二 10＝（x＋1）＋（y＋1）≥2，解得（x＋1）（y＋1）≤25，当x＝y＝4时取等号，故选C.
5.〔多选〕已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（ ）
A.＋＞ B.a＋≥2
C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2
解析：CD 当a＝－1，b＝－1时，ab＞0，＋＞不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋≥2不成立，故B不符合题意；｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D.
6.〔多选〕下列说法正确的有（ ）
A.x＋（x≠0）的最小值是2
B.＋（a＜0，b＜0）的最小值是2
C.x2＋2＋的最小值是2
D.（a＋b）（a＞0，b＞0）的最小值是4
解析：BD x＋≥2，需x＞0，故A不正确.因为a＜0，b＜0，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故B正确.因为x2＋2＞0，所以x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＋2＝1时，等号成立，显然x2＋2＝1不成立，故C不正确.因为a＞0，b＞0，所以（a＋b）＝1＋＋＋1＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，故D正确.
7.已知y＝4x＋（x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，则a的值为36.
解析：∵y＝4x＋（x＞0，a＞0），∴y＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝即x＝时，等号成立.又∵y＝4x＋（x＞0，a＞0）在x＝3时取得最小值，∴＝3，∴a＝36.
8.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为3.
解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号.
9.已知x＞0，则y＝的最大值为－2.
解析：y＝＝2－x－，∵x＞0，∴x＋≥4.∴y＝2－≤2－4＝－2.当且仅当x＝（x＞0），即x＝2时取等号，∴ymax＝－2.
10.已知x＞3，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时，y取得最小值.下面是某位同学的解答过程：
解：因为x＞3，所以＞0，根据基本不等式有y＝x＋≥2，其中等号成立当且仅当x＝，即x（x－3）＝4，解得x＝4或x＝－1（舍），所以y＝x＋的最小值为2＝8，因此，当x＝4时，y＝x＋取得最小值8.
该同学的解答过程是否有错误？如果有，请指出错误的原因，并给出正确的解答过程.
解：解答过程有错误，错误原因：x·不是定值，所以最小值不一定在x＝处取得.
正确解答：
因为x＞3，所以x－3＞0，y＝x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，其中等号成立当且仅当x－3＝，
解得x＝5或x＝1（舍去），
所以当x＝5时，y＝x＋取得最小值7.
11.若a，b都是正数，则的最小值为（ ）
A.5 B.7
C.9 D.13
解析：C 因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时等号成立.
12.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为2.
解析：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋（3x＋2y）＝20，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立.∴W≤2，即W的最大值为2.
13.已知t＞0，则y＝的最大值为.
解析：因为t＞0，y＝，所以＝＝t＋＋4≥2＋4＝6，所以0＜y≤，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立，所以y＝的最大值为.
14.若x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，求x＋3y＋5的最小值.
解：因为x＞0，y＞0，且（x＋2）（y＋1）＝9，所以x＋3y＋5＝（x＋2）＋3（y＋1）≥2＝6，当且仅当x＋2＝3（y＋1），（x＋2）（y＋1）＝9，即时，等号成立，故当时，（x＋3y＋5）min＝6.
15.如图，ABDC为梯形，其中AB＝a，CD＝b，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.
试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，并据此几何图形推测这四个代数式之间的大小关系.
解：∵GH是梯形ABDC的中位线，
∴GH＝（AB＋CD）＝（a＋b）；
∵梯形ABLK与梯形KLDC相似，
∴＝，∴KL＝；
∵△AEO∽△ACD，△DOF∽△DAB，
∴＝，＝，∴＋＝1，同理＋＝1，∴EF＝；
∵S梯形MNDC＝S梯形ABNM＝S梯形ABDC，设这三个梯形的高分别为h1，h2，h，且h1＋h2＝h，
则有（a＋b）h＝（b＋MN）h1＝（a＋MN）h2，
∴MN＝.
由几何图形中线段长可知EF＜KL＜GH＜MN，
即＜＜＜.
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