第一课时 函数奇偶性的概念
1.若f（x）＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为（ ）
A.0 B.－1
C.1 D.2
2.若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（ ）
A.f（x）f（－x）＞0 B.f（x）f（－x）＜0
C.f（x）＜f（－x） D.f（x）＞f（－x）
3.函数f（x）＝的图象关于（ ）
A.y轴对称 B.x轴对称
C.坐标原点对称 D.直线y＝x对称
4.已知y＝f（x），x∈（－a，a），F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（x）是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
5.已知函数f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋2a＋b是定义在[2a－1，a]上的偶函数，则f（a＋b）＝（ ）
A.1 B.0
C.－ D.－
6.〔多选〕下列命题正确的是（ ）
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则恒有f（0）＝0
D.若函数f（x）为偶函数，则有f（x）＝f（－x）＝f（｜x｜）
7.〔多选〕如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是（ ）
A.g（x）＝x＋f（x） B.g（x）＝xf（x）
C.g（x）＝x2＋f（x） D.g（x）＝x2f（x）
8.已知函数f（x）＝x3＋，若f（a）＝4，则f（－a）＋f（）＝ .
9.已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是 .
10.已知函数f（x）＝x＋，且f（1）＝3.
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性.
11.函数f（x）＝是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（2）＋g（2）＝（ ）
A.－3 B.－1
C.0 D.3
13.〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）｜g（x）｜是奇函数
B.｜f（x）｜g（x）是奇函数
C.f（g（x））是偶函数
D.g（f（x））是奇函数
14.已知函数f（x）＝，若f（x）在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，求M＋m的值.
15.已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）.
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（－3）＝a，试用a表示f（9）.
1 / 2第一课时 函数奇偶性的概念
课标要求
1.了解函数奇偶性的定义（数学抽象）.
2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法（逻辑推理）.
3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题（数学运算）.
情境导入
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识，而且已经知道，在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y），关于原点的对称点为（－x，－y）.在学习函数过程中，已知有些函数图象本身也具备关于y轴对称（或关于原点对称），如y＝x2，今天我们就从这类特殊的函数图象入手，研究怎样用数量关系来刻画该类函数的性质.
知识点一｜函数奇偶性的概念
问题1 （1）观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
提示：这两个函数图象都关于y轴对称.
（2）怎样用数量关系来刻画图象关于y轴的对称性？
提示：当自变量取一对相反数时，对应的函数值相等.
（3）观察函数f（x）＝x和g（x）＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？怎样用数量关系刻画这一函数特征？
提示：这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形，当自变量取一对相反数时，对应的函数值相反.
【知识梳理】
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f（x）的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D
结论 f（－x）＝ f（x） f（－x）＝ －f（x）
图象特点 关于 y轴 对称 关于 原点 对称
提醒：（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，即若函数f（x）的定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要条件；（3）当f（x）的定义域关于原点对称时：①若f（－x）≠±f（x） f（x）是非奇非偶函数；②若f（－x）＝±f（x） f（x）既是奇函数又是偶函数.
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x2＋｜x｜；
解：函数的定义域为R，因为 x∈R，都有－x∈R.
且f（－x）＝（－x）2＋｜－x｜＝x2＋｜x｜＝f（x），
因此函数f（x）是偶函数.
（2）f（x）＝x－；
解：函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，
因为 x∈{x｜x≠0}，都有－x∈{x｜x≠0}，
且f（－x）＝－x－＝－＝－f（x），
所以f（x）是奇函数.
（3）f（x）＝；
解：函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞），因为定义域（－∞，－1）∪（－1，＋∞）不关于原点对称，
所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（4）f（x）＝＋.
解：由得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，因为 x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f（1）＝f（－1）＝－f（－1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数.
【规律方法】
判断函数奇偶性的方法
（1）定义法
（2）图象法
提醒：若判断f（x）不是奇函数或不是偶函数，只需举一个反例即可.
训练1 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝－｜x｜；
解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（－x）＝－｜－x｜＝－｜x｜＝f（x），∴f（x）为偶函数.
（2）f（x）＝；
解：函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数.
（3）f（x）＝
解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称.
f（－x）＝
即f（－x）＝
于是有f（－x）＝－f（x），∴f（x）为奇函数.
知识点二｜奇、偶函数的图象特征（几何意义）
问题2 奇函数的图象有怎样的几何特征？偶函数呢？
提示：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
【例2】 已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
（1）画出在区间[－5，0]上的图象；
解：因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图象关于原点对称.
由y＝f（x）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象如图所示.
（2）写出使f（x）＜0的x的取值集合.
解：由图象知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）.
变式 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题.
解：（1）如图所示.
（2）由（1）可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－5，－2）∪（2，5）.
【规律方法】
奇、偶函数的图象特征的应用
（1）利用奇、偶函数的图象特征可以判断函数的奇、偶性；
（2）若已知函数的奇、偶性和自变量取正值时的图象特征，可推出该函数在整个定义域内的图象特征.
提醒：若奇函数f（x）在x＝0处有定义，必有f（0）＝0，即它的图象必过原点（0，0）.
训练2 已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示.
（1）请补出完整函数y＝f（x）的图象；
解：由题意作出函数图象如图.
（2）根据图象写出函数y＝f（x）的单调递增区间；
解：据图可知，单调递增区间为（－1，0），（1，＋∞）.
（3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合.
解：据图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）.
提能点｜利用函数奇偶性求值
【例3】 （1）若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＋b＝；
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.所以函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1，为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.所以a＋b＝.
（2）已知函数f（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f（－5）＝6，则f（5）＝－2.
解析：法一 f（－5）＝（－5）7－a（－5）5＋b（－5）3＋c（－5）＋2＝6，所以－57＋55a－53b－5c＝4，所以57－55a＋53b＋5c＝－4，f（5）＝（57－55a＋53b＋5c）＋2＝－4＋2＝－2.
法二 令g（x）＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g（x）是奇函数，∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－g（5）＋2，又f（－5）＝6，∴g（5）＝－4.又f（5）＝g（5）＋2，∴f（5）＝－4＋2＝－2.
【规律方法】
利用奇偶性求值的常见类型
（1）求参数值：若解析式含参数，则根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数；
（2）求函数值：利用f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）整体代换求解；有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
训练3 （1）已知函数f（x）＝ax2＋2x是奇函数，则f（1）＝2；
解析：由奇函数定义有f（－x）＋f（x）＝0，得a（－x）2＋2（－x）＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又上式对 x∈R恒成立，故a＝0，所以f（x）＝2x，f（1）＝2.
（2）若f（x）＝（x＋a）（x－4）为偶函数，则实数a＝4.
解析：法一 f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，f（－x）＝（－x＋a）（－x－4）＝x2－（a－4）x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
法二 f（x）＝（x＋a）（x－4）＝x2＋（a－4）x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.
法三 由函数f（x）＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f（x）是偶函数，∴4－a＝0，∴a＝4.
1.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是（ ）
解析：B 由函数的定义知，图形A、D不是函数图象，故排除A、D；由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，故排除C.
2.下列函数中是偶函数的有（ ）
A.y＝－2x B.y＝x3＋1
C.y＝x＋ D.y＝｜x｜＋
解析：D 对于A，定义域为R，因为f（－x）＝－2（－x）＝2x＝－（－2x）＝－f（x），所以函数为奇函数；对于B，定义域为R，因为f（－x）＝（－x）3＋1＝－x3＋1≠f（x），所以函数不是偶函数；对于C，定义域为{x｜x≠0}，因为f（－x）＝－x＋＝－＝－f（x），所以函数为奇函数；对于D，定义域为{x｜x≠0}，因为f（－x）＝｜－x｜＋＝｜x｜＋＝f（x），所以函数为偶函数，故选D.
3.若函数y＝f（x），x∈[－4，a]是偶函数，则a的值为4.
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－4＋a＝0，所以a＝4.
4.奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）.
解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）.
课堂小结
1.理清单 （1）函数奇偶性的概念； （2）函数奇偶性的判断； （3）奇函数、偶函数的图象特征； （4）奇函数、偶函数图象的应用. 2.应体会 特值法、整体代换法、数形结合法. 3.避易错 忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称.
1.若f（x）＝3x3＋5x＋a－1为R上的奇函数，则a的值为（ ）
A.0 B.－1
C.1 D.2
解析：C ∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0，得a＝1.
2.若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（ ）
A.f（x）f（－x）＞0
B.f（x）f（－x）＜0
C.f（x）＜f（－x）
D.f（x）＞f（－x）
解析：B ∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），又f（x）≠0，∴f（x）f（－x）＝－[f（x）]2＜0.故选B.
3.函数f（x）＝的图象关于（ ）
A.y轴对称 B.x轴对称
C.坐标原点对称 D.直线y＝x对称
解析：A ∵函数f（x）＝的定义域为{x｜x≠±1}关于原点对称，且f（－x）＝＝＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称.故选A.
4.已知y＝f（x），x∈（－a，a），F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（x）是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析：B ∵F（－x）＝f（－x）＋f（x）＝F（x），又x∈（－a，a）关于原点对称，∴F（x）是偶函数.
5.已知函数f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋2a＋b是定义在[2a－1，a]上的偶函数，则f（a＋b）＝（ ）
A.1 B.0
C.－ D.－
解析：D 由题意得，2a－1＋a＝0，解得a＝，因为f（x）＝ax2＋（b＋1）x＋2a＋b为偶函数，所以f（－x）＝f（x），即a（－x）2－（b＋1）x＋2a＋b＝ax2＋（b＋1）x＋2a＋b，所以b＋1＝0，解得b＝－1，所以f（x）＝x2－，a＋b＝－，所以f（a＋b）＝f＝－.
6.〔多选〕下列命题正确的是（ ）
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则恒有f（0）＝0
D.若函数f（x）为偶函数，则有f（x）＝f（－x）＝f（｜x｜）
解析：CD 函数f（x）＝是偶函数，但与y轴不相交，所以A不正确；函数f（x）＝是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确；由奇偶性的定义知C，D正确.
7.〔多选〕如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是（ ）
A.g（x）＝x＋f（x） B.g（x）＝xf（x）
C.g（x）＝x2＋f（x） D.g（x）＝x2f（x）
解析：AD 因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.对于A，g（－x）＝－x＋f（－x）＝－x－f（x）＝－g（x），所以g（x）＝x＋f（x）是奇函数；对于B，g（－x）＝－xf（－x）＝xf（x）＝g（x），所以g（x）＝xf（x）是偶函数；对于C，g（－x）＝（－x）2＋f（－x）＝x2－f（x），所以g（x）＝x2＋f（x）为非奇非偶函数；对于D，g（－x）＝（－x）2·f（－x）＝－x2f（x）＝－g（x），所以g（x）＝x2f（x）是奇函数.
8.已知函数f（x）＝x3＋，若f（a）＝4，则f（－a）＋f（）＝－.
解析：易知f（－x）＝－x3－＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以f（－a）＋f（）＝－f（a）＋（）3＋＝－4＋2＋＝－.
9.已知函数y＝f（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是0.
解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
10.已知函数f（x）＝x＋，且f（1）＝3.
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性.
解：（1）由题意知，f（1）＝1＋m＝3，∴m＝2.
（2）由（1）知，f（x）＝x＋，定义域为{x｜x≠0}.
∵ x∈{x｜x≠0}，都有－x∈{x｜x≠0}，
且f（－x）＝（－x）＋＝－＝－f（x），
∴函数f（x）为奇函数.
11.函数f（x）＝是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析：B 若x是有理数，则－x也是有理数，f（－x）＝f（x）＝1；若x是无理数，则－x也是无理数，f（－x）＝f（x）＝0.∴函数f（x）是偶函数.
12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（2）＋g（2）＝（ ）
A.－3 B.－1
C.0 D.3
解析：A 因为f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，所以f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1.又由题意可知f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），所以f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，则f（2）＋g（2）＝－3，故选A.
13.〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）｜g（x）｜是奇函数
B.｜f（x）｜g（x）是奇函数
C.f（g（x））是偶函数
D.g（f（x））是奇函数
解析：AC ∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），对于选项A：令h（x）＝f（x）·｜g（x）｜，h（－x）＝f（－x）·｜g（－x）｜＝－f（x）｜g（x）｜＝－h（x），则f（x）·｜g（x）｜为奇函数，即选项A正确；对于选项B：令h（x）＝｜f（x）｜g（x），h（－x）＝｜f（－x）｜·g（－x）＝｜－f（x）｜g（x）＝｜f（x）｜·g（x）＝h（x），则｜f（x）｜g（x）为偶函数，即选项B错误；对于选项C：令h（x）＝f（g（x）），h（－x）＝f（g（－x））＝f（g（x））＝h（x），则f（g（x））为偶函数，即选项C正确；对于选项D：令h（x）＝g（f（x）），h（－x）＝g（f（－x））＝g（－f（x））＝g（f（x））＝h（x），则g（f（x））为偶函数，即选项D错误；综上所述A、C正确.
14.已知函数f（x）＝，若f（x）在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，求M＋m的值.
解：根据题意，f（x）＝＝1＋，
而h（x）＝是奇函数，所以f（x）＝h（x）＋1，
M＝f（x）max＝h（x）max＋1，m＝f（x）min＝h（x）min＋1，
所以M＋m＝（h（x）max＋1）＋（h（x）min＋1）＝（h（x）max＋h（x）min）＋2，
又因h（x）max＋h（x）min＝0，则M＋m＝2.
15.已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）.
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（－3）＝a，试用a表示f（9）.
解：（1）证明：由已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y），
令y＝－x得f（0）＝f（x）＋f（－x），
令x＝y＝0得f（0）＝2f（0），
所以f（0）＝0.
所以f（x）＋f（－x）＝0，
即f（－x）＝－f（x），
故f（x）是奇函数.
（2）由（1）知f（x）为奇函数.
所以f（－3）＝－f（3）＝a，
所以f（3）＝－a.
又f（9）＝f（6）＋f（3）＝2f（3）＋f（3）＝3f（3），
所以f（9）＝－3a.
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