3.3 幂函数
1.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（8，4），则f（27）＝（ ）
A.3 B.3
C.9 D.9
2.下列幂函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ）
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝
3.已知函数f（x）＝则y＝－f（x）的图象大致为（ ）
4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列关于f（x）的说法正确的是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.在（0，＋∞）上单调递减
D.定义域为[0，＋∞）
5.三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3，则（ ）
A.a＜c＜b B.a＜b＜c
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
6.〔多选〕某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在区间（－∞，0）上单调递减.则以下幂函数符合这三个性质的有（ ）
A.f（x）＝x2 B.f（x）＝x
C.f（x）＝x－1 D.f（x）＝
7.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m－2），则（ ）
A.m＝1
B.f（x）的定义域为R
C.f（－x）＝－f（x）
D.将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到函数g（x）＝（x－1）3的图象
8.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是 .
9.若x3＜，则x的取值范围是 .
10.把下列各数按由小到大的顺序排列：
，（，（－）3，（.
11.如图，函数y＝x－1，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f（x）的图象经过的部分是④⑧，则f（x）的解析式可能是（ ）
A.f（x）＝x2 B.f（x）＝
C.f（x）＝ D.f（x）＝x－2
12.〔多选〕已知幂函数f（x）的图象经过点，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的有（ ）
A.x1f（x1）＞x2f（x2） B.x1f（x2）＜x2f（x1）
C.＞ D.＜
13.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且AB＝CD，则ma＋mb＝ .
14.已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）x9－3m的图象关于原点对称，且在R上为增函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）求满足f（a＋1）＋f（2a－3）＜0的a的取值范围.
15.已知幂函数f（x）＝（p∈N）在（0，＋∞）上单调递增，且在定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数f（x），设函数g（x）＝－qf（f（x））＋（2q－1）f（x）＋1.问：是否存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（－∞，－4]上单调递减，且在区间（－4，0）上单调递增？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由.
2 / 23.3 幂函数
课标要求
1.了解幂函数的概念（数学抽象）.
2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质（直观想象）.
3.能利用幂函数的单调性比较幂的大小（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：
价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x－0.38.这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？
知识点一｜幂函数的概念
问题1 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式有什么共同特征？
①正方体的边长为x，体积为y，则y＝x3；
②若某放射性物质每经过1年，其剩留量是原来的x倍，则质量为1的这种物质经过100年后，其剩留量应为C＝x100；
③如果某人驾车在t s内行进了1 km，那么该车的平均速度为v＝t－1km/s；
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝.
提示：这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.
【知识梳理】
一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数.
提醒：幂函数的特征：①底数是自变量x；②自变量的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关.
【例1】 （1）下列函数中是幂函数的有（ ）
A.y＝ B.y＝2x2
C.y＝x2＋x D.y＝1
解析：A 因为y＝＝x－2，所以A项是幂函数；y＝2x2由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，所以C项不是幂函数；y＝1≠x0，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点（0，1），所以D项不是幂函数.
（2）已知y＝（m2＋2m－2）＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
解：由题意得
解得或
所以m＝－3或m＝1，n＝.
【规律方法】
幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1.形如y＝（3x）α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数.
训练1 若函数f（x）是幂函数，且满足f（2）＝4，则f（－4）＝16.
解析：设f（x）＝xα，∵f（2）＝4，∴2α＝4，解得α＝2，∴f（x）＝x2，∴f（－4）＝（－4）2＝16.
知识点二｜幂函数的图象与性质
问题2 （1）根据前面对函数的一般性质研究的方法和规律，应从哪些切入点入手研究幂函数的性质；
提示：根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.
（2）你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1这五个函数的图象吗？
提示：
【知识梳理】
观察上述5个函数图象，可以得到幂函数的以下性质：
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞）
值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y｜y∈R且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
单调性 增 x∈（0，＋∞）增； x∈（－∞，0）减 增 增 x∈（0，＋∞）减； x∈（－∞，0）减
公共点 都经过点 （1，1）
【例2】 （1）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d
C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c
解析：B 令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，和题目所给的形式相符合.在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a＞b＞c＞d.故选B.
（2）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点P，试画出f（x）的图象并指出该函数的定义域与单调区间.
解：因为f（x）＝xα的图象过点P，
所以f（2）＝，即2α＝，
得α＝－2，即f（x）＝x－2，
f（x）的图象如图所示，
定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），单调减区间为（0，＋∞），单调增区间为（－∞，0）.
【规律方法】
幂函数图象的作图步骤及有关判断技巧
（1）作图步骤：第一步，画出幂函数在第一象限的图象，选取几个有代表性的幂函数图象：当α＜0时，以y＝x－1为代表；当0＜α＜1时，以y＝为代表；当α＞1时，以y＝x2为代表；第二步，求幂函数的定义域.幂函数在第二或第三象限内是否有图象，取决于其定义域；第三步，若幂函数在y轴左侧有图象，则直接研究函数的奇偶性，并据此画出y轴左侧的图象.
（2）判断技巧：依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）.
训练2 设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为（ ）
A.－1，3 B.－1，1
C.1，3 D.－1，1，3
解析：C y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1或α＝3.
提能点｜幂函数性质的综合应用
角度1 比较大小
【例3】 试比较下列各组数的大小：
（1）1.13，0.893；
解：因为函数y＝x3在区间[0，＋∞）上单调递增，又1.1＞0.89，所以1.13＞0.893.
（2）2.，，1.；
解：因为函数y＝在区间[0，＋∞）上是增函数，又2.1＞2＞1.8，所以2.＞＞1..
（3），1，.
解：因为函数y＝x1.3在区间[0，＋∞）上单调递增，又1＝11.3，＜1，所以＜11.3＝1.
因为函数y＝在区间[0，＋∞）上单调递增，又＝1，3＞1，所以＞＝1.于是＜1＜.
【规律方法】
比较幂值大小的方法
（1）若两个幂的指数相同或可化为两个指数相同的幂值，然后构造函数，利用幂函数的单调性比较大小；
（2）若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
训练3 比较下列各组数中两个数的大小：
（1）与；
解：因为幂函数y＝x0.3在（0，＋∞）上单调递增，
又＞，所以＞.
（2）与；
解：因为幂函数y＝x－1在（－∞，0）上单调递减，
又－＜－，所以＞.
（3）与.
解：＝＝，
因为幂函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，
又2＜，所以＜，即＜.
角度2 解简单不等式
【例4】 已知幂函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm＋1的图象关于原点对称，求满足（a＋1）m＞（3－2a）m的实数a的取值范围.
解：因为函数f（x）＝（m2－3m＋3）xm＋1是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.
当m＝1时，f（x）＝x2，是偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意；
当m＝2时，f（x）＝x3，是奇函数，其图象关于原点对称，符合题意，所以m＝2，
不等式（a＋1）m＞（3－2a）m即（a＋1）2＞（3－2a）2，
解得＜a＜4，所以实数a的取值范围为.
【规律方法】
利用幂函数的性质解不等式的步骤
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
训练4 已知幂函数f（x）＝（m2－2m＋1）的图象过点（4，2）.
（1）求f（x）的解析式；
解：因为f（x）＝（m2－2m＋1）为幂函数，
所以m2－2m＋1＝1，所以m＝2或m＝0.
当m＝2时，f（x）＝，图象过点（4，2）；
当m＝0时，f（x）＝，图象不过点（4，2），舍去.
综上，f（x）＝.
（2）判断函数的单调性，并进行证明；
解：函数f（x）在[0，＋∞）上为增函数.
证明如下：
x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，
因为0≤x1＜x2，所以＜0，
即f（x1）－f（x2）＜0，
所以f（x1）＜f（x2）.
所以函数f（x）在[0，＋∞）上为增函数.
（3）若f（a＋1）＞f（2a－3），求实数a的取值范围.
解：由（2）知，函数f（x）在[0，＋∞）上为增函数，由f（a＋1）＞f（2a－3），则得≤a＜4.
综上，a的取值范围为.
函数y＝x＋的图象和性质
由教材第92页探究与发现，探究函数y＝x＋（俗称对勾函数）的图象与性质.
【问题探究】
（1）观察函数y＝x＋的解析式有什么特点？
提示：该函数是由y＝x与y＝相加而得的初等函数.
（2）大家讨论一下，如何作出该函数的图象？
提示：借助计算机软件，我们绘制出它的图象.
（3）观察函数图象，你能发现函数图象有什么特点吗？
提示：该函数图象介于y＝x和y轴之间，且图象无限接近y＝x和y轴，函数图象像两个勾子一样，故称此类函数为“对勾函数”.
函数y＝f（x）＝x＋的性质
（1）定义域：∵x≠0，∴函数f（x）＝x＋的定义域为{x｜x≠0}；
（2）值域：函数f（x）＝x＋的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）；
（3）奇偶性：∵f（－x）＝－x－＝－＝－f（x），∴函数f（x）＝x＋为奇函数；
（4）单调性：由函数f（x）＝x＋的图象可知，函数f（x）＝x＋的单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），单调递减区间为（－1，0），（0，1）；
（5）最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2；
（6）对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于（0，0）成中心对称.
【迁移应用】
1.函数f（x）＝x＋在区间[1，3]上的最大值是（ ）
A.3 B.5
C.4 D.
解析：B 由对勾函数的图象的特点可知，x＝2时函数有最小值，x＝1时，函数有最大值为5.
2.函数f（x）＝x＋在（－∞，－2]上单调递增，则k的取值范围为（ ）
A.0＜k≤4 B.k≤4
C.k≥4 D.k≤0
解析：B 当k≤0时，f（x）＝x＋在（－∞，0）上单调递增，从而f（x）在（－∞，－2]上单调递增.当k＞0时，f（x）＝x＋在（－∞，－]上单调递增，由题意得－≥－2，即k≤4.此时0＜k≤4.综上所述，k的取值范围为k≤4.故选B.
1.在函数y＝2，y＝x3，y＝3x，y＝x－1中幂函数的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：C 函数y＝x3为幂函数；函数y＝2中的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝3x不是y＝xα（α是常数）的形式，所以它不是幂函数；函数y＝x－1是幂函数.
2.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f＝（ ）
A. B.2
C. D.
解析：B 设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，∴f＝＝2.
3.已知幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（ ）
解析：A 设幂函数为y＝xα，因为该幂函数的图象经过点P，所以4α＝，即22α＝2－1，解得α＝－，即函数为y＝，则函数的定义域为（0，＋∞），所以排除C、D；因为α＝－＜0，所以y＝在（0，＋∞）上为减函数，所以排除B.
4.若幂函数y＝（2a2＋a）xa在（0，＋∞）上单调递减，则a＝－1.
解析：2a2＋a＝1，解得a＝－1或a＝.当a＝时，y＝，在（0，＋∞）上单调递增，与已知不符，舍去；当a＝－1时，y＝x－1，在（0，＋∞）上单调递减，与已知相符，综上所述，a＝－1.
课堂小结
1.理清单 （1）幂函数的概念； （2）幂函数的图象； （3）幂函数的性质与应用. 2.应体会 待定系数法、数形结合法. 3.避易错 幂函数的形式.
1.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（8，4），则f（27）＝（ ）
A.3 B.3
C.9 D.9
解析：C 令f（x）＝xα，则8α＝4，可得α＝，所以f（x）＝，故f（27）＝2＝9.故选C.
2.下列幂函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ）
A.y＝x－2 B.y＝x－1
C.y＝x2 D.y＝
解析：A 其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B、D；又y＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，符合题意，故选A.
3.已知函数f（x）＝则y＝－f（x）的图象大致为（ ）
解析：C 当x＜0时，易知f（x）＝x－2为幂函数，在（－∞，0）单调递增；当x≥0时，易知f（x）＝为幂函数，在[0，＋∞）单调递增.故函数f（x）＝的图象如图所示.要得到y＝－f（x），只需将y＝f（x）的图象沿x轴对称即可，故C满足题意.
4.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则下列关于f（x）的说法正确的是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.在（0，＋∞）上单调递减
D.定义域为[0，＋∞）
解析：C 设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R，由题意得2α＝，α＝－，故y＝f（x）＝＝，定义域为（0，＋∞），故D错误；定义域不关于原点对称，即y＝f（x）为非奇非偶函数，A、B错误；由于－＜0，故y＝f（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，C正确，故选C.
5.三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3，则（ ）
A.a＜c＜b B.a＜b＜c
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
解析：B 因为a＝0.32＜1，b＝1.90.3＞1，c＝20.3＞1，又幂函数y＝x0.3在（0，＋∞）上单调递增，所以20.3＞1.90.3，综上c＞b＞a.
6.〔多选〕某同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{y｜y∈R，且y≠0}；③在区间（－∞，0）上单调递减.则以下幂函数符合这三个性质的有（ ）
A.f（x）＝x2 B.f（x）＝x
C.f（x）＝x－1 D.f（x）＝
解析：CD A.f（x）＝x2为偶函数，排除；B.f（x）＝x，值域为R，排除；C.f（x）＝x－1为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足；D.f（x）＝为奇函数，值域为{y｜y∈R，且y≠0}，在区间（－∞，0）上单调递减，满足.故选C、D.
7.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m－2），则（ ）
A.m＝1
B.f（x）的定义域为R
C.f（－x）＝－f（x）
D.将函数f（x）的图象向左平移1个单位长度得到函数g（x）＝（x－1）3的图象
解析：BC 由幂函数的定义可知m－2＝1，所以m＝3，所以f（x）＝x3，A错误；由f（x）＝x3可知其定义域为R，B正确；f（x）＝x3为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），C正确；将f（x）＝x3的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝（x＋1）3的图象，D错误.
8.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是－.
解析：因为函数y＝x－3＝在（－∞，0）上单调递减，所以当x＝－2时，y取得最小值，即ymin＝（－2）－3＝＝－.
9.若x3＜，则x的取值范围是（0，1）.
解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x3和y＝的图象，如图所示.由图知，若x3＜，则0＜x＜1.
10.把下列各数按由小到大的顺序排列：
，（，（－）3，（.
解：（－）3＜0，0＜（＜1，＞1，（＞1，而函数y＝在区间（0，＋∞）上单调递增，所以＞（，所以把所给各数按由小到大的顺序排列为（－）3＜（＜（＜.
11.如图，函数y＝x－1，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分.若幂函数f（x）的图象经过的部分是④⑧，则f（x）的解析式可能是（ ）
A.f（x）＝x2 B.f（x）＝
C.f（x）＝ D.f（x）＝x－2
解析：B ∵幂函数f（x）＝xα的图象过④⑧部分，∴f（x）＝xα在第一象限内单调递减，∴α＜0.又易知当x＝2时，f（x）＞，∴只有B项符合题意.
12.〔多选〕已知幂函数f（x）的图象经过点，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的有（ ）
A.x1f（x1）＞x2f（x2） B.x1f（x2）＜x2f（x1）
C.＞ D.＜
解析：BC 设幂函数为f（x）＝xm，则有＝2－3m＝＝，得m＝，所以f（x）＝（x≥0）.令g（x）＝＝＝，则g（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以g（x1）＞g（x2），即＜，x1f（x2）＜x2f（x1），所以B、C正确.
13.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m（0＜m＜1）与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且AB＝CD，则ma＋mb＝1.
解析：由题意知AB＝（m2）a－（m2）b，CD＝ma－mb.根据题图可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，（m2）a＞（m2）b，ma＞mb.因为AB＝CD，所以m2a－m2b＝（ma＋mb）（ma－mb）＝ma－mb.因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1.
14.已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）x9－3m的图象关于原点对称，且在R上为增函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）求满足f（a＋1）＋f（2a－3）＜0的a的取值范围.
解：（1）m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，
∵f（x）在R上为增函数，m＝3不成立，
即m＝2，∴f（x）＝x3.
（2）∵f（a＋1）＋f（2a－3）＜0，
∴f（a＋1）＜－f（2a－3）.又f（x）为奇函数，
∴f（a＋1）＜f（3－2a），又函数在R上为增函数，
∴a＋1＜3－2a，∴a＜.
故a的取值范围为.
15.已知幂函数f（x）＝（p∈N）在（0，＋∞）上单调递增，且在定义域上是偶函数.
（1）求p的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数f（x），设函数g（x）＝－qf（f（x））＋（2q－1）f（x）＋1.问：是否存在实数q（q＜0），使得g（x）在区间（－∞，－4]上单调递减，且在区间（－4，0）上单调递增？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为f（x）在（0，＋∞）上单调递增，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋＞0，解得－1＜p＜3.
因为p∈N，所以p＝2，1，0.
当p＝0或2时，f（x）＝，不是偶函数；当p＝1时，f（x）＝x2，是偶函数.故p＝1，f（x）＝x2.
（2）g（x）＝－qx4＋（2q－1）x2＋1，令t＝x2，
则h（t）＝－qt2＋（2q－1）t＋1（t≥0）.
因为t＝x2在（－∞，0）上单调递减，所以当x∈（－∞，－4]时，t∈[16，＋∞）；
当x∈（－4，0）时，t∈（0，16）.
即当h（t）在[16，＋∞）上单调递增，在（0，16）上单调递减时，g（x）在（－∞，－4]上单调递减，在（－4，0）上单调递增，
此时二次函数h（t）的对称轴方程是t＝16，即t＝＝1－＝16，
所以q＝－.
故存在实数q＝－，使得g（x）在（－∞，－4]上单调递减，且在（－4，0）上单调递增.
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