章末检测（三） 函数的概念与性质
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝（x－1）0＋＋的定义域为（ ）
A.（1，2） B.（2，＋∞）
C.（1，2）∪（2，＋∞） D.（－∞，－2）∪（1，2）
解析：C 由题意得解得x＞1，且x≠2，所以函数的定义域为（1，2）∪（2，＋∞），故选C.
2.已知函数f（x）满足f（1＋x）＝2x＋1.若f（a）＝5，则a＝（ ）
A.2 B.1
C.3 D.0
解析：C 令x＋1＝a x＝a－1，因为f（1＋x）＝2x＋1，且f（a）＝5，所以f（a）＝2（a－1）＋1＝2a－1＝5，可得a＝3.
3.已知幂函数f（x）＝（3m2－7m－5）x3m－1是定义域上的奇函数，则m＝（ ）
A.－或3 B.3
C. D.－
解析：D 因为函数为幂函数，所以3m2－7m－5＝1 （m－3）（3m＋2）＝0，所以m＝3或m＝－.当m＝3时，f（x）＝x8为偶函数，故m＝3不合题意；当m＝－时，f（x）＝x－3为奇函数，故m＝－满足题意.
4.已知函数f（x）＝则f（f（－4））＝（ ）
A.－1 B.3
C.－3 D.24
解析：B 由题意可得，当x＝－4＜－2时，f（－4）＝－4＋3＝－1，当x＝－1＞－2时，f（－1）＝（－1）2－2×（－1）＝3，所以f（f（－4））＝3.
5.若函数f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪（0，2a－2）上的偶函数，则f＝（ ）
A.1 B.
C. D.3
解析：D ∵f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪（0，2a－2）上的偶函数，∴f（－x）＝f（x），即a（－x）4－（a－2b）x＋a－1＝ax4＋（a－2b）x＋a－1，∴a－2b＝0，又定义域关于原点对称，∴2a－2＝a，∴a＝2，b＝1，∴f（x）＝2x4＋1，∴f＝f（1）＝3.
6.若f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递增，又f（－2）＝1，则不等式f（x－1）＜1的解集为（ ）
A.{x｜－1＜x＜3}
B.{x｜x＜－1或x＞3}
C.{x｜x＜－1或0＜x＜3}
D.{x｜x＞1或－3＜x＜0}
解析：A 由于函数y＝f（x）为偶函数，则f（2）＝f（－2）＝1，且函数y＝f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（x－1）＜1，可得f（｜x－1｜）＜f（2），∴｜x－1｜＜2，即－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.因此，不等式f（x－1）＜1的解集为{x｜－1＜x＜3}.
7.若函数f（x）＝是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A.[－3，－1] B.（－∞，－1]
C.[－1，0） D.[－2，0）
解析：A 因为函数f（x）是R上的减函数，所以有解得－3≤a≤－1.
8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（ ）
A.（4，＋∞） B.（0，4）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
解析：C 由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）是减函数，不等式f（x）－＞0，即＞0，因为x∈（0，＋∞），所以不等式等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8的解集为（0，2）.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（ ）
A.f（0）＝0
B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1
C.若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调递减
D.若x＞0，f（x）＝x2－2x，则当x＜0时，f（x）＝－x2－2x
解析：ABD 对于A，函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，A正确；对于B，若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，即x≥0时，f（x）≥－1，则有－x≤0，f（－x）＝－f（x）≤1，即f（x）在（－∞，0]上有最大值1，B正确；对于C，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，则若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调递增，C错误；对于D，设x＜0，则－x＞0，则f（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，则f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x，D正确.
10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A.图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B.图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C.图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D.图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
解析：BC 由图1可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本；由图2知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图3知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误.
11.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A.f（－3.9）＝f（4.1）
B.函数f（x）的最大值为1
C.函数f（x）的最小值为0
D.方程f（x）－＝0有无数个根
解析：ACD 根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f（x）＝x－[x]的解析式：当－1≤x＜0时，[x]＝－1，则f（x）＝x＋1；当0≤x＜1时，[x]＝0，则f（x）＝x；当1≤x＜2时，[x]＝1，则f（x）＝x－1；当2≤x＜3时，[x]＝2，则f（x）＝x－2.画函数f（x）＝x－[x]的部分图象如图所示，
根据定义可知，f（－3.9）＝－3.9－（－4）＝0.1，f（4.1）＝4.1－4＝0.1，即f（－3.9）＝f（4.1），所以A正确；从图象可知，函数f（x）＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f（x）与y＝的图象有无数个交点，即f（x）＝有无数个根，所以D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知函数f（x）＝如果f（x0）＝4，那么实数x0的值为2或－3.
解析：因为f（x）＝又f（x0）＝4，所以或解得x0＝2或x0＝－3.
13.已知函数f（x）＝2x3＋3x且关于x的不等式f（kx2）＋f（1－kx）＞0恒成立，则实数k的取值范围为[0，4）.
解析：易知f（x）＋f（－x）＝2x3＋3x＋2（－x）3＋3（－x）＝0，即f（x）为奇函数，由幂函数的单调性知f（x）在R上是增函数，所以f（kx2）＋f（1－kx）＞0 f（kx2）＞－f（1－kx）＝f（kx－1），则得kx2－kx＋1＞0在R上恒成立，若k＜0时，显然不成立，若k＝0时，显然恒成立，若k＞0时，则当且仅当Δ＝k2－4k＜0 0＜k＜4时成立，综上：实数k的取值范围为[0，4）.
14.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款560.4元.
解析：由题意可知，设消费金额为x元，应付款为y元，则y＝由168＜200，得第一次购物的消费金额为168元.由200＜423＜450，得第二次购物的消费金额为＝470（元）.所以x＝168＋470＝638＞500，则y＝0.8×（638－500）＋450＝560.4（元）.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x＋1）＝2x2＋4x＋3.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求关于x的不等式f（x）－2ax＞a＋1－x的解集.（其中a∈R）
解：（1）由题意，函数f（x＋1）＝2x2＋4x＋3，令t＝x＋1，则f（t）＝2（t－1）2＋4（t－1）＋3＝2t2＋1，所以f（x）＝2x2＋1.
（2）由（1）知f（x）＝2x2＋1，
即不等式转化为2x2＋（1－2a）x－a＞0，
则（x－a）（2x＋1）＞0，
当a＞－时，不等式的解集为{x｜x＜－或x＞a}；
当a＜－时，不等式的解集为{x｜x＜a或x＞－}；
当a＝－时，不等式的解集为；
综上所述，当a＞－时，不等式的解集为{x｜x＜－或x＞a}；
当a＜－时，不等式的解集为{x｜x＜a或x＞－}；
当a＝－时，不等式的解集为.
16.（本小题满分15分）对于任意x∈R，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，求f（x）的最小值.
解：“函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个.
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A（0，3），B（1，2），C（5，8）.
从图象观察可得函数f（x）的表达式：
f（x）＝
f（x）的图象是图中的实线部分，
图象的最低点是点B（1，2），所以f（x）的最小值是2.
17.（本小题满分15分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.
（1）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
解：（1）由题意，得函数f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2），可得函数f（x）的对称轴为x＝1，
又由最小值为1，可设f（x）＝a（x－1）2＋1，
又f（0）＝3，即a×（0－1）2＋1＝3，解得a＝2，
所以函数的解析式为f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3.
要使f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，则满足2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜，
即实数a的取值范围是.
（2）由在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，
可得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在区间[－1，1]上恒成立，
化简得m＜x2－3x＋1在区间[－1，1]上恒成立，
设函数g（x）＝x2－3x＋1，
则g（x）在区间[－1，1]上单调递减，
所以g（x）在区间[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1，
所以m＜－1.
所以实数m的取值范围为（－∞，－1）.
18.（本小题满分17分）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x（0＜x＜18）厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与1 350－x2成反比，比例系数为k，且当x＝10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
解：（1）由题意y＝＋，0＜x＜18，
因为x＝10时，y＝0.06，所以＋＝0.06 k＝50，
所以y＝＋，0＜x＜18.
（2）因为0＜x＜18，所以1 350－x2＞0，
所以y＝＋＝[x2＋（1 350－x2）]＝［2＋50＋＋］≥［52＋2］＝（52＋20）＝，当且仅当＝，即x＝15时取“＝”.
所以当x＝15时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.
19.（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数f（x）的取值区间恰为，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝－x2＋2x.
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”.
解：（1）当x∈[－2，0）时，则－x∈（0，2]，由奇函数的定义可得g（x）＝－g（－x）＝－[－（－x）2＋2（－x）]＝x2＋2x，
所以g（x）＝
（2）设g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[a，b]，则1≤a＜b≤2，因为函数g（x）在[1，2]上单调递减，且g（x）在[a，b]上的值域为，
所以
解得
所以函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为.
（3）因为g（x）在x∈[a，b]时，函数值g（x）的取值区间恰为，其中a≠b且a≠0，b≠0，所以则
只考虑0＜a＜b≤2或－2≤a＜b＜0.
①当0＜a＜b≤2时，因为函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
故当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（1）＝1，则≤1，所以1≤a＜2，所以1≤a＜b≤2，
由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为；
②当－2≤a＜b＜0时，g（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，0]上单调递增，
故当x∈[－2，0）时，g（x）min＝g（－1）＝－1，所以≥－1，所以－2＜b≤－1.
所以－2≤a＜b≤－1，
因为g（x）在[－2，－1]上单调递减，则
解得
所以g（x）在[－2，－1]内的“倒域区间”为.
综上所述，函数g（x）在定义域内的“倒域区间”为和.
1 / 2章末检测（三） 函数的概念与性质
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝（x－1）0＋＋的定义域为（ ）
A.（1，2） B.（2，＋∞）
C.（1，2）∪（2，＋∞） D.（－∞，－2）∪（1，2）
2.已知函数f（x）满足f（1＋x）＝2x＋1.若f（a）＝5，则a＝（ ）
A.2 B.1
C.3 D.0
3.已知幂函数f（x）＝（3m2－7m－5）x3m－1是定义域上的奇函数，则m＝（ ）
A.－或3 B.3
C. D.－
4.已知函数f（x）＝则f（f（－4））＝（ ）
A.－1 B.3
C.－3 D.24
5.若函数f（x）＝ax4＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a，0）∪（0，2a－2）上的偶函数，则f＝（ ）
A.1 B.
C. D.3
6.若f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上单调递增，又f（－2）＝1，则不等式f（x－1）＜1的解集为（ ）
A.{x｜－1＜x＜3}
B.{x｜x＜－1或x＞3}
C.{x｜x＜－1或0＜x＜3}
D.{x｜x＞1或－3＜x＜0}
7.若函数f（x）＝是R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A.[－3，－1] B.（－∞，－1]
C.[－1，0） D.[－2，0）
8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（ ）
A.（4，＋∞） B.（0，4）
C.（0，2） D.（2，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.函数f（x）是定义在R上的奇函数，下列命题中正确的有（ ）
A.f（0）＝0
B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1
C.若f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，－1]上单调递减
D.若x＞0，f（x）＝x2－2x，则当x＜0时，f（x）＝－x2－2x
10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y关于x的函数图象.给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A.图2对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B.图2对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C.图3对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D.图3对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
11.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A.f（－3.9）＝f（4.1）
B.函数f（x）的最大值为1
C.函数f（x）的最小值为0
D.方程f（x）－＝0有无数个根
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知函数f（x）＝如果f（x0）＝4，那么实数x0的值为 .
13.已知函数f（x）＝2x3＋3x且关于x的不等式f（kx2）＋f（1－kx）＞0恒成立，则实数k的取值范围为 .
14.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款 元.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x＋1）＝2x2＋4x＋3.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求关于x的不等式f（x）－2ax＞a＋1－x的解集.（其中a∈R）
16.（本小题满分15分）对于任意x∈R，函数f（x）表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，求f（x）的最小值.
17.（本小题满分15分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3.
（1）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围.
18.（本小题满分17分）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x（0＜x＜18）厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与1 350－x2成反比，比例系数为k，且当x＝10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
19.（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数f（x）的取值区间恰为，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝－x2＋2x.
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”.
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