一、求函数的定义域、值域
1.确定函数定义域的原则
（1）当函数y＝f（x）用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；
（2）当函数y＝f（x）用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合；
（3）当函数y＝f（x）用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；
（4）当函数y＝f（x）由实际问题给出时，函数的定义域受问题的实际意义限制.
2.函数的值域是在函数的定义域下函数值的集合，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域.
【例1】 （1）函数f（x）＝＋（2x－1）0的定义域为（ ）
A. B.
C. D.∪
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域是[－1，2]，则y＝f（1＋3x）的定义域为（ ）
A.[－1，0] B.
C.[0，1] D.
（3）函数y＝－的值域为（ ）
A.[0，2] B.（0，]
C.[－，0） D.[－，]
【反思感悟】
求函数定义域的类型与方法
（1）求定义域的常见形式：根式，偶次根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0；
（2）分段函数的定义为各段自变量x取值范围的并集，值域为各段函数值范围的并集；
（3）复合函数问题：①若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由a≤g（x）≤b解出；②若f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.
提醒：（1）f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同；（2）定义域所指永远是x的范围.
二、函数的图象
1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数的图象.
2.会画简单函数的图象.
3.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象素养.
【例2】 （1）函数y＝的图象大致为（ ）
（2）已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x＋2.
①求f（－1）；
②求f（x）的解析式；
③画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间.
【反思感悟】
函数图象的辨识可从以下4方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
三、函数的性质及应用（考教衔接）
1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响.
2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养.
由教材题衍变为高考题及高考题的几种变式考法.
教材原题 （链接教材P87习题12题）已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，＋∞）上单调递减，判断f（x）在（－∞，0）上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.
【例3】 （经典高考题）若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（ ）
A.[－1，1]∪[3，＋∞） B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞） D.[－1，0]∪[1，3]
变式1 （经典高考题）函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，4] D.[1，3]
变式2 （2021·全国乙卷理4题）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f（x－1）－1 B.f（x－1）＋1
C.f（x＋1）－1 D.f（x＋1）＋1
变式3 （2021·全国甲卷文12题）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1＋x）＝f（－x）.若f＝，则f＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
【反思感悟】
考教衔接分析：教材习题是已知函数的奇偶性，判断对称区间上的单调性，考题是已知函数奇偶性及部分区间上的单调性和特殊函数值去判断大致图象，从而解函数不等式，考题比教材习题综合性更强，要求更高.
四、函数的应用
1.以现实生活为背景，解决生活中的成本最低、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
2.通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养.
【例4】 销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1＝m＋a，y2＝bx（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示.
（1）求函数y1，y2的解析式；
（2）若该商场一共投资8万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.
【反思感悟】
能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题与自变量取值范围的联系.
3 / 3一、求函数的定义域、值域
1.确定函数定义域的原则
（1）当函数y＝f（x）用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；
（2）当函数y＝f（x）用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合；
（3）当函数y＝f（x）用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；
（4）当函数y＝f（x）由实际问题给出时，函数的定义域受问题的实际意义限制.
2.函数的值域是在函数的定义域下函数值的集合，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域.
【例1】 （1）函数f（x）＝＋（2x－1）0的定义域为（ D ）
A. B.
C. D.∪
解析：由题意知解得x＜1且x≠，即f（x）的定义域是∪.
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域是[－1，2]，则y＝f（1＋3x）的定义域为（ A ）
A.[－1，0] B.
C.[0，1] D.
解析：由y＝f（x－1）的定义域是[－1，2]，得x－1∈[－2，1]，即f（x）的定义域是[－2，1]，令－2≤1＋3x≤1，解得－1≤x≤0，即y＝f（1＋3x）的定义域为[－1，0].
（3）函数y＝－的值域为（ B ）
A.[0，2] B.（0，]
C.[－，0） D.[－，]
解析：y＝－＝，而＋≥（函数定义域为{x｜x≥1}），从而y∈（0，].
【反思感悟】
求函数定义域的类型与方法
（1）求定义域的常见形式：根式，偶次根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0；
（2）分段函数的定义为各段自变量x取值范围的并集，值域为各段函数值范围的并集；
（3）复合函数问题：①若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由a≤g（x）≤b解出；②若f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.
提醒：（1）f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同；（2）定义域所指永远是x的范围.
二、函数的图象
1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数的图象.
2.会画简单函数的图象.
3.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象素养.
【例2】 （1）函数y＝的图象大致为（ ）
解析：C 由题意设f（x）＝y＝，函数的定义域为R，f（－x）＝＝－＝－f（x），所以函数y＝为奇函数.故A、B错误；令x＝1，得f（1）＝1＞0，故D错误，C正确.
（2）已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x＋2.
①求f（－1）；
②求f（x）的解析式；
③画出f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间.
解：①由于函数f（x）是R上的奇函数，所以对任意的实数x都有f（－x）＝－f（x），
所以f（－1）＝－f（1）＝－（－1＋2＋2）＝－3.
②设x＜0，则－x＞0，于是f（－x）＝－（－x）2－2x＋2＝－x2－2x＋2.又因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.因此f（x）＝x2＋2x－2.
又因为f（0）＝0，
所以f（x）＝
③先画出y＝f（x）（x＞0）的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f（x）（x＜0）的图象，其图象如图所示.
由图可知，f（x）的单调递增区间为[－1，0）和（0，1]，单调递减区间为（－∞，－1）和（1，＋∞）.
【反思感悟】
函数图象的辨识可从以下4方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
三、函数的性质及应用（考教衔接）
1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响.
2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养.
由教材题衍变为高考题及高考题的几种变式考法.
教材原题 （链接教材P87习题12题）已知函数f（x）是偶函数，而且在（0，＋∞）上单调递减，判断f（x）在（－∞，0）上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.
【例3】 （经典高考题）若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（ ）
A.[－1，1]∪[3，＋∞） B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞） D.[－1，0]∪[1，3]
解析：D 法一 由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）单调递减，且f（－2）＝－f（2）＝f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.
法二 当x＝3时，f（3－1）＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f（4－1）＝f（3）＜0，此时不符合题意，排除选项A、C，故选D.
变式1 （经典高考题）函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（ ）
A.[－2，2] B.[－1，1]
C.[0，4] D.[1，3]
解析：D 因为f（x）为奇函数，f（1）＝－1，所以f（－1）＝1，所以－1≤f（x－2）≤1可化为f（1）≤f（x－2）≤f（－1）.又因为f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.故选D.
变式2 （2021·全国乙卷理4题）设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f（x－1）－1 B.f（x－1）＋1
C.f（x＋1）－1 D.f（x＋1）＋1
解析：B 法一（通解） 因为f（x）＝，所以f（x－1）＝＝，f（x＋1）＝＝.对于A，F（x）＝f（x－1）－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F（x）＝－F（－x）；对于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G（x）＝－G（－x）；对于C，f（x＋1）－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；对于D，f（x＋1）＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称.故选B.
法二（优解） f（x）＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f（x）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f（x－1）＋1，故选B.
变式3 （2021·全国甲卷文12题）设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1＋x）＝f（－x）.若f＝，则f＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：C 因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x）.又f（1＋x）＝f（－x），所以f（2＋x）＝f[1＋（1＋x）]＝f[－（1＋x）]＝－f（1＋x）＝－f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数，f＝f＝f＝.故选C.
【反思感悟】
考教衔接分析：教材习题是已知函数的奇偶性，判断对称区间上的单调性，考题是已知函数奇偶性及部分区间上的单调性和特殊函数值去判断大致图象，从而解函数不等式，考题比教材习题综合性更强，要求更高.
四、函数的应用
1.以现实生活为背景，解决生活中的成本最低、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
2.通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养.
【例4】 销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1，y2万元，它们与投入资金x万元的关系分别为y1＝m＋a，y2＝bx（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示.
（1）求函数y1，y2的解析式；
解：由题意得解得m＝，a＝－，故y1＝－（x≥0）.
由8b＝，得b＝，故y2＝x（x≥0）.
（2）若该商场一共投资8万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值.
解：设甲商品投入资金x万元，则乙商品投入资金（8－x）万元，商场所获利润为y万元.
由（1）得y＝－＋（8－x）（0≤x≤8），
令＝t（1≤t≤3），则x＝t2－1，
则有y＝－t2＋t＋1＝－（t－2）2＋，
当t＝2，即x＝3时，y取得最大值，
所以该商场所获利润的最大值为万元.
【反思感悟】
能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题与自变量取值范围的联系.
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