第二课时 函数的概念（二）
课标要求
1.会判断两个函数是不是同一个函数（逻辑推理）.
2.能正确使用区间表示数集（直观想象）.
3.会求一些简单函数的值域（数学运算、直观想象）.
情境导入
正方形的周长l与边长x有着什么样的对应关系？根据上一节课所学知识，如何解释正方形的周长l与边长x的对应关系？同学们能否利用已知的函数判断上述函数l＝4x与正比例函数y＝4x是否相同？
知识点一｜区间的概念
问题1 运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350公里/时之间.
（1）如何表示列车运行速度的范围？
提示：用描述法表示：{v｜200≤v≤350}.
（2）还可以用其他形式表示列车运行速度的范围吗？
提示：还可以用区间表示.
【知识梳理】
1.设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：
（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b] ；
（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为 （a，b） ；
（3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b） ， （a，b] .这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
2.区间的表示
设a，b∈R，且a＜b，规定如下：
集合表示 区间表示 数轴表示
{x｜a≤x≤b} [a，b]
{x｜a＜x＜b} （a，b）
{x｜a≤x＜b} [a，b）
{x｜a＜x≤b} （a，b]
{x｜x≥a} [a，＋∞）
{x｜x＞a} （a，＋∞）
{x｜x≤b} （－∞，b]
{x｜x＜b} （－∞，b）
【例1】 把下列数集用区间表示：
（1）{x｜x≥－1}；
解：{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞）.
（2）{x｜x＜0}；
解：{x｜x＜0}＝（－∞，0）.
（3）{x｜－1＜x＜1}；
解：{x｜－1＜x＜1}＝（－1，1）.
（4）{x｜－2＜x≤2且x≠0}.
解：{x｜－2＜x≤2且x≠0}＝（－2，0）∪（0，2].
【规律方法】
用区间表示数集的关键点
（1）区间左端点值小于右端点值；
（2）区间两端点之间用“，”隔开；
（3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号；
（4）以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
训练1 （1）集合{x｜0＜x＜1或2≤x≤5}用区间表示为（0，1）∪[2，5]；
解析：{x｜0＜x＜1或2≤x≤5}＝（0，1）∪[2，5].
（2）已知区间（a2＋a＋1，3]，则实数a的取值范围是（－2，1）.
解析：由题意可知a2＋a＋1＜3，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，所以实数a的取值范围是（－2，1）.
知识点二｜同一个函数
问题2 补充下列表格并观察这两个函数有什么共同点？
三要素函数 定义域 对应关系 值域
f（x）＝x＋2 R f（x）＝x＋2 R
f（t）＝t＋2 R f（t）＝t＋2 R
提示：共同点：这两个函数的定义域、值域、对应关系完全相同.
【知识梳理】
如果两个函数的定义域 相同 ，并且对应关系 完全一致 ，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
【例2】 〔多选〕下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A.f（x）＝，g（x）＝
B.f（x）＝·，g（x）＝
C.f（x）＝，g（x）＝x＋3（x≥2）
D.汽车匀速行驶时，路程与时间的函数关系f（t）＝80t（0≤t≤5）与一次函数g（x）＝80x（0≤x≤5）
解析：BD A项，f（x）＝，g（x）＝，不是同一个函数，对应关系不同；B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同；C项，f（x）＝｜x＋3｜，g（x）＝x＋3，不是同一个函数，对应关系不同，定义域也不同；D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同.
【规律方法】
判断两个函数为同一个函数应注意的三点
（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数；
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的；
（3）在化简解析式时，必须是等价变形.
训练2 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A.y＝x＋1与y＝
B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x（x≥0）
D.f（x）＝，g（x）＝x－1
解析：B A、C、D选项中两函数的定义域不同，故A、C、D中不是同一个函数；B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数.
提能点｜求函数的值域
【例3】 求下列函数的值域：
（1）y＝－1；
解：（直接法） ∵≥0，∴－1≥－1，
∴y＝－1的值域为[－1，＋∞）.
（2）y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
解：（观察法） ∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，
把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，
∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}.
（3）y＝；
解：（分离常数法） y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2，
故函数的值域为（－∞，2）∪（2，＋∞）.
（4）y＝2x－.
解：（换元法） 设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，
∴y＝2（t2＋1）－t＝2（t－）2＋，
由t≥0，结合函数y＝2（t－）2＋的图象可得原函数的值域为［，＋∞）.
【规律方法】
求函数值域的方法
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
（2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的式子的方法；
（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数”的形式，便于求值域；
（4）换元法：对于一些无理函数（如y＝ax±b±），可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域，间接地求解原函数的值域.
提醒：用换元法时应注意新元的取值范围.
训练3 求下列函数的值域：
（1）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
解：∵y＝2x＋1，且x∈{1，2，3，4，5}，
∴y∈{3，5，7，9，11}.
∴函数的值域为{3，5，7，9，11}.
（2）y＝x2＋2x＋3；
解：y＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，
∵（x＋1）2≥0，∴（x＋1）2＋2≥2，
∴函数的值域为[2，＋∞）.
（3）y＝x＋2.
解：令t＝（t≥0），
则x＝t2＋1，y＝t2＋1＋2t＝（t＋1）2，
∵t≥0，∴y＝（t＋1）2≥1，
∴函数的值域为[1，＋∞）.
抽象函数、复合函数的定义域
由教材第74页第17题、第18题，适度拓展以下内容.
1.抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.
2.复合函数的概念：若函数y＝f（t）的定义域为A，函数t＝g（x）的定义域为D，值域为C，则当C A时，称函数y＝f（g（x））为f（t）与g（x）在D上的复合函数，其中x称为自变量，t称为中间变量，t＝g（x）叫做内层函数，y＝f（t）叫做外层函数.
3.抽象函数或复合函数的定义域
（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f（x）的定义域是指x的取值范围，函数y＝f（g（x））的定义域也是指x的取值范围，而不是g（x）的取值范围；
（2）已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）的取值范围（值域）为A，求x的取值范围；
（3）已知f（g（x））的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知f（g（x））中x的取值范围为B，求g（x）的取值范围（值域），这个范围就是f（x）的定义域.
【典例】 （1）函数y＝f（x）的定义域是[－1，3]，则f（2x＋1）的定义域为[－1，1]；
解析：令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f（2x＋1）的定义域为[－1，1].
（2）若函数y＝f（3x＋1）的定义域为[－2，4]，则y＝f（x）的定义域是[－5，13].
解析：由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f（x）的定义域是[－5，13].
【规律方法】
复合函数的定义域
（1）已知f（x）的定义域为[a，b]，求f（g（x））的定义域时，不等式a≤g（x）≤b的解集即定义域；
（2）已知f（g（x））的定义域为[c，d]，求f（x）的定义域时，g（x）在[c，d]上的范围（值域）即定义域.
【迁移应用】
1.已知函数f（x）的定义域为[－1，2]，则f（3－2x）的定义域为（ ）
A.［，2］ B.[－1，2]
C.[－1，5] D.［1，］
解析：A 由于函数f（x）的定义域为[－1，2]，故－1≤3－2x≤2，解得≤x≤2，即函数f（3－2x）的定义域为［，2］.
2.已知函数f（x－1）的定义域为{x｜－2≤x≤3}，则函数f（2x＋1）的定义域为（ ）
A.{x｜－1≤x≤9} B.{x｜－3≤x≤7}
C.{x｜－2≤x≤1} D.{x｜－2≤x≤}
解析：D ∵函数y＝f（x－1）的定义域为{x｜－2≤x≤3}，∴－3≤x－1≤2，即函数f（x）的定义域为{x｜－3≤x≤2}.∴对函数f（2x＋1），有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤.即函数f（2x＋1）的定义域为{x－2≤x≤}.
1.区间（－3，3]用集合可表示为（ ）
A.{－2，－1，0，1，3} B.{x｜－3＜x＜3}
C.{x｜－3＜x≤3} D.{x｜－3≤x≤3}
解析：C 在数轴上表示为，该区间可用集合表示为{x｜－3＜x≤3}.
2.函数f（x）＝（x∈R）的值域是（ ）
A.[0，1] B.[0，1）
C.（0，1] D.（0，1）
解析：C 因为x2＋1≥1，所以0＜≤1，所以函数的值域为（0，1].
3.已知区间[2a－1，11]，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，6） B.（6，＋∞）
C.（1，6） D.（－1，6）
解析：A 由题意可知2a－1＜11，解得a＜6，所以实数a的取值范围是（－∞，6）.故选A.
4.函数y＝的定义域为[－1，0）∪（0，＋∞）.
解析：由解得x≥－1且x≠0，故函数的定义域为[－1，0）∪（0，＋∞）.
课堂小结
1.理清单 （1）用区间表示连续实数集； （2）同一个函数； （3）求函数的值域. 2.应体会 求二次型函数的值域用配方法，求无理函数的值域用换元法，求分式型的函数的值域常用分离常数法. 3.避易错 （1）误认为定义域和值域相同的函数是同一个函数； （2）求函数值域时忽略函数的定义域.
1.函数y＝的值域为（ ）
A.[－1，＋∞） B.[0，＋∞）
C.（－∞，0] D.（－∞，－1]
解析：B 由题意得，x＋1≥0，则有y≥0.
2.已知函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为（ ）
A.[－5，5] B.[－7，13]
C.[－4，1] D.[－1，4]
解析：D 由函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5，5]可知－5≤3－2x≤5，解得－1≤x≤4.
3.已知函数y＝f（x）与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f（x）的定义域是（ ）
A.[－3，1] B.（－3，1）
C.（－3，＋∞） D.（－∞，1]
解析：A 由于y＝f（x）与y＝＋是同一个函数，故二者定义域相同，所以y＝f（x）的定义域为{x｜－3≤x≤1}，故写成区间形式为[－3，1].故选A.
4.下列四个函数中，与y＝的定义域与值域均相同的是（ ）
A.y＝x＋1 B.y＝（x－1）2
C.y＝x2－1 D.y＝
解析：A y＝＝x，定义域为R，值域为R；对于A，y＝x＋1，定义域为R，值域为R；对于B，y＝（x－1）2，定义域为R，值域为[0，＋∞）；对于C，y＝x2－1，定义域为R，值域为[－1，＋∞）；对于D，y＝，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A的定义域与值域与y＝的相同.
5.函数y＝x＋的值域为（ ）
A.（－∞，1] B.[1，＋∞）
C.（－∞，1） D.（1，＋∞）
解析：A 令t＝（t≥0），则x＝，y＝＋t＝－t2＋t＋＝－（t－1）2＋1.∵t≥0，∴当t＝1，即x＝0时，函数取得最大值ymax＝1，∴函数y＝x＋的值域为（－∞，1].
6.〔多选〕下列各组函数为同一个函数的是（ ）
A.f（x）＝x，g（x）＝
B.f（x）＝1，g（x）＝（x－1）0
C.f（x）＝x，g（t）＝t
D.f（t）＝，g（t）＝t＋4（t≠4）
解析：CD 对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数.
7.〔多选〕已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，5]，其定义域可能是（ ）
A.[1，3] B.[0，3]
C.[－1，2] D.[－1，0]
解析：ABC 因为函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，5]，由y＝5可得x＝－1或x＝3，由y＝1可得x＝1，如图，所以其定义域可以为A，B，C中的集合，故选A、B、C.
8.设a∈R，函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x2－a｜，若f（2）＝1，则f（1）＝3.
解析：由f（2）＝1＋｜22－a｜＝1可得a＝4，所以f（1）＝｜1－1｜＋｜1－4｜＝3.
9.函数y＝的定义域用区间表示为（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6].
解析：要使函数有意义，需满足即∴定义域为（－∞，－4）∪（－4，4）∪（4，6].
10.求下列函数的值域：
（1）y＝｜2x－1｜，x∈{0，1，2，3}；
（2）y＝＋1；
（3）y＝x2－4x，x∈[1，4].
解：（1）∵y＝｜2x－1｜，x∈{0，1，2，3}，
∴函数的值域为{1，3，5}.
（2）∵y＝＋1＝＋1＝2－，且≠0，
∴函数的值域为{y｜y≠2}.
（3）配方，得y＝（x－2）2－4.
∵x∈[1，4]，结合图象（图略）知函数的值域为[－4，0].
11.已知函数f（x）的定义域为（－1，1），则函数g（x）＝f（）＋f（x－2）的定义域为（ ）
A.（0，2） B.（1，2）
C.（2，3） D.（－1，1）
解析：B 由题意知解得1＜x＜2.
12.已知函数f（x）＝的定义域是全体实数集，则实数m的取值范围是[0，1）.
解析：由题意得mx2＋2mx＋1＞0恒成立，当m＝0时，mx2＋2mx＋1＝1＞0恒成立；当m≠0时，解得0＜m＜1.综上，实数m的取值范围是[0，1）.
13.已知函数y＝的定义域为[－3，6]，则a的值为－1，b的值为3.
解析：由题意得不等式ax2＋bx＋18≥0的解集为[－3，6]，因此x＝－3和x＝6是方程ax2＋bx＋18＝0的两个根，且a＜0，于是解得
14.已知函数f（x）＝的定义域为集合A，函数g（x）＝x2－2x＋a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围.
解：由题意知：函数f（x）＝的定义域需满足x2－16≥0，解得x≤－4或x≥4，
所以集合A＝{x｜x≤－4或x≥4}，
函数g（x）＝x2－2x＋a＝（x－1）2＋a－1，
因为x∈[0，4]，
当x＝1时，函数g（x）取得最小值为a－1；
当x＝4时，函数g（x）取得最大值为a＋8；
所以函数g（x）的值域为[a－1，a＋8]，
所以集合B＝[a－1，a＋8]，
因为A∪B＝R，如图所示.
所以需满足：解得－4≤a≤－3，
故实数a的取值范围为[－4，－3].
15.已知函数f（x）＝.
（1）求f（2）＋f（）的值；
（2）求证：f（a）＋f（）是定值；
（3）求2f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2 024）＋f（）＋f（2 025）＋f（）的值.
解：（1）因为f（x）＝，
所以f（2）＋f（）＝＋＝＋＝4.
（2）证明：因为f（x）＝，所以f（a）＋f（）＝＋＝＋＝＝4，
所以f（a）＋f（）是定值，定值为4.
（3）由（2）知f（a）＋f（）＝4，所以f（1）＋f（1）＝4，f（2）＋f（）＝4，f（3）＋f（）＝4，…，f（2 025）＋f（）＝4，所以2f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2 024）＋f（）＋f（2 025）＋f（）＝4×2 025＝8 100.
1 / 2第二课时 函数的概念（二）
1.函数y＝的值域为（ ）
A.[－1，＋∞） B.[0，＋∞）
C.（－∞，0] D.（－∞，－1]
2.已知函数f（x）＝－2x＋3的值域为[－5，5]，则它的定义域为（ ）
A.[－5，5] B.[－7，13]
C.[－4，1] D.[－1，4]
3.已知函数y＝f（x）与函数y＝＋是同一个函数，则函数y＝f（x）的定义域是（ ）
A.[－3，1] B.（－3，1）
C.（－3，＋∞） D.（－∞，1]
4.下列四个函数中，与y＝的定义域与值域均相同的是（ ）
A.y＝x＋1 B.y＝（x－1）2
C.y＝x2－1 D.y＝
5.函数y＝x＋的值域为（ ）
A.（－∞，1] B.[1，＋∞）
C.（－∞，1） D.（1，＋∞）
6.〔多选〕下列各组函数为同一个函数的是（ ）
A.f（x）＝x，g（x）＝
B.f（x）＝1，g（x）＝（x－1）0
C.f（x）＝x，g（t）＝t
D.f（t）＝，g（t）＝t＋4（t≠4）
7.〔多选〕已知函数y＝x2－2x＋2的值域是[1，5]，其定义域可能是（ ）
A.[1，3] B.[0，3]
C.[－1，2] D.[－1，0]
8.设a∈R，函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x2－a｜，若f（2）＝1，则f（1）＝ .
9.函数y＝的定义域用区间表示为 .
10.求下列函数的值域：
（1）y＝｜2x－1｜，x∈{0，1，2，3}；
（2）y＝＋1；
（3）y＝x2－4x，x∈[1，4].
11.已知函数f（x）的定义域为（－1，1），则函数g（x）＝f（）＋f（x－2）的定义域为（ ）
A.（0，2） B.（1，2）
C.（2，3） D.（－1，1）
12.已知函数f（x）＝的定义域是全体实数集，则实数m的取值范围是 .
13.已知函数y＝的定义域为[－3，6]，则a的值为 ，b的值为 .
14.已知函数f（x）＝的定义域为集合A，函数g（x）＝x2－2x＋a，x∈[0，4]的值域为集合B，若A∪B＝R，求实数a的取值范围.
15.已知函数f（x）＝.
（1）求f（2）＋f（）的值；
（2）求证：f（a）＋f（）是定值；
（3）求2f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2 024）＋f（）＋f（2 025）＋f（）的值.
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