第一课时 函数的概念（一）
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（数学抽象）.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用（数学抽象、数学建模）.
3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域（数学抽象、数学运算）.
情境导入
客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如，天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营业里程逐年增加，已突破2万公里……所有这些都表现为变量间的对应关系，那么这种对应关系就是本节课研究的重要概念——函数.
知识点一｜函数的概念
问题1 阅读下文，并回答问题：①某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为s＝350t；
②某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多6天.如果公司的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资；
③如图是某市某日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图；
④国际上常用恩格尔系数r（r＝×100%）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况.
年份y 2015 2016 2017 2018 2019
恩格尔系数r/% 36.47 36.69 36.81 38.17 35.69
年份y 2020 2021 2022 2023 2024
恩格尔系数r/% 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35
（1）对于问题②，你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？
提示：工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是w＝350d.其中，d的变化范围是数集A1＝{1，2，3，4，5，6}，w的变化范围是数集B1＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}.对于数集A1中的任一个工作天数d，按照对应关系，在数集B1中都有唯一确定的工资w与它对应.
（2）问题①②中的两个函数有什么异同点？
提示：它们有相同的解析式，也就是相同的对应关系.但它们的实际背景不同，变量的取值范围也不同.
（3）对于问题③，如何确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？这里的I是t的函数吗？
提示：根据初中所学函数的概念知，这里的I是t的函数；t的取值范围是{t｜0≤t≤24}，I的取值范围是{I｜0＜I＜150}.
（4）对于问题④，你认为恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？
提示：y的取值范围是数集A2＝{2015，2016，2017，2018，2019，2020，2021，2022，2023，2024}；根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集B2＝{r｜0＜r≤1}.对于数集A2中的任意一个年份y，根据表格所给定的对应关系，在数集B2中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以r是y的函数.
【知识梳理】
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定的数y 和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A.
提醒： （1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性；（2） f表示对应关系， 符号f（x）表示x对应的函数值，不是f乘x，f（x）也不一定是解析式，还可以是图象或表格或其他的对应关系；（3）除f（x）外，有时还用g（x），u（x），H（x），G（x）等符号表示函数.
【例1】 （1）〔多选〕下列图形能够作为函数y＝f（x）的图象的有（ ）
解析：AD 由函数的定义可知A、D可作为函数图象，B、C对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象.
（2）判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数.
①A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
②A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
③A＝{1，2，3}，B＝R，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4.
解：①对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数.
②A中元素x＝0在B中没有对应元素，故不能构成函数.
③依题意，f（1）＝f（2）＝3，f（3）＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数.
【规律方法】
1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法
（1）任取一条垂直于x轴的直线l；
（2）在定义域内平行移动直线l；
（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
2.判断一个对应关系为函数的标准
（1）A，B必须是非空实数集；
（2）A中任一元素在B中必有唯一确定的元素与其对应.
提醒：函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”.
训练1 （1）〔多选〕如图中能表示函数关系的是（ ）
解析：AD B中元素1没有与之对应的元素，C中与元素2对应的有两个元素.
（2）判断下列对应关系f是否为从集合A到集合B的函数.
①A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→｜x－2｜；
②A＝{x｜－1≤x≤1}，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示.
解：①对于A中的元素x＝2，在f作用下，｜2－2｜ B，故不能构成函数.
②对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故f：A→B是集合A到集合B的函数.
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素（5和6）与之对应，故所给对应关系不是从集合A到集合B的函数.
知识点二｜函数的三要素
问题2 （1）函数y＝2x中，x可以取任意实数吗？y＝呢？
提示：函数y＝2x中，x可以取任意实数；y＝中，x≥0.
（2）请同学们思考：一个函数的构成要素有哪些？
提示：三个条件：定义域、对应关系、值域.
【知识梳理】
1.函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
对于非空实数集A、B及函数y＝f（x），x∈A.
（1）定义域：x叫做 自变量 ，x的 取值范围A 叫做函数的定义域；
（2）对应关系f： f可以看作是对“x”施加的某种运算或法则（如：f（x）＝x2，f就是对自变量x求平方）；
（3）值域：与x的值相对应的y值叫做 函数值 ，函数值的集合 {f（x）｜x∈A} 叫做函数的值域.
提醒：A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集.
2.一次函数与二次函数的定义域与值域
（1）一次函数y＝ax＋b（a≠0）的定义域为 R ，值域为 R ；
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定义域为 R ，值域是B，当a＞0时，B＝ {y｜y≥} ；当a＜0时，B＝ {y｜y≤} .
【例2】 （1）已知函数f（x）＝x＋，则f（2）＝；当a≠－1时，f（a＋1）＝a＋1＋.
解析：f（2）＝2＋＝.当a≠－1时，a＋1≠0，所以f（a＋1）＝a＋1＋.
（2）求下列函数的定义域：
①f（x）＝2＋；
②f（x）＝（x－1）0＋.
解：①当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f（x）＝2＋有意义，
所以函数的定义域为{x｜x≠2}.
②函数有意义，当且仅当
解得x＞－1且x≠1，
所以函数的定义域为{x｜x＞－1且x≠1}.
【规律方法】
1.求函数的定义域的关注点
（1）要明确使函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般在没有特殊说明的情况下为使函数式有意义的自变量的取值范围（如：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0）；
（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
2.函数求值的方法
（1）已知f（x）的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f（a）的值；
（2）已知f（x）与g（x），求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则.
提醒：对已知表达式的函数求定义域时不要对表达式化简变形，以免定义域发生变化.
训练2 （1）求下列函数的定义域：
①f（x）＝·；
②f（x）＝－.
解：①函数有意义，当且仅当
解得1≤x≤3，
所以函数的定义域为{x｜1≤x≤3}.
②要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，即函数的定义域为{x｜x≤1且x≠－1}.
（2）已知函数f（x）＝x3＋2x＋3，求f（1），f（t）和f（f（－1））的值.
解：f（1）＝13＋2×1＋3＝6；
f（t）＝t3＋2t＋3；
f（f（－1））＝f[（－1）3＋2×（－1）＋3]＝f（0）＝3.
知识点三｜构建函数关系的问题情境
问题3 已知矩形的面积为10，设矩形的长为x（x＞0），宽为f（x）.根据以上条件你能建立一个函数关系吗？
提示：f（x）＝（x＞0）.
【例3】 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式f（x）＝（x－5）（11－x）描述.
解：根据题意，问题情境如下：
某商店以每件5元的价格购进一种商品，通过试销发现，这种商品每天的销量m（单位：件）与售价x（单位：元）满足一次函数m＝11－x（5≤x≤11），则商店销售此商品每天的获利f（x）＝（x－5）·（11－x）.
其中x的范围是{x｜5≤x≤11}，y的取值范围为{y｜0≤y≤9}，对应关系f把每一种售价x，对应到唯一确定的利润y（答案不唯一）.
【规律方法】
构建问题情境的方法与技巧
（1）综合考虑构建具体的实际问题；
（2）赋予每个变量具体的实际意义；
（3）根据变量关系，设计出所求的实际问题.
训练3 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2x＋来描述.
解：如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x｜x＞0}，那么可以构建如下情境：
长方形的面积为5，设长方形的一边长为x，则其周长为y＝2x＋.
其中x的范围是{x｜x＞0}，y的取值范围为{y｜y≥4}，对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的周长y（答案不唯一）.
1.下列四个图形中，不是函数图象的是（ ）
解析：B 根据函数的定义知：若y是x的函数，则x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上即图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B选项不符合此条件.故选B.
2.函数y＝的定义域是（ ）
A.{x｜x≥－1} B.{x｜－1≤x＜0}
C.{x｜x＞－1} D.{x｜－1＜x＜0}
解析：C 由x＋1＞0得x＞－1，所以函数的定义域为{x｜x＞－1}.
3.〔多选〕下列等式中的变量x，y，具有y是x的函数关系的是（ ）
A.y＝x－1 B.y＝
C.y2＝4x D.y2＝x2
解析：AB 选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义.故选A、B.
4.已知函数f（x）＝＋1，且f（a）＝3，则a＝4.
解析：因为f（x）＝＋1，所以f（a）＝＋1.又因为f（a）＝3，所以＋1＝3，a＝4.
课堂小结
1.理清单 （1）函数的概念； （2）函数的三要素； （3）构建函数关系的问题情境. 2.应体会 判断图形是否为函数的图象用到数形结合思想，求函数的定义域及求值，构建函数模型用到方程思想. 3.避易错 （1）函数概念的理解； （2）值域不是集合B，而是集合B的一个子集； （3）对符号f（x）的认知错误.
1.已知函数f（x）＝，则f（）＝（ ）
A. B.
C.a D.5a
解析：D f（）＝＝5a.
2.下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是（ ）
A.M＝R，N＝{x∈R｜x＞0}，f：x→｜x｜
B.M＝N，N＝N*，f：x→｜x－1｜
C.M＝{x∈R｜x＞0}，N＝R，f：x→x2
D.M＝R，N＝{x∈R｜x≥0}，f：x→
解析：C 对于A，当集合M中x＝0时，｜x｜＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，｜x－1｜＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数.
3.设函数f（x）＝，则当f（x）＝4时，x＝（ ）
A.－1 B.1
C.－2 D.2
解析：B 令＝4，则x＝1.
4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是（ ）
x x＜2 2≤x≤3 x＞3
y 1 0 1
A.{y｜0≤y≤1} B.R
C.{0，1，1} D.{0，1}
解析：D 函数的所有取值为0，1，所以值域是{0，1}.
5.函数y＝的定义域为（ ）
A.{x｜2≤x≤4} B.{x｜0≤x≤2}
C.{x｜2≤x≤8} D.{x｜0≤x≤8}
解析：C 对于函数y＝，有－x2＋10x－16≥0，即x2－10x＋16≤0，解得2≤x≤8.所以函数y＝的定义域为{x｜2≤x≤8}.
6.〔多选〕设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是（ ）
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
解析：ABC 选项D中，当x＝0时，在集合B中没有值与之对应，其余选项均符合题意.故选A、B、C.
7.〔多选〕已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{－1，1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，其中能构成从集合M到集合N的函数关系的是（ ）
A.y＝ B.y＝x
C.y＝x＋1 D.y＝x2
解析：BD 对于选项A，2∈M，但 N.故不能构成从M到N的函数；对于选项B， x∈M，y＝x∈N.故能构成从M到N的函数；对于选项C，4∈M，但5 N.故不能构成从M到N的函数；对于选项D， x∈M，y＝x2∈N.故能构成从M到N的函数.故选B、D.
8.如图所示，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（3）＝1，f（f（4））＝0.（用数字作答）
解析：由图可知f（3）＝1，又因f（4）＝2，所以f（f（4））＝f（2）＝0.
9.函数f（x）＝（x－）0＋的定义域为{x｜x≥－2，且x≠}.
解析：依题意得解得即x≥－2，且x≠，所以f（x）的定义域为{x｜x≥－2，且x≠}.
10.求下列函数的定义域：
（1） y＝；
（2）y＝＋；
（3）f（x）＝.
解：（1）由得
所以其定义域为{x｜x≤1，且x≠0}.
（2）要使函数有意义，则即
所以x2＝1，从而函数的定义域为{x｜x＝±1}＝{1，－1}.
（3）要使函数式有意义，必须满足
即解得
所以函数的定义域为{x｜x＜0且x≠－3}.
11.“0≤a＜4”是“函数y＝的定义域为R”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A 若函数y＝的定义域为R，则有ax2＋ax＋1≥0恒成立.当a＝0时，1≥0成立；当a≠0时，由解得0＜a≤4.所以0≤a≤4.所以“0≤a＜4”是“函数y＝的定义域为R”的充分不必要条件.故选A.
12.〔多选〕下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A.f（x）＝｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜
C.f（x）＝x＋1 D.f（x）＝－x
解析：ABD 在A中，f（2x）＝｜2x｜＝2｜x｜，2f（x）＝2｜x｜，满足f（2x）＝2f（x）；在B中，f（2x）＝2x－｜2x｜＝2（x－｜x｜）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）；在C中，f（2x）＝2x＋1，2f（x）＝2（x＋1）＝2x＋2，不满足f（2x）＝2f（x）；在D中，f（2x）＝－2x＝2（－x）＝2f（x），满足f（2x）＝2f（x）.
13.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有7种.
解析：由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究，若函数是三对一的对应，则值域为{4}，{5}，{6}三种情况；若函数是二对一的对应，则值域为{4，5}，{5，6}，{4，6}三种情况；若函数是一对一的对应，则值域为{4，5，6}共一种情况；综上知，函数的值域C的不同情况有7种.
14.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝10（1＋x）2（0＜x＜1）描述.
解：构建如下情境：
某地“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2024年约有10万人次，设观赏人数年平均增长率为x，预计2026年观赏人数为y，那么y＝10（1＋x）2，其中，x的取值范围是A＝{x｜0＜x＜1}，y的取值范围是B＝{y｜10＜y＜40}.
对应关系f把每一个增长率x，对应到唯一确定的观赏人数10（1＋x）2.
15.若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数.那么与函数y＝x2，x∈{－2，－1，0，1，2}为同族函数的有多少个？
解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，
函数解析式为y＝x2，值域为{0，1，4}时，
定义域中，0是肯定有的，正负1至少含一个，正负2至少含一个.
它的定义域可以是{0，1，2}，{0，1，－2}，{0，－1，2}，{0，－1，－2}，{0，1，－2，2}，{0，－1，－2，2}，{0，1，－1，－2}，{0，1，－1，2}，{0，1，－1，2，－2}，
共有9种不同的情况，
所以与函数y＝x2，x∈{－2，－1，0，1，2}为同族函数的有8个.
1 / 9第一课时 函数的概念（一）
1.已知函数f（x）＝，则f（）＝（ ）
A. B.
C.a D.5a
2.下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是（ ）
A.M＝R，N＝{x∈R｜x＞0}，f：x→｜x｜
B.M＝N，N＝N*，f：x→｜x－1｜
C.M＝{x∈R｜x＞0}，N＝R，f：x→x2
D.M＝R，N＝{x∈R｜x≥0}，f：x→
3.设函数f（x）＝，则当f（x）＝4时，x＝（ ）
A.－1 B.1
C.－2 D.2
4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是（ ）
x x＜2 2≤x≤3 x＞3
y 1 0 1
A.{y｜0≤y≤1} B.R
C.{0，1，1} D.{0，1}
5.函数y＝的定义域为（ ）
A.{x｜2≤x≤4} B.{x｜0≤x≤2}
C.{x｜2≤x≤8} D.{x｜0≤x≤8}
6.〔多选〕设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若集合B＝{1}，则集合A可能是（ ）
A.{1} B.{－1}
C.{－1，1} D.{－1，0}
7.〔多选〕已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{－1，1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，其中能构成从集合M到集合N的函数关系的是（ ）
A.y＝ B.y＝x
C.y＝x＋1 D.y＝x2
8.如图所示，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（3）＝ ，f（f（4））＝ .（用数字作答）
9.函数f（x）＝（x－）0＋的定义域为 .
10.求下列函数的定义域：
（1） y＝；
（2）y＝＋；
（3）f（x）＝.
11.“0≤a＜4”是“函数y＝的定义域为R”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.〔多选〕下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A.f（x）＝｜x｜ B.f（x）＝x－｜x｜
C.f（x）＝x＋1 D.f（x）＝－x
13.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有 种.
14.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝10（1＋x）2（0＜x＜1）描述.
15.若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数.那么与函数y＝x2，x∈{－2，－1，0，1，2}为同族函数的有多少个？
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