第一课时 函数的表示法
1.如果f（）＝，则当x≠0，1时，f（x）＝（ ）
A. B.
C. D.－1
2.若f（x）是一次函数，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝1，则f（x）＝（ ）
A.3x＋2 B.2x－3
C.2x＋3 D.3x－2
3.某学校高中部举行秋季田径运动会，甲、乙、丙、丁4位同学代表高一（1）班参加男子组4×100米接力跑比赛，甲同学负责跑第二棒.在比赛中，从甲接到接力棒到甲送出接力棒，甲同学的跑步速率v（单位：m/s）关于跑步时间t（单位：s）的函数图象最可能的是（ ）
4.若f（x）对于任意实数x恒有3f（x）－2 f（－x）＝5x＋1，则f（x）＝（ ）
A.x＋1 B.x－1
C.2x＋1 D.－3x－1
5.已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（f（2））＝（ ）
A.49 B.92
C.82 D.104
6.〔多选〕已知f（2x－1）＝4x2，则下列结论正确的是（ ）
A.f（3）＝9 B.f（x）＝x2
C.f（－3）＝4 D.f（x）＝（x＋1）2
7.〔多选〕矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，则下列正确的是（ ）
A.l＝2x＋（x＞0）
B.y＝（x＞0）
C.l＝2（d＞0）
D.d＝（x＞0）
8.已知f（x－1）＝2x＋3，若f（t）＝4，则t＝ .
9.已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数，且F（）＝16，F（1）＝8，则F（x）的解析式为 .
10.画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域：
（1）y＝；
（2）y＝－4x＋5；
（3）y＝x2－6x＋7.
11.已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），若f（1）＝－2，则f（3）＝（ ）
A.－6 B.－4
C.－2 D.0
12.如图，平面图形中阴影部分的面积S是关于h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象大致是（ ）
13.已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，则f（5）＝ .
14.已知函数f（x）＝（a，b为常数，且a≠0）满足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解，求函数f（x）的解析式.
15.已知函数f（x）对任意实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b）成立.
（1）求f（0）与f（1）的值；
（2）求证：f（）＝－f（x）；
（3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值.
2 / 2第一课时 函数的表示法
课标要求
1.掌握函数的三种表示方法（数学抽象、数学运算）.
2.掌握函数图象的作法和应用（直观想象）.
3.会求函数的解析式（数学运算）.
情境导入
本章第一节学习函数概念时列举了以下三个函数：
（1）某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后匀速运行了半小时，此时列车行进的路程s与时间t的关系可以表示为s＝350t（0≤t≤0.5）（解析式表示）；
（2）某市某日的空气质量指数I与这一天内任意一时刻t h的关系可用一条曲线表示（图象表示）；
（3）国际上反映人民生活质量高低的通用标准：恩格尔系数，该函数是以列表形式给出了年份与对应恩格尔系数的值（列表表示）；
以上三种表示方法就是今天要学习的函数的表示法：解析法、图象法、列表法.
知识点一｜函数的表示方法
问题1 已建成的京沪高速铁路总长约1 317千米，设计速度目标值为380千米/时.若火车速度按300千米/时计算，行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x，x∈[0，4.39]叫做该函数的解析式.
（1）上述函数的表示方法是什么？
提示：解析法.
（2）还有其他形式的函数表示法吗？
提示：图象法、列表法.
【知识梳理】
【例1】 购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出这个函数的值域.
解：（1）解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}，值域y∈{2，4，6，8}.
（2）列表法：如表所示.
x/听 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
（3）图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示.
【规律方法】
理解函数表示法的三个关注点
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的定义；
（2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数；
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
训练1 某答题游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系y＝f（x）.
解：（1）用列表法可将函数y＝f（x）表示为
x 0 1 2 3 4 5
y 50 40 30 20 10 0
（2）用图象法可将函数y＝f（x）表示为
（3）用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2，3，4，5}.
知识点二｜函数的图象
问题2 y＝x＋2与y＝x＋2，x∈[2，＋∞），以及y＝x＋2，x∈2，3，的图象一样吗？为什么？
提示：不一样，y＝x＋2的图象是一条直线；y＝x＋2，x∈[2，＋∞）是一条射线；y＝x＋2，x∈{1，2，3，4}是四个点；图象不同的原因是定义域不同.
【知识梳理】
描点法作图的步骤：
（1）明确函数的 定义域 ；
（2）化简函数 解析式 ；
（3）列表；
（4）描点；
（5）根据实际情况选择是否 连线 .
【例2】 作出下列函数的图象并求出其值域.
（1）y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
解：列表
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函数图象是四个点（0，0），（1，－1），（－2，2），（3，－3），其值域为{0，－1，2，－3}.
（2）y＝，x∈[2，＋∞）；
解：列表
x 2 3 4 5 …
y 1 …
画图象，当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为（0，1].
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2）.
解：列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x＜2之间的部分.
由图可得函数的值域为[－1，8）.
【规律方法】
描点法作函数图象的三个关注点
（1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；
（2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
（3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.
提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
训练2 作出下列函数的图象：
（1）y＝1－x（x∈Z）；
（2）y＝x2－4x＋3，x∈[1，3].
解：（1）因为x∈Z，描点（－3，4），（－2，3），（－1，2），（0，1），（1，0），…，
所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图1所示.
（2）y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，
当x＝1，3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，用平滑曲线连接得其图象如图2所示.
提能点｜求函数的解析式
角度1 待定系数法求函数解析式
【例3】 已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，求f（x）.
解：设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋.
【规律方法】
待定系数法求函数解析式
已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可根据题意设出f（x）的解析式（含待定的系数），再根据条件列方程（组），通过解方程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式.
角度2 换元法（配凑法）求函数解析式
【例4】 求下列函数的解析式：
（1）已知f（＋1）＝x＋2，求f（x）；
解：法一（换元法） 令t＝＋1，则x＝（t－1）2，t≥1，
所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），
所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
法二（配凑法） f（＋1）＝x＋2＝x＋2＋1－1＝（＋1）2－1.
因为＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）.
（2）已知f（x＋2）＝2x＋3，求f（x）.
解：f（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1，
所以f（x）＝2x－1.
【规律方法】
已知f（g（x））＝h（x）求f（x）常用的两种方法
（1）换元法，即令t＝g（x）解出x，代入h（x）中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围；
（2）配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可.
角度3 方程组法（消元法）求函数解析式
【例5】 已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋2x，求f（x）.
解：由题意，在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代替x可得f（－x）－2f（x）＝1－2x，
联立可得
消去f（－x）可得f（x）＝x－1.
【规律方法】
方程组法（消元法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数（f（x），f（）），互为相反数（f（－x），f（x））的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可.在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可.
训练3 （1）已知函数f（x＋1）＝3x＋2，求f（x）；
解：法一（换元法） 令x＋1＝t，∴x＝t－1，
∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1，
∴f（x）＝3x－1.
法二（配凑法） f（x＋1）＝3x＋2＝3（x＋1）－1，
∴f（x）＝3x－1.
（2）已知f（x）＋2f（）＝x（x≠0），求f（x）.
解：∵f（x）＋2f（）＝x，
用代替x得f（）＋2f（x）＝，
消去f（）得f（x）＝－（x≠0），
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝－（x≠0）.
1.由下表给出的函数y＝f（x），则f（f（1））＝（ ）
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A.1 B.2
C.4 D.5
解析：B 由题意可知，f（1）＝4，f（4）＝2，∴f（f（1））＝f（4）＝2.故选B.
2.已知函数f（1－x）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）＝3x－1 B.f（x）＝－3x＋1
C.f（x）＝3x＋2 D.f（x）＝－3x＋5
解析：D 令1－x＝t，则x＝1－t，∴f（t）＝3（1－t）＋2＝－3t＋5.∴f（x）＝－3x＋5.
3.已知f（x）的图象恒过点（1，－1），则函数f（x－3）的图象恒过点（ ）
A.（－2，－1） B.（4，－1）
C.（1，－4） D.（1，－2）
解析：B 因为f（x）的图象恒过点（1，－1），所以当x－3＝1时，f（x－3）＝－1，即函数f（x－3）的图象恒过点（4，－1）.
4.如果一次函数f（x）的图象过点（1，0）及点（0，1），则f（3）＝－2.
解析：设一次函数的解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），因为其图象过点（1，0），（0，1），所以解得k＝－1，b＝1，所以f（x）＝－x＋1，所以f（3）＝－3＋1＝－2.
课堂小结
1.理清单 （1）函数的三种表示方法：列表法、图象法和解析法； （2）求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法、消元法（方程组法）； （3）函数图象的作法. 2.应体会 （1）明确函数类型用待定系数法； （2）求解自变量具有对称规律的函数表达式用到函数与方程思想. 3.避易错 （1）求函数解析式时标注函数的定义域； （2）画函数图象时易忽略定义域，同时要注意是连续曲线还是离散的点.
1.如果f（）＝，则当x≠0，1时，f（x）＝（ ）
A. B.
C. D.－1
解析：B 令＝t，则x＝，代入f（）＝，则有f（t）＝＝，则f（x）＝，x≠0，1.
2.若f（x）是一次函数，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝1，则f（x）＝（ ）
A.3x＋2 B.2x－3
C.2x＋3 D.3x－2
解析：D 设f（x）＝ax＋b（a≠0），由题设有解得所以f（x）＝3x－2.
3.某学校高中部举行秋季田径运动会，甲、乙、丙、丁4位同学代表高一（1）班参加男子组4×100米接力跑比赛，甲同学负责跑第二棒.在比赛中，从甲接到接力棒到甲送出接力棒，甲同学的跑步速率v（单位：m/s）关于跑步时间t（单位：s）的函数图象最可能的是（ ）
解析：C 甲在接棒前要进行助跑，接棒后要进行快跑加速，达到最大速度后需要保持匀速到送出棒，之后减速直到送出棒给下一位同学.所以，函数图象先上升，再水平，最后下降.
4.若f（x）对于任意实数x恒有3f（x）－2 f（－x）＝5x＋1，则f（x）＝（ ）
A.x＋1 B.x－1
C.2x＋1 D.－3x－1
解析：A 3f（x）－2f（－x）＝5x＋1，所以3f（－x）－2f（x）＝－5x＋1，解得f（x）＝x＋1.
5.已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（f（2））＝（ ）
A.49 B.92
C.82 D.104
解析：B 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.因为f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝10x2－7x＋5，即5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以解得所以f（x）＝2x2－x＋1.所以f（2）＝8－2＋1＝7，所以f（f（2））＝f（7）＝2×49－7＋1＝92.
6.〔多选〕已知f（2x－1）＝4x2，则下列结论正确的是（ ）
A.f（3）＝9 B.f（x）＝x2
C.f（－3）＝4 D.f（x）＝（x＋1）2
解析：CD 令t＝2x－1，则x＝，∴f（t）＝4＝（t＋1）2.∴f（3）＝16，f（－3）＝4，f（x）＝（x＋1）2.
7.〔多选〕矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，则下列正确的是（ ）
A.l＝2x＋（x＞0） B.y＝（x＞0）
C.l＝2（d＞0） D.d＝（x＞0）
解析：ABD 对于A，因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以xy＝10，得y＝，所以矩形的周长为l＝2x＋（x＞0），所以A正确；对于B，由选项A，可知y＝（x＞0），所以B正确；对于C，因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以x2＋y2＝d2≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以x2＋y2＋2xy＝d2＋20，（x＋y）2＝d2＋20，因为x＋y＞0，所以x＋y＝，所以矩形的周长为l＝2（d≥2），所以C错误；对于D，由选项C可知x2＋y2＝d2，xy＝10，所以d2＝x2＋，因为d＞0，所以d＝（x＞0），所以D正确，故选A、B、D.
8.已知f（x－1）＝2x＋3，若f（t）＝4，则t＝－.
解析：令x－1＝m，则x＝2m＋2，所以f（m）＝2（2m＋2）＋3＝4m＋7，因为f（t）＝4，所以4t＋7＝4，解得t＝－.
9.已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函数，g（x）是x的反比例函数，且F（）＝16，F（1）＝8，则F（x）的解析式为F（x）＝3x＋.
解析：设f（x）＝kx（k≠0），g（x）＝（m≠0），则F（x）＝kx＋.由F（）＝16，F（1）＝8，得解得所以F（x）＝3x＋.
10.画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域：
（1）y＝；
（2）y＝－4x＋5；
（3）y＝x2－6x＋7.
解：（1）反比例函数y＝的图象如图1所示，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.
（2）一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R.
（3）二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞）.
11.已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），若f（1）＝－2，则f（3）＝（ ）
A.－6 B.－4
C.－2 D.0
解析：A 由题意得，f（3）＝f（1）＋f（2）＝3f（1）＝－6.
12.如图，平面图形中阴影部分的面积S是关于h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象大致是（ ）
解析：D 由平面图形，可知S随着h的增加而减少，并且减少的趋势在减小，当h＝时，阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，故选D.
13.已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，则f（5）＝22.
解析：因为函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，令f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝10，解得t＝2，所以f（x）＝4x＋2，所以f（5）＝4×5＋2＝22.
14.已知函数f（x）＝（a，b为常数，且a≠0）满足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解，求函数f（x）的解析式.
解：由f（x）＝x，得＝x，即ax2＋（b－1）x＝0.
∵方程f（x）＝x有唯一解，
∴Δ＝（b－1）2＝0，即b＝1.
∵f（2）＝1，∴＝1.∴a＝.
∴f（x）＝＝.
15.已知函数f（x）对任意实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b）成立.
（1）求f（0）与f（1）的值；
（2）求证：f（）＝－f（x）；
（3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值.
解：（1）令a＝b＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），解得f（0）＝0；
令a＝1，b＝0，得f（0）＝f（1）＋f（0），解得f（1）＝0.
（2）证明：令a＝，b＝x，
得f（1）＝f（）＋f（x）＝0，
∴f（）＝－f（x）.
（3）令a＝b＝2，得f（4）＝f（2）＋f（2）＝2p，
令a＝b＝3，得f（9）＝f（3）＋f（3）＝2q.
令a＝4，b＝9，得f（36）＝f（4）＋f（9）＝2p＋2q.
1 / 10第二课时 函数的最大（小）值
1.函数f（x）在[－2，1]上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（ ）
A.3，0 B.3，1
C.3，无最小值 D.3，－2
2.已知函数y＝（k＞0）在[4，6]上的最大值为1，则k的值是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.函数f（x）＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为（ ）
A.[－6，－2] B.[－11，－2]
C.[－11，－6] D.[－11，－1]
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x（其中销售量单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
5.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A.[1，＋∞） B.[0，2]
C.（－∞，2] D.[1，2]
6.〔多选〕若x∈R，f（x）是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（ ）
A.最大值为2 B.最大值为1
C.最小值为－1 D.无最小值
7.〔多选〕已知函数f（x）＝有最小值，则实数a的值可能为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
8.已知函数f（x）＝x－2＋4，则函数f（x）的最小值为 .
9.已知函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝ .
10.已知f（x）＝，讨论f（x）的单调性，并求f（x）在区间[2，4]上的最大值和最小值.
11.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.10
12.〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2ax＋a的单调递减区间为（－∞，1]，则函数g（x）＝在区间（0，1]上一定（ ）
A.有最大值 B.有最小值
C.单调递增 D.单调递减
13.已知函数f（x）＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝ .
14.设f（x）＝x2－2ax（0≤x≤1）的最大值为M（a），最小值为m（a），求M（a）及m（a）的表达式.
15.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）.
（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
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