3.2.1第二课时　函数的最大（小）值

第二课时　函数的最大（小）值
课标要求
1.了解函数的最大（小）值的概念及其几何意义（数学抽象）.
2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值（直观想象）.
3.会借助函数的单调性求最值（逻辑推理、数学运算）.
4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题（数学建模）.
情境导入
　　如图为某城市一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图，从图象上可以看出该市在这一天的24小时内什么时刻气温最高，什么时刻气温最低，由此图象表明该函数在24小时之内的最大值及最小值.今天就借助这一实际情境，研究函数的最大（小）值问题.
　　
知识点一｜直观感知函数的最大值和最小值
问题1　（1）如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1（x∈[－1，＋∞）），y＝f（x）的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.
提示：函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞）的图象有最高点B，函数y＝f（x）的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
（2）你是怎样理解函数图象最高点的？
提示：图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
【知识梳理】
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足： x∈D，都有
f（x）　≤　M f（x）　≥　M
x0∈D，使得　f（x0）＝M
结论 M是函数y＝f（x）的最大值 M是函数y＝f（x）的最小值
　　提醒：（1）函数f（x）在其定义域内的最大（小）值的几何意义是其图象上最高（低）点的纵坐标；（2）函数的最值是函数的整体性质；（3）注意函数的最值与函数值域的区别与联系.
【例1】　已知函数f（x）＝
（1）在直角坐标系内画出f（x）的图象；
解：图象如图所示.
（2）根据函数的图象写出函数的最值.
解：由图可知f（x）在定义域[－1，5]上.当x＝0时，f（x）取最大值为3，当x＝2时，f（x）取最小值为－1.
【规律方法】
图象法求函数最值的一般步骤
训练1　已知函数y＝－｜x－1｜＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域.
解：y＝－｜x－1｜＋2＝
图象如图所示，
由图象知，函数y＝－｜x－1｜＋2的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为（－∞，2].
知识点二｜利用单调性求函数的最值
问题2　（1）若函数y＝f（x）在区间[1，2]上单调递增，则f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是多少？
提示：最大值为f（2），最小值为f（1）.
（2）若f（x）＝－x2＋3x＋1的定义域为[1，3]，则f（x）的最大值和最小值一定在端点上取到吗？
提示：不一定，需要考虑函数的单调性.
【例2】　已知函数f（x）＝.
（1）用函数单调性定义证明f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减；
解：证明：设x1，x2为区间（1，＋∞）上的任意两个实数，且1＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，
因为1＜x1＜x2，
所以x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.
故函数f（x）＝在（1，＋∞）上单调递减.
（2）求函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值与最小值.
解：由（1）可知，函数f（x）＝在[3，4]上单调递减，
所以在x＝3时，函数f（x）＝取得最大值；
在x＝4时，函数f（x）＝取得最小值.
变式　求函数f（x）＝在[－4，－3]上的最值.
解：任取x1，x2∈[－4，－3]且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝.
∵x1，x2∈[－4，－3]，
∴1－x1＞0，1－x2＞0.
又x1＜x2，
∴x1－x2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[－4，－3]上单调递增，
∴f（x）min＝f（－4）＝－，
f（x）max＝f（－3）＝－，
∴f（x）在[－4，－3]上最大值为－，最小值为－.
【规律方法】
利用函数的单调性求最值的四种常见情况
（1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增函数，则最小值为f（a），最大值为f（b），值域为[f（a），f（b）]；　
（2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是减函数，则最小值为f（b），最大值为f（a），值域为[f（b），f（a）]；　
（3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最大值f（b）；
（4）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最小值f（b）.
训练2　已知函数f（x）＝.
（1）证明：函数f（x）在上单调递减；
解：证明：设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2＞x1＞，
f（x1）－f（x2）＝－
＝.由于x2＞x1＞，
所以x2－x1＞0，且（2x1－1）（2x2－1）＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）＝在区间上单调递减.
（2）求函数f（x）在[1，5]上的最值.
解：由（1）知，函数f（x）在[1，5]上单调递减，
因此，函数f（x）＝在区间[1，5]上的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即最大值为f（1）＝3，最小值为f（5）＝.
知识点三｜实际应用中的最值问题
【例3】　某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x（不低于进价，单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
（1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）（注明函数定义域）；
解：因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
由表格得方程组解得
所以y＝f（x）＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
（2）若日销售利润为P元，根据（1）中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
解：由题意得，
P＝（x－30）y＝（x－30）（162－3x）
＝－3x2＋252x－4 860
＝－3（x－42）2＋432，x∈[30，54].
当x＝42时，日销售利润最大，最大值为432元，
即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润.
【规律方法】
解实际应用题的4个步骤
训练3　某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K（万元）是关于单位产品数Q的函数，K（Q）＝40Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是2 500万元.
解析：总利润L（Q）＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－（Q－300）2＋2 500.故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元.
提能点｜二次函数的最值
【例4】　求二次函数f（x）＝x2－2x＋2在[－1，1]上的最值.
解：∵函数f（x）＝x2－2x＋2的对称轴为x＝1，
∴f（x）在[－1，1]上单调递减，
∴f（x）min＝f（1）＝1，f（x）max＝f（－1）＝5.
变式1　在本例条件下，求f（x）在区间[t，t＋1]上的最小值.
解：f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，
当t＋1＜1，即t＜0时，函数f（x）的图象如图1中实线所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f（t＋1）＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f（x）的图象如图2中实线所示，最小值为f（1）＝1；
当t＞1时，函数f（x）的图象如图3中实线所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f（t）＝t2－2t＋2.
综上，最小值g（t）＝
变式2　已知函数g（x）＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数g（x）的最小值.
解：g（x）＝x2－2ax＋2＝（x－a）2＋2－a2，x∈[－1，1].
当a≥1时，函数g（x）的图象如图1中实线所示，函数g（x）在区间[－1，1]上单调递减，最小值为g（1）＝3－2a；
当－1＜a＜1时，函数g（x）的图象如图2中实线所示，函数g（x）在区间[－1，a）上单调递减，在区间（a，1]上单调递增，最小值为g（a）＝2－a2；
当a≤－1时，函数g（x）的图象如图3中实线所示，函数g（x）在区间[－1，1]上单调递增，最小值为g（－1）＝3＋2a.
综上所述，g（x）min＝
【规律方法】
二次函数最值问题的类型及求解策略
类型 ①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动
求解 策略 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成
训练4　若g（x）＝x2－2ax＋2，当x∈[2，4]时，g（x）≤a恒成立，求实数a的取值范围.
解：在[2，4]内，g（x）≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2，4]内恒成立，
即a≥g（x）max，x∈[2，4].
又g（x）max＝
（1）当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3；
（2）当a＞3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a＞3.
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞）.
1.函数y＝在区间上的最大值是（　　）
A. B.－1
C.4 D.－4
解析：C　y＝在上单调递减，∴当x＝时，ymax＝4.
2.函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是（　　）
A.10，5 B.10，1
C.5，1 D.以上都不对
解析：B　因为y＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，且x∈[－2，3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝（－2－1）2＋1＝10.故选B.
3.函数y＝的最大值是5.
解析：当x＜1时，函数y＝x＋3单调递增，有y＜4，无最大值；当x≥1时，函数y＝－x＋6单调递减，在x＝1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.
4.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为3m.
解析：设隔墙长为x（0＜x＜6）m，矩形面积为y m2，则y＝x·＝2x（6－x）＝－2（x－3）2＋18，∴当x＝3时，ymax＝18.
课堂小结
1.理清单 （1）函数的最大值、最小值定义； （2）求解函数最值的方法； （3）函数最值的应用； （4）二次函数最值问题的讨论. 2.应体会 分类讨论法、数形结合法. 3.避易错 （1）在利用单调性求最值时忽略函数的定义域； （2）求含参数的二次函数的最值时忽视对称轴与区间的位置分类讨论.
1.函数f（x）在[－2，1]上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（　　）
A.3，0 B.3，1
C.3，无最小值 D.3，－2
解析：B　观察题中图象可知，图象的最高点坐标是（0，3），从而函数f（x）的最大值是3；函数f（x）图象的最低点为（－2，1），即当x＝－2时，f（x）取得最小值1.故选B.
2.已知函数y＝（k＞0）在[4，6]上的最大值为1，则k的值是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B　因为当k＞0时，函数y＝在[4，6]上单调递减，所以函数y＝（k＞0）在[4，6]上的最大值为＝1，解得k＝2.故选B.
3.函数f（x）＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为（　　）
A.[－6，－2] B.[－11，－2]
C.[－11，－6] D.[－11，－1]
解析：B　函数f（x）＝－x2＋4x－6＝－（x－2）2－2，x∈[0，5]，所以当x＝2时，f（x）取得最大值，为－（2－2）2－2＝－2，当x＝5时，f（x）取得最小值，为－（5－2）2－2＝－11，所以函数f（x）的值域是[－11，－2].故选B.
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x（其中销售量单位：辆）.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（　　）
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
解析：C　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售（15－x）辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2（15－x）＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，x∈N.∴当x＝9或10时，L最大为120万元.
5.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）
A.[1，＋∞） B.[0，2]
C.（－∞，2] D.[1，2]
解析：D　f（x）＝（x－1）2＋2，∵f（x）min＝2，f（x）max＝3，且f（1）＝2，f（0）＝f（2）＝3，∴1≤m≤2.
6.〔多选〕若x∈R，f（x）是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f（x）（　　）
A.最大值为2 B.最大值为1
C.最小值为－1 D.无最小值
解析：BD　在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f（x）的图象.当x＝1时，f（x）取得最大值.且f（x）max＝1，由图象知f（x）无最小值，故选B、D.
7.〔多选〕已知函数f（x）＝有最小值，则实数a的值可能为（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
解析：BCD　由题意知，当x＞0时，函数f（x）＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x＜0时，f（x）＝x2＋a＞a，因此要使f（x）有最小值，则必须有a≥4，故选B、C、D.
8.已知函数f（x）＝x－2＋4，则函数f（x）的最小值为3.
解析：f（x）＝x－2＋4＝（）2－2＋1＋3＝（－1）2＋3，∴当＝1，即x＝1时，f（x）有最小值3.
9.已知函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝1.
解析：若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a＜0，舍去；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上单调递增，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.
10.已知f（x）＝，讨论f（x）的单调性，并求f（x）在区间[2，4]上的最大值和最小值.
解：f（x）＝＝＝1＋的定义域为{x｜x≠1}，所以f（x）在（－∞，1），（1，＋∞）上单调递减.
证明： x1，x2∈（1，＋∞）且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝1＋－＝－＝＝，
因为x1，x2∈（1，＋∞）且x1＜x2，
所以x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（1，＋∞）上单调递减，
同理可证f（x）在（－∞，1）上单调递减.
因为f（x）在[2，4]上单调递减，所以f（x）max＝f（2）＝3，f（x）min＝f（4）＝.
11.用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　）
A.4 B.5
C.6 D.10
解析：C　在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.根据min{x＋2，10－x}（x≥0）的含义可知，f（x）的图象应为图中的实线部分.解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为（4，6）.所以f（x）＝其最大值为交点的纵坐标，所以f（x）的最大值为6.
12.〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2ax＋a的单调递减区间为（－∞，1]，则函数g（x）＝在区间（0，1]上一定（　　）
A.有最大值 B.有最小值
C.单调递增 D.单调递减
解析：BD　二次函数f（x）＝x2－2ax＋a图象的对称轴为直线x＝a，因为函数f（x）＝x2－2ax＋a的单调递减区间为（－∞，1]，所以a＝1.g（x）＝x＋－2，该函数在（0，1）上单调递减，所以当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递减，且有最小值，为g（1）＝0.故选B、D.
13.已知函数f（x）＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝6.
解析：易知f（x）在[a，b]上单调递减，所以即解得所以a＋b＝6.
14.设f（x）＝x2－2ax（0≤x≤1）的最大值为M（a），最小值为m（a），求M（a）及m（a）的表达式.
解：f（x）＝x2－2ax＝（x－a）2－a2，x∈[0，1].
当a≤0时，M（a）＝f（1）＝1－2a，m（a）＝f（0）＝0；　
当0＜a≤时，M（a）＝f（1）＝1－2a，m（a）＝－a2；
当＜a≤1时，M（a）＝f（0）＝0，m（a）＝－a2；
当a＞1时，M（a）＝f（0）＝0，m（a）＝f（1）＝1－2a.
综上，M（a）＝
m（a）＝
15.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）.
（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.
解：（1）当a＝2时，f（x）＝2x＋＋4，
因为f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在[1，＋∞）上有最小值f（1）＝8.
（2）在[1，＋∞）上，f（x）＝＞0恒成立，等价于2x2＋4x＋a＞0恒成立，
令g（x）＝2x2＋4x＋a＝2（x＋1）2＋a－2，则g（x）在[1，＋∞）上单调递增.
当x＝1时，有最小值6＋a.
由f（x）＞0恒成立，得6＋a＞0，故a＞－6.
故实数a的取值范围为（－6，＋∞）.
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