第二课时 函数奇偶性的应用
1.下列四个函数中是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减的是（ ）
A.f（x）＝－｜x｜ B.f（x）＝
C.f（x）＝1－x2 D.f（x）＝－
2.设函数f（x）＝若f（x）是奇函数，则g（－1）＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
3.已知函数f（x）＝为奇函数，则3a＋2b＝（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.2
4.已知函数f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A.f（3）＜f（－1）＜f（2）
B.f（3）＜f（2）＜f（－1）
C.f（－1）＜f（2）＜f（3）
D.f（2）＜f（－1）＜f（3）
5.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（1）的x的取值范围是（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（－1，1）
6.〔多选〕一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.这个函数有三个单调递增区间
B.这个函数有两个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
7.〔多选〕函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＞0时f（x）＝x2－2x－3，则下列说法正确的是（ ）
A.x＜0时f（x）＝x2＋2x＋3
B.f（0）＝－3
C.x＜0时f（x）＝－x2－2x＋3
D.f（－2）＝3
8.若二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上单调递减，且f（2）＝0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是 .
9.已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，则f（x）＝ ，g（x）＝ .
10.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b.
（1）求b的值；
（2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围.
11.若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在（0，＋∞）上有（ ）
A.最大值－ B.最大值
C.最小值－ D.最小值
12.设函数f（x）＝是奇函数，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.±1
13.设奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为 .
14.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，求关于x的不等式f（x）g（x）＜0的解集.
15.已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有＞0成立.
（1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f＜f.
2 / 2第二课时 函数奇偶性的应用
课标要求
1.会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式（逻辑推理）. 2.能利用函数的奇偶性与单调性，解决较简单的综合问题（逻辑推理、数学运算）.
知识点一｜利用函数的奇偶性求解析式
角度1 定义法求函数解析式
【例1】 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－2x＋3，求f（x）的解析式.
解：设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2－2（－x）＋3＝x2＋2x＋3，由于f（x）是奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－x2－2x－3.即当x＜0时，f（x）＝－x2－2x－3.又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0.
故f（x）＝
【规律方法】
利用函数奇偶性的定义求解析式的一般步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
（2）利用已知区间的解析式进行代入；
（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）.
提醒：注意f（x）定义域内含0时，解析式的特殊表示.
角度2 方程组法求函数解析式
【例2】 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x）、g（x）的解析式.
解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）.
由f（x）＋g（x）＝， ①
用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝，
∴f（x）－g（x）＝， ②
（①＋②）÷2，得f（x）＝.
（①－②）÷2，得g（x）＝.
【规律方法】
方程组法求函数解析式的技巧
已知函数f（x），g（x）的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解.
训练1 （1）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝1，当x＜0时，f（x）＝x＋1，求函数f（x）的解析式；
解：设x＞0，则－x＜0，
则f（－x）＝－x＋1.
又f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）＝f（－x）＝－x＋1.
又∵f（0）＝1，
综上可知f（x）＝
（2）设f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋2g（x）＝2x2＋x－2，求f（x）和g（x）的表达式.
解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），
由f（x）＋2g（x）＝2x2＋x－2， ①
用－x代替上式中的x，得
f（－x）＋2g（－x）＝2（－x）2＋（－x）－2，
即－f（x）＋2g（x）＝2x2－x－2， ②
①②联立，得f（x）＝x，g（x）＝x2－1.
知识点二｜利用函数的单调性和奇偶性比较大小
【例3】 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ）
A.f（π）＞f（－3）＞f（－2）
B.f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C.f（π）＜f（－3）＜f（－2）
D.f（π）＜f（－2）＜f（－3）
解析：A 由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则x∈（－∞，0）时，f（x）单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜＜｜－3｜＜π，∴f（π）＞f（－3）＞f（－2）.
【规律方法】
比较函数值大小的求解策略
奇函数在对称区间上单调性一致（相同）；偶函数在对称区间上单调性相反.
（1）若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
训练2 已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－0.5），f（1），f（2）的大小关系是（ ）
A.f（－0.5）＜f（2）＜f（1）
B.f（－0.5）＜f（1）＜f（2）
C.f（2）＜f（－0.5）＜f（1）
D.f（1）＜f（2）＜f（－0.5）
解析：B ∵函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，∴f（x）在R上为增函数，∴f（－0.5）＜f（1）＜f（2）.
知识点三｜利用函数的单调性和奇偶性解不等式
【例4】 已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（－1，1），且在[0，1）上单调递增.若f（a－2）＋f（3－2a）＜0，试求a的取值范围.
解：∵f（a－2）＋f（3－2a）＜0，
∴f（a－2）＜－f（3－2a）.
∵f（x）为奇函数，
∴－f（3－2a）＝f（2a－3），
∴f（a－2）＜f（2a－3）.
∵f（x）在[0，1）上单调递增，
∴f（x）在（－1，1）上为增函数，
∴解得1＜a＜2.
故实数a的取值范围为（1，2）.
【规律方法】
利用单调性和奇偶性解不等式的方法
（1）充分利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求解；
（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
训练3 已知定义在[－2，2]上的函数f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1－m）＜f（m）.
（1）若f（x）是奇函数，求m的取值范围；
解：若f（x）是奇函数，则f（x）在[－2，2]上单调递减，由f（1－m）＜f（m）得
解得m∈，故m的取值范围为.
（2）若f（x）是偶函数，求m的取值范围.
解：若f（x）是偶函数，因为f（x）在[0，2]上单调递减，故在[－2，0）上单调递增，
由f（1－m）＜f（m）得f（｜1－m｜）＜f（｜m｜），
故解得m∈，
故m的取值范围为.
1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x＋2，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A.－x－2 B.－x＋2
C.x－2 D.x＋2
解析：C ∵当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x＋2，∴f（x）＝－f（－x）＝x－2，故选C.
2.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（a）＜f（b），则一定可得（ ）
A.a＜b B.a＞b
C.｜a｜＜｜b｜ D.0≤a＜b或a＞b≥0
解析：C ∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，∴由f（a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜.
3.已知f（x）＝是奇函数，则f（g（－3））＝－33.
解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3）＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33.
4.已知函数f（x）为（－10，0）∪（0，10）上的偶函数，且当x∈（－10，0）时，f（x）＝x（x－1），则f（x）的解析式为f（x）＝.
解析：当x∈（0，10）时，－x∈（－10，0），则f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1），因为函数f（x）为定义域为（－10，0）∪（0，10）上的偶函数，故当x∈（0，10）时，f（x）＝f（－x）＝x（x＋1），故f（x）的解析式为f（x）＝
课堂小结
1.理清单 （1）利用奇偶性求函数的解析式； （2）利用奇偶性和单调性比较大小； （3）利用奇偶性和单调性解不等式. 2.应体会 转化与化归思想、数形结合思想. 3.避易错 （1）解不等式易忽视函数的定义域； （2）利用函数的奇偶性求解析式时，转化混乱导致求解错误.
1.下列四个函数中是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减的是（ ）
A.f（x）＝－｜x｜ B.f（x）＝
C.f（x）＝1－x2 D.f（x）＝－
解析：D 对于A，f（x）＝－｜x｜，x∈R，f（－x）＝－｜－x｜＝－｜x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x，在（－∞，0）上单调递增，不符合题意；对于B，f（x）＝，定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－＝－f（x），为奇函数，不符合题意；对于C，f（x）＝1－x2，x∈R，f（－x）＝1－（－x）2＝1－x2＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝1－x2，在（－∞，0）上单调递增，不符合题意；对于D，f（x）＝－，定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝，在（－∞，0）上单调递减，符合题意.故选D.
2.设函数f（x）＝若f（x）是奇函数，则g（－1）＝（ ）
A.－1 B.0
C.1 D.2
解析：C 由已知可得g（－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－（1－2）＝1.
3.已知函数f（x）＝为奇函数，则3a＋2b＝（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.2
解析：A 当x＜0时，－x＞0，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故3a＋2b＝－1.
4.已知函数f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A.f（3）＜f（－1）＜f（2）
B.f（3）＜f（2）＜f（－1）
C.f（－1）＜f（2）＜f（3）
D.f（2）＜f（－1）＜f（3）
解析：B 因为f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则f（x）在（－∞，0]上也单调递减，所以f（x）在R上为减函数，因为－1＜0＜2＜3，所以f（3）＜f（2）＜f（－1）.
5.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（1）的x的取值范围是（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（－1，1）
解析：B 首先函数定义域是R，再者根据f（2x－1）＜f（1）和偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，可得｜2x－1｜＜1，解得0＜x＜1.
6.〔多选〕一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.这个函数有三个单调递增区间
B.这个函数有两个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值－7
解析：AC 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7，0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，在其定义域内的最小值不是－7.
7.〔多选〕函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＞0时f（x）＝x2－2x－3，则下列说法正确的是（ ）
A.x＜0时f（x）＝x2＋2x＋3
B.f（0）＝－3
C.x＜0时f（x）＝－x2－2x＋3
D.f（－2）＝3
解析：CD 当x＝0时，f（0）＝0，选项B错误；函数y＝f（x）是R上的奇函数，故f（－x）＝－f（x）.当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝x2＋2x－3＝－f（x），故f（x）＝－x2－2x＋3，故C正确，A错误；又x＝－2＜0，故f（－2）＝－4＋4＋3＝3，故D正确.故选C、D.
8.若二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上单调递减，且f（2）＝0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是（－2，2）.
解析：由题意知，画出函数f（x）的草图如图所示，所以使得f（x）＜0的x的取值范围是（－2，2）.
9.已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，则f（x）＝x2－2，g（x）＝x.
解析：f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f（x）－g（x）＝x2－x－2，又f（x）＋g（x）＝x2＋x－2，两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x.
10.设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b.
（1）求b的值；
（2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实数m的取值范围.
解：（1）因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f（0）＝0，解得b＝0（经检验符合题意）.
（2）因为函数f（x）在[0，2]上单调递增，又f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上是增函数.
因为f（m）＋f（m－1）＞0，
所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m），
所以m－1＞－m， ①
又需要不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域内有意义，
所以 ②
解①②得＜m≤2，
所以m的取值范围为.
11.若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在（0，＋∞）上有（ ）
A.最大值－ B.最大值
C.最小值－ D.最小值
解析：B 法一（奇函数的图象特征） 当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝－，所以f（x）有最小值－，因为f（x）是奇函数，所以当x＞0时，f（x）有最大值.
法二（直接法） 当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－＋，所以f（x）有最大值.故选B.
12.设函数f（x）＝是奇函数，则实数a的值为（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.±1
解析：C f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－x，所以当x＜0时，－x＞0，f（x）＝－f（－x）＝－[2×（－x）2－（－x）]＝－2x2－x，所以a＝－1.
13.设奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（1）＝0，则不等式＜0的解集为 .
答案：（－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析：因为f（x）为奇函数，＜0，即＜0，因为f（x）在（0，＋∞）上单调递减且f（1）＝0，所以当x＞1时，f（x）＜0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在（－∞，0）上f（x）单调递减且f（－1）＝0，即x＜－1时，f（x）＞0.综上使＜0的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
14.已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在（－4，0]上的图象如图所示，求关于x的不等式f（x）g（x）＜0的解集.
解：设h（x）＝f（x）g（x），
则h（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x），
所以h（x）是奇函数，
由图象可知，当－4＜x＜－2时，
f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0，
当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，
所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
15.已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有＞0成立.
（1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性，并证明；
（2）解不等式：f＜f.
解：（1）f（x）在[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1].
∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝·（x1－x2）.
由已知得＞0，又x1－x2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
∴f（x）在[－1，1]上单调递增.
（2）∵f（x）在[－1，1]上单调递增，
∴∴－≤x＜－1.
故原不等式的解集为{x｜－≤x＜－1}.
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