重点解读
1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点（方程的解）的情况求参数范围（逻辑推理、数学运算）. 2.掌握一元二次方程的根的分布情况（直观想象、数学运算）.
一、根据零点情况求参数值（范围）
角度1 已知零点区间求参数范围
【例1】 函数f（x）＝2x＋log2（x－1）－的零点在区间（2，3）内，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.（4，18）
C.（8，9） D.（8，18）
解析：D 函数f（x）＝2x＋log2（x－1）－在定义域（1，＋∞）上连续且单调递增，已知函数零点在区间（2，3）内，则f（2）＜0，f（3）＞0，解得a∈（8，18）.故选D.
角度2 已知零点个数求参数
【例2】 已知函数f（x）＝a·9x＋3x－2.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的零点；
解：当a＝1时，f（x）＝9x＋3x－2＝＋3x－2＝（3x＋2）（3x－1），
令f（x）＝0，则3x－1＝0，解得x＝0，
∴f（x）有唯一零点x＝0.
（2）若函数f（x）恰好有两个零点，求实数a的取值范围.
解：令f（x）＝0，则a＝＝2×－，
令＝t，∵＞0，∴t＞0，令g（t）＝2t2－t（t＞0），
∵f（x）恰好有两个零点，∴y＝a与g（t）图象有两个不同的交点，
∵y＝g（t）＝2t2－t的对称轴为t＝－＝，开口向上，∴g（t）min＝2×－＝－，
又当t＝0时，g（0）＝0，g（t）图象如图所示，
∴当－＜a＜0时，y＝a与g（t）有两个不同的交点，即f（x）恰好有两个零点，
∴实数a的取值范围为.
【规律方法】
已知函数有零点（方程有根）求参数值（范围）的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解.
训练1 （1）已知函数f（x）＝20·3－x－x的零点x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝2；
解析：因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f（x）＝20·3－x－x为R上的减函数，又f（2）＝20·3－2－2＝－2＝＞0，f（3）＝20·3－3－3＝－3＜0，故f（x）＝20·3－x－x在（2，3）上有唯一零点，结合题意可知k＝2.
（2）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）－m，若函数g（x）有三个零点，则m的取值范围是（0，1）.
解析：由题得y＝f（x）与y＝m的图象有三个交点，作出函数y＝f（x）的图象如图所示，
当x＝e时，f（e）＝1，则m的取值范围是0＜m＜1.
二、一元二次方程根的分布问题
【例3】 已知关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0.
（1）若方程有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4，求实数m的取值范围；
解：设f（x）＝x2＋2（m－1）x＋2m＋6，
f（x）的大致图象如图1所示，
∴
解得－＜m＜－，
∴实数m的取值范围为.
（2）若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围.
解：方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，
①有两个正根，此时如图2，可得
即∴－3＜m≤－1.
②有一个正根，一个负根，此时如图3，可得f（0）＜0，得m＜－3.
③有一个正根，另一根为0，此时如图4，可得∴m＝－3.
综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为（－∞，－1].
【规律方法】
一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负情况，用根与系数的关系进行限制.
训练2 （1）已知关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则m的取值范围是（ C ）
A.m≤1 B.m≤0
C.0＜m≤1 D.0≤m≤1
解析：关于x的方程x2－2x＋m＝0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，则有解得0＜m≤1，故选C.
（2）已知二次函数y＝x2－6x＋m的两个零点都在区间[2，＋∞）内，则实数m的取值范围是（ C ）
A.（－∞，9） B.（8，9）
C.[8，9） D.（8，＋∞）
解析：设f（x）＝x2－6x＋m，因为二次函数y＝x2－6x＋m的两个零点都在区间[2，＋∞）内，所以则即故实数m的取值范围是[8，9）.故选C.
1.已知2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，且f（m）＝56，则m的值为（ ）
A.－3 B.－4
C.4 D.3
解析：C 因为2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，所以2n＝8，得n＝3，所以f（x）＝x3－8，因为f（m）＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故选C.
2.若函数f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m的取值范围为（ ）
A.0＜m＜1 B.m＞1
C.m＜0 D.m＜1
解析：D 当m＝0时，则f（x）＝1，此时f（x）无零点，符合题意；当m≠0时，令f（x）＝0，则x＝，故x＝＜0或x＝＞1，解得0＜m＜1或m＜0，综上可知f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m＜1，故选D.
3.若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，且x0∈（1，2），则a的取值范围是（ ）
A.（－2，0） B.（1，2）
C.（2，3） D.（－3，－2）
解析：D 因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，所以解得所以f（x）＝x3＋ax2＋（－1－a）x＝x（x－1）（x＋a＋1），所以x0＝－1－a，又x0∈（1，2），所以1＜－1－a＜2，解得－3＜a＜－2.
4.已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－m2有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A.（0，1） B.{－1，0，1}
C.[0，1] D.{0，1}
解析：B 由y＝f（x）－m2有两个不同的零点，即方程f（x）＝m2有两个不同的解，即函数y＝f（x）与y＝m2的图象有两个不同的交点，画出函数y＝f（x）的图象，如图所示，结合图象可得m2＝1或m2＝0，解m＝±1或m＝0，即m∈{－1，0，1}.故选B.
5.已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2的零点为α，β，那么a，b，α，β大小关系可能是（ ）
A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b
解析：A 由题意：f（x）＝（x－a）（x－b）－2的零点为α，β，则f（α）＝0，f（β）＝0，令g（x）＝（x－a）（x－b），则g（a）＝0，g（b）＝0，而f（x）＝g（x）－2，则其图象可由g（x）＝（x－a）（x－b）图象向下平移2个单位长度得到，故可作出函数f（x），g（x）的大致图象如图，由此可知a，b应介于α，β两数之间，结合选项可知可能的结果为α＜a＜b＜β，故B、C、D错误，A正确，故选A.
6.〔多选〕已知函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，a≠1），则下列说法中正确的是（ ）
A.当a＞1时，f（x）有1个零点
B.当a＞1时，f（x）有2个零点
C.当0＜a＜1时，f（x）没有零点
D.当0＜a＜1时，f（x）有1个零点
解析：BD 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图1，y＝ax与y＝x＋a有2个交点，则f（x）有2个零点；当0＜a＜1时，如图2，y＝ax与y＝x＋a有1个交点，则f（x）有1个零点.
7.〔多选〕已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（ ）
A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0
C.f（2）＜0 D.f（3）＜0
解析：CD 函数f（x）的大致图象如图所示，方程f（x）＝0一定有两实数根，故Δ＝b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，故B错误；由图可知，必有f（2）＜0，f（3）＜0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根为x1＝1＜2，x2＝6＞3，此时－＝，所以此时2＜－＜3不成立.故A错误.故选C、D.
8.已知函数f（x）＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝1，b＝2.
解析：∵函数f（x）＝3x＋x－5，∴f（1）＝31＋1－5＝－1＜0，f（2）＝32＋2－5＝6＞0，∴f（1）f（2）＜0，且函数f（x）在R上是增函数，∴f（x）的零点x0在区间[1，2]内.∴a＝1，b＝2.
9.试写出一个实数a＝1（答案不唯一），使得函数f（x）＝ax2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点.
解析：不妨取a＝1，则f（x）＝x2＋4x－1，则f（1）＝4，f（－1）＝－4，即得f（1）f（－1）＜0，又f（x）＝x2＋4x－1图象的对称轴为x＝－2，则f（x）在（－1，1）上单调递增，故f（x）＝x2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点.
10.已知函数f（x）＝若存在实数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f（x1）＝f（x2）＝f（x3）成立，则（x1＋x2）·f（x3）的取值范围是（－8，－4].
解析：由解析式可得图象如图所示，
由图象知， x1，x2，x3∈R，当x1＜x2＜x3时，有f（x1）＝f（x2）＝f（x3）成立，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）∈[2，4），且＝－1，即x1＋x2＝－2，∴（x1＋x2）·f（x3）∈（－8，－4].
11.已知函数f（x）＝x2－bx＋3.
（1）若f（0）＝f（4），求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.
解：（1）由f（0）＝f（4）得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f（x）＝x2－4x＋3，令f（x）＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f（x）的零点是1和3.
（2）因为f（x）的零点一个大于1，另一个小于1，如图.
需f（1）＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为（4，＋∞）.
12.已知函数f（x）＝2x－4x－m，x∈[－1，1].
（1）当m＝－2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围.
解：（1）当m＝－2时，f（x）＝2x－4x＋2，
令2x－4x＋2＝0，得2x＝2或2x＝－1（舍去），解得x＝1.
∴函数f（x）的零点为1.
（2）f（x）＝2x－4x－m＝0 2x－4x＝m，
令g（x）＝2x－4x，
函数f（x）有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g（x）的值域内，
设t＝2x，∵x∈[－1，1]，∴t∈，
则y＝t－t2＝－＋，
当t＝时，ymax＝，当t＝2时，ymin＝－2.
∴g（x）的值域为.
∴m的取值范围为.
13.若在定义域内存在实数x0，使f（x0＋1）＝f（x0）＋f（1）成立，则称函数有“漂移点”x0.
（1）请判断函数f（x）＝是否有漂移点？并说明理由；
（2）求证：函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点；
（3）若函数f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点，求实数a的取值范围.
解：（1）假设函数f（x）＝有“漂移点”x0，则＝＋2，
即＋x0＋1＝0，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f（x）＝没有漂移点.
（2）证明：令h（x）＝f（x＋1）－f（x）－f（1）＝（x＋1）2＋－（x2＋3x）－4＝2×3x＋2x－3，
所以h（0）＝－1，h（1）＝5.
所以h（0）h（1）＜0，又h（x）在（0，1）上连续，所以h（x）＝0在（0，1）上至少有一个实根x0，
即函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点.
（3）若f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点x0，所以lg ＝lg ＋lg a成立，即＝·a，a＞0，
整理得a＝＝，
由x0＞0，得0＜＜1，则0＜a＜1.
则实数a的取值范围是（0，1）.
1 / 7培优课 函数零点的综合问题
1.已知2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，且f（m）＝56，则m的值为（ ）
A.－3 B.－4
C.4 D.3
2.若函数f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m的取值范围为（ ）
A.0＜m＜1 B.m＞1
C.m＜0 D.m＜1
3.若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，且x0∈（1，2），则a的取值范围是（ ）
A.（－2，0） B.（1，2）
C.（2，3） D.（－3，－2）
4.已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－m2有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A.（0，1） B.{－1，0，1}
C.[0，1] D.{0，1}
5.已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2的零点为α，β，那么a，b，α，β大小关系可能是（ ）
A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b
6.〔多选〕已知函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，a≠1），则下列说法中正确的是（ ）
A.当a＞1时，f（x）有1个零点
B.当a＞1时，f（x）有2个零点
C.当0＜a＜1时，f（x）没有零点
D.当0＜a＜1时，f（x）有1个零点
7.〔多选〕已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（ ）
A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0
C.f（2）＜0 D.f（3）＜0
8.已知函数f（x）＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝ ，b＝ .
9.试写出一个实数a＝ ，使得函数f（x）＝ax2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点.
10.已知函数f（x）＝若存在实数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f（x1）＝f（x2）＝f（x3）成立，则（x1＋x2）·f（x3）的取值范围是 .
11.已知函数f（x）＝x2－bx＋3.
（1）若f（0）＝f（4），求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围.
12.已知函数f（x）＝2x－4x－m，x∈[－1，1].
（1）当m＝－2时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围.
13.若在定义域内存在实数x0，使f（x0＋1）＝f（x0）＋f（1）成立，则称函数有“漂移点”x0.
（1）请判断函数f（x）＝是否有漂移点？并说明理由；
（2）求证：函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点；
（3）若函数f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点，求实数a的取值范围.
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