培优课 指（对）数型函数的综合问题
1.函数f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（ ）
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
2.已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（ ）
A.f（x）在（0，2）上单调递增
B.f（x）在（0，2）上单调递减
C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
3.若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数：f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则是“同形函数”的是（ ）
A.f2（x）与f4（x） B.f1（x）与f3（x）
C.f1（x）与f4（x） D.f3（x）与f4（x）
4.函数f（x）＝－＋1在[－1，2]上的最小值是（ ）
A.1 B.
C. D.3
5.对于函数f（x）＝，下列描述正确的是（ ）
A.是减函数且值域为（－1，1）
B.是增函数且值域为（－1，1）
C.是减函数且值域为（－∞，1）
D.是增函数且值域为（－∞，1）
6.〔多选〕关于函数y＝log2（x2－2x＋3）有以下4个结论，其中正确的有（ ）
A.函数的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞）
B.函数的单调递增区间为[1，＋∞）
C.函数的最小值为1
D.函数的图象恒在x轴的上方
7.〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f（x）＝－，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）
A.g（x）是偶函数
B.f（x）是奇函数
C.f（x）在R上是增函数
D.g（x）的值域是{－1，0，1}
8.设函数f（x）＝－，若f（2m－1）＋f（m－2）＜0，则实数m的取值范围是 .
9.函数f（x）＝（log2x）2－log2x3＋4，x∈（1，4]的值域为 .
10.若函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，则实数m的取值范围为 .
11.已知函数f（x）＝ex－e－x（x∈R且e为自然对数的底数）.
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；
（2）是否存在实数t，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.
12.已知函数f（x）＝b·ax（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）.
（1）求f（x）的表达式；
（2）若不等式＋－m≥0在（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
13.已知函数f（x）＝lg ，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）－f＝lg x.
（1）求f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）＝lg（8x＋m）的解集为 ，求实数m的值.
2 / 2重点解读
1.会利用图象变换法作出指数型函数、对数型函数的函数图象（直观想象）. 2.掌握判断指数型函数、对数型函数单调性的方法（逻辑推理）. 3.会求解与指（对）数函数有关的恒成立问题（数学运算）.
一、指（对）数型函数图象的变换
【例1】 利用函数y＝f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象：
（1）f（x－1）；（2）f（｜x｜）；（3）f（x）－1；
（4）－f（x）；（5）｜f（x）－1｜.
解：利用指数函数y＝2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图象.如图所示.
【规律方法】
利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f（x） y＝－f（x）；
②y＝f（x） y＝f（－x）；
③y＝f（x） y＝－f（－x）；
④y＝ax（a＞0且a≠1） y＝logax（a＞0且a≠1）.
（3）翻折变换
①y＝f（x） y＝｜f（x）｜；
②y＝f（x） y＝f（｜x｜）.
训练1 下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x）
C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）
解析：B 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln（2－x）.
法二 由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A、C、D，故选B.
二、指（对）数型复合函数的单调性
【例2】 判断函数f（x）＝lo（x2－2x－3）的单调性.
解：由x2－2x－3＞0，解得x＞3或x＜－1，
所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（3，＋∞），
因为函数f（x）＝lo（x2－2x－3）可看作由y＝lou和u＝x2－2x－3复合而成，
又由于y＝lou在定义域内是减函数，
而u＝x2－2x－3在（－∞，－1）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增.
由复合函数单调性的判断法则“同增异减”可知，f（x）＝lo（x2－2x－3）在（－∞，－1）上单调递增，在（3，＋∞）上单调递减.
变式 求函数y＝（log0.4x）2－2log0.4x＋2的单调区间.
解：令t＝log0.4x，则它在（0，＋∞）上单调递减.
y＝t2－2t＋2＝（t－1）2＋1在[1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递减.
由t＝log0.4x≥1得0＜x≤0.4；由t＝log0.4x＜1得x＞0.4，
故所求函数的单调递增区间为（0.4，＋∞），单调递减区间为（0，0.4].
【规律方法】
复合函数y＝f（g（x））的单调性判断步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）将复合函数分解成两个简单函数：y＝f（u）与u＝g（x）；
（3）分别确定分解成的两个函数的单调性；
（4）若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都单调递增，或都单调递减），则复合后的函数y＝f（g（x））单调递增；若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个单调递增，而另一个单调递减），则复合后的函数y＝f（g（x））单调递减.
训练2 （1）函数y＝ 的单调递减区间为（ ）
A.（－∞，0] B.[0，＋∞）
C.（－∞，] D.[，＋∞）
解析：B 函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），故所求单调递减区间为[0，＋∞）.
（2）若函数f（x）＝lg（x2－2ax－a）在区间（－∞，－3）上单调递减，求实数a的取值范围.
解：设u（x）＝x2－2ax－a.
因为f（x）在（－∞，－3）上单调递减，
所以由复合函数的单调性法则可知，u（x）在（－∞，－3）上单调递减，且u（x）＞0在（－∞，－3）上恒成立.
又u（x）＝（x－a）2－a－a2在（－∞，a）上单调递减，所以即解得a≥－.
故实数a的取值范围为.
三、与指（对）数函数有关的恒成立问题
【例3】 已知函数f（x）＝log2是奇函数，a∈R.
（1）求a的值；
解：令＋1＞0，则＞0，x＜－a－1或x＞－a，
f（x）是奇函数，其定义域关于原点对称，－a－1－a＝0，a＝－.
（2）对任意的x∈（－∞，0），不等式f（2x＋1）＞log2（m－2x）恒成立，求实数m的取值范围.
解：f（2x＋1）＞log2（m－2x），
即log2＞log2（m－2x），
整理得m＜2x＋＋＋，
令u＝2x＋，x∈（－∞，0），所以u∈，
令g（u）＝u＋＋，易知g（u）≥，
当u＝1时取等号，所以m＜.
又由m－2x＞0，即m＞2x，故m≥1，
所以m的取值范围是.
【规律方法】
解决恒成立问题的基本思路
（1）转换成求函数最值：①m≥f（x）在x∈D上恒成立 m≥f（x）max，x∈D；②m≤f（x）在x∈D上恒成立 m≤f（x）min，x∈D.
（2）转换成函数图象问题：①若f（x）＞g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的上方；②若f（x）＜g（x）在x∈D上恒成立，则在区间D上，函数y＝f（x）的图象在函数y＝g（x）图象的下方.
训练3 已知函数f（x）＝1－.
（1）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调性的定义证明；
解：函数f（x）是增函数，任取x1，x2∈R，不妨设x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝－＝，
∵x1＜x2，∴－＜0，又＋1＞0，＋1＞0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）是R上的增函数.
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
解：函数f（x）为奇函数，证明如下：
由解析式可得f（x）＝，且定义域为R关于原点对称，
f（－x）＝＝＝－f（x），
∴函数f（x）是定义域上的奇函数.
（3）若f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
解：f（－2x2＋x）＋f（－2x2－k）＜0等价于f（－2x2＋x）＜－f（－2x2－k）＝f（2x2＋k），
∵f（x）是R上的增函数，∴－2x2＋x＜2x2＋k，即4x2－x＋k＞0恒成立，
由Δ＝1－16k＜0，解得k＞.
∴实数k的取值范围为.
1.函数f（x）＝loga[（a－1）x＋1]在定义域上（ ）
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析：A 当a＞1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是增函数，所以f（x）是增函数；当0＜a＜1时，y＝logat和t＝（a－1）x＋1都是减函数，所以f（x）是增函数.
2.已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（ ）
A.f（x）在（0，2）上单调递增
B.f（x）在（0，2）上单调递减
C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
解析：C ∵函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），∴f（2－x）＝ln（2－x）＋ln x，即f（x）＝f（2－x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称.
3.若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数：f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则是“同形函数”的是（ ）
A.f2（x）与f4（x） B.f1（x）与f3（x）
C.f1（x）与f4（x） D.f3（x）与f4（x）
解析：A 因为f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x，所以f2（x）＝log2（x＋2）的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后再沿y轴向上平移1个单位长度，得到f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A.
4.函数f（x）＝－＋1在[－1，2]上的最小值是（ ）
A.1 B.
C. D.3
解析：C 由题意，得函数f（x）＝－＋1＝－＋1，设t＝，因为x∈[－1，2]，所以t＝∈，则函数y＝t2－t＋1＝＋，当t＝时，ymin＝.
5.对于函数f（x）＝，下列描述正确的是（ ）
A.是减函数且值域为（－1，1）
B.是增函数且值域为（－1，1）
C.是减函数且值域为（－∞，1）
D.是增函数且值域为（－∞，1）
解析：B 函数f（x）＝＝1－，x∈R，因为函数y＝3x为增函数，所以y＝为减函数，所以f（x）为增函数，又3x∈（0，＋∞），所以3x＋1∈（1，＋∞），∈（0，2），所以f（x）＝1－∈（－1，1），即f（x）的值域为（－1，1）.
6.〔多选〕关于函数y＝log2（x2－2x＋3）有以下4个结论，其中正确的有（ ）
A.函数的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞）
B.函数的单调递增区间为[1，＋∞）
C.函数的最小值为1
D.函数的图象恒在x轴的上方
解析：BCD 函数y＝f（x）＝log2（x2－2x＋3）的定义域为R，故A错误；令t＝x2－2x＋3，则y＝log2t，t＝x2－2x＋3的单调递增区间为[1，＋∞），y＝log2t为增函数，故函数y＝log2（x2－2x＋3）的单调递增区间为[1，＋∞），故B正确；当x＝1时函数取最小值为1，故C正确；对于D，由C知最小值为1，而最小值1在x轴上方，故D正确.故选B、C、D.
7.〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f（x）＝－，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）
A.g（x）是偶函数
B.f（x）是奇函数
C.f（x）在R上是增函数
D.g（x）的值域是{－1，0，1}
解析：BC ∵g（1）＝[f（1）]＝＝0，g（－1）＝[f（－1）]＝＝－1，∴g（－1）≠g（1），则g（x）不是偶函数，故A错误；∵f（x）＝－的定义域为R，f（－x）＋f（x）＝＋－1＝＋－1＝－1＝0，∴f（x）为奇函数，故B正确；∵f（x）＝－＝－＝－，又y＝2x在R上是增函数，∴f（x）＝－在R上是增函数，故C正确；∵2x＞0，∴1＋2x＞1，则0＜＜1，可得－＜－＜.即－＜f（x）＜，∴g（x）＝[f（x）]∈{－1，0}，故D错误.
8.设函数f（x）＝－，若f（2m－1）＋f（m－2）＜0，则实数m的取值范围是 .
答案：（1，＋∞）
解析：∵函数的定义域为R，f（－x）＝－＝－＝－＝－＋＝－f（x），∴f（x）为奇函数，又f（x）在R上是减函数，由f（2m－1）＋f（m－2）＜0得f（2m－1）＜－f（m－2）＝f（2－m），∴2m－1＞2－m，解得m＞1.
9.函数f（x）＝（log2x）2－log2x3＋4，x∈（1，4]的值域为.
解析：令t＝log2x，则t∈（0，2]，∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈（0，2]，其对称轴方程为t＝，∴当t＝时，y有最小值为－3×＋4＝；当t＝0时，y有最大值为4，但取不到.∴f（x）的值域为.
10.若函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，则实数m的取值范围为.
解析：由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝2.由对数型函数的单调性可得函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）的单调递增区间为（2，5）.要使函数f（x）＝lo（－x2＋4x＋5）在区间（3m－2，m＋2）内单调递增，只需解得≤m＜2.
11.已知函数f（x）＝ex－e－x（x∈R且e为自然对数的底数）.
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性；
（2）是否存在实数t，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为f（x）＝ex－，且y＝ex是增函数，
y＝－是增函数，所以f（x）是增函数.
由于f（x）的定义域为R，且f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），所以f（x）是奇函数.
（2）由（1）知f（x）是增函数和奇函数，所以f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x∈R恒成立，
等价于f（x2－t2）≥f（t－x）对一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，
所以t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，即存在实数t使得≤恒成立，
所以存在实数t＝－，使不等式f（x－t）＋f（x2－t2）≥0对一切x都成立.
12.已知函数f（x）＝b·ax（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）.
（1）求f（x）的表达式；
（2）若不等式＋－m≥0在（－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）因为f（x）的图象过点A（1，6），B（3，24），
所以所以a2＝4，
又a＞0，所以a＝2，b＝3，所以f（x）＝3·2x.
（2）由（1）知a＝2，b＝3，则当x∈（－∞，1]时，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在（－∞，1]上恒成立.
又因为y＝与y＝在（－∞，1]上均为减函数，所以y＝＋在（－∞，1]上也是减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值，所以m≤，即m的取值范围是.
13.已知函数f（x）＝lg ，f（1）＝0，当x＞0时，恒有f（x）－f＝lg x.
（1）求f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）＝lg（8x＋m）的解集为 ，求实数m的值.
解：（1）当x＞0时，f（x）－f＝lg x恒成立.
即lg －lg ＝lg x恒成立，
即（a－b）x＝a－b恒成立，
所以a＝b.
又f（1）＝0，即a＋b＝2，从而a＝b＝1，
即f（x）＝lg .
（2）若原方程有解，则由lg ＝lg（8x＋m）可得＝8x＋m且＞0.
进一步等价为8x2＋（6＋m）x＋m＝0，且x＜－1或x＞0.
由于原方程的解集为 ，故有两种情况：
①方程8x2＋（6＋m）x＋m＝0无解，即Δ＜0，解得2＜m＜18.
②方程8x2＋（6＋m）x＋m＝0有解，两根均在[－1，0]内，
令g（x）＝8x2＋（6＋m）x＋m.
则
解得即0≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[0，18）.
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