章末检测（四） 指数函数与对数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若alog53＝1，则3a＋9a的值为（ ）
A.15 B.20
C.25 D.30
2.函数f（x）＝的定义域为（ ）
A.（－1，＋∞）
B.（－∞，－2）∪（－2，－1）
C.（1，＋∞）
D.（－∞，－2）∪（－2，1）
3.由表格中的数据，可以判断方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是（ ）
x 0 1 2 3 4
ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60
3x＋2 2 5 8 11 14
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
4.设a＝0.50.4，b＝log0.50.4，c＝log40.5，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
5.设函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则a＋b＝（ ）
A.6 B.5
C.4 D.3
6.设函数f（x）＝ln（2＋x）－ln（2－x），则f（x）是（ ）
A.奇函数，且在（0，2）上单调递增
B.奇函数，且在（0，2）上单调递减
C.偶函数，且在（0，2）上单调递增
D.偶函数，且在（0，2）上单调递减
7.点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系视为ΔL＝10lg（单位：dB），取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（ ）
A.18 dB B.20 dB
C.24 dB D.27 dB
8.已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）在R上为单调函数，则函数值f（2）的取值范围是（ ）
A. B.
C.[1，4） D.[2，5）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设函数y＝ln（x2－x＋1），则下列命题中正确的是（ ）
A.函数的定义域为R
B.函数是增函数
C.函数的值域为R
D.函数的图象关于直线x＝对称
10.已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x∈D，都存在y∈D，使得f（y）＝－f（x）成立，则称函数f（x）为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有（ ）
A.y＝x2 B.y＝
C.y＝2x－1 D.y＝ln（x＋1）
11.已知函数f（x）＝，则下列结论中正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1）
D. x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝ .
13.设α，β是方程lg 2x－lg x－3＝0的两根，则logαβ＋logβα＝ .
14.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）求下列各式的值：
（1）＋＋－0.52＋；
（2）（log43＋log83）（log32＋log92）－.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围.
17.（本小题满分15分）已知定义在[－1，1]上的奇函数f（x），当x∈[－1，0]时的解析式为f（x）＝－（a∈R）.
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值.
18.（本小题满分17分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳.
（1）试求p＝f（t）的函数关系式；
（2）老师在什么时间段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由.
19.（本小题满分17分）若函数f（x）在定义域内的某区间I上是严格增函数，而y＝在区间I上是严格减函数，则称函数y＝f（x）在区间I上是“弱增函数”.
（1）判断f（x）＝x·ex，g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是否是“弱增函数”（不需证明）？
（2）若h（x）＝x2＋x＋b（其中常数m∈R，b＞0）在区间（0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件；
（3）已知f（x）＝｜x－1｜＋k｜x－2｜（k是常数且k≠0），若存在区间I使得y＝f（x）在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围.
3 / 3章末检测（四） 指数函数与对数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若alog53＝1，则3a＋9a的值为（ ）
A.15 B.20
C.25 D.30
解析：D 因为alog53＝1，所以a＝＝log35，所以3a＋9a＝＋（32＝5＋25＝30.
2.函数f（x）＝的定义域为（ ）
A.（－1，＋∞）
B.（－∞，－2）∪（－2，－1）
C.（1，＋∞）
D.（－∞，－2）∪（－2，1）
解析：B 由题意可得解得x＜－1且x≠－2，所以定义域为（－∞，－2）∪（－2，－1），故选B.
3.由表格中的数据，可以判断方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是（ ）
x 0 1 2 3 4
ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60
3x＋2 2 5 8 11 14
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
解析：C 设f（x）＝ex－3x－2，由题表知，f（0），f（1），f（2）均为负值，f（3），f（4）均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为（2，3），故选C.
4.设a＝0.50.4，b＝log0.50.4，c＝log40.5，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
解析：D 因为0＜0.50.4＜0.50＝1，即0＜a＜1，又b＝log0.50.4＞log0.50.5＝1，c＝log40.5＜log41＝0，所以b＞a＞c.故选D.
5.设函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则a＋b＝（ ）
A.6 B.5
C.4 D.3
解析：C 函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，0），其反函数的图象过点（1，2），则即解得则a＋b＝4.
6.设函数f（x）＝ln（2＋x）－ln（2－x），则f（x）是（ ）
A.奇函数，且在（0，2）上单调递增
B.奇函数，且在（0，2）上单调递减
C.偶函数，且在（0，2）上单调递增
D.偶函数，且在（0，2）上单调递减
解析：A 依题意，解得－2＜x＜2，即f（x）的定义域为（－2，2），因为f（－x）＝ln（2－x）－ln（2＋x）＝－f（x），则f（x）是奇函数，又y＝ln（2＋x）在（0，2）上单调递增，y＝ln（2－x）在（0，2）上单调递减，则y＝－ln（2－x）在（0，2）上单调递增，所以f（x）在（0，2）上单调递增.
7.点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系视为ΔL＝10lg（单位：dB），取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为（ ）
A.18 dB B.20 dB
C.24 dB D.27 dB
解析：C 当r＝5时，ΔL1＝10lg，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg＝80lg 2＝80（lg 10－lg 5）≈80×（1－0.7）＝24.故选C.
8.已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1）在R上为单调函数，则函数值f（2）的取值范围是（ ）
A. B.
C.[1，4） D.[2，5）
解析：D 因为f（x）＝（x－1）2＋4a为对称轴为x＝1，开口向上的抛物线，所以当x＞1时，f（x）单调递增，当x≤1时，f（x）＝1＋loga｜x－2｜＝1＋loga（2－x），又因为f（x）在R上为单调函数，所以解得≤a＜1，所以2≤1＋4a＜5，可得2≤f（2）＜5.故选D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.设函数y＝ln（x2－x＋1），则下列命题中正确的是（ ）
A.函数的定义域为R
B.函数是增函数
C.函数的值域为R
D.函数的图象关于直线x＝对称
解析：AD 因为x2－x＋1＝（x－）2＋＞0恒成立，所以函数的定义域为R，则A正确；又函数y＝ln（x2－x＋1）在（，＋∞）上是增函数，在（－∞，）上是减函数，B错误；由x2－x＋1＝（x－）2＋≥可得y＝ln（x2－x＋1）≥ln，所以函数的值域为，C错误；函数的图象关于直线x＝对称，D正确.
10.已知函数f（x）的定义域为D，若对任意x∈D，都存在y∈D，使得f（y）＝－f（x）成立，则称函数f（x）为“M函数”.下列所给出的函数中是“M函数”的有（ ）
A.y＝x2 B.y＝
C.y＝2x－1 D.y＝ln（x＋1）
解析：BD 依题意得，若b是f（x）的值域中的数，则－b也是值域中的数，即f（x）的值域关于原点对称，选项A中函数的值域为[0，＋∞），不是“M函数”；选项B中函数的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），是“M函数”；选项C中函数的值域为（0，＋∞），不是“M函数”；选项D中函数的值域为R，是“M函数”.故选B、D.
11.已知函数f（x）＝，则下列结论中正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1）
D. x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
解析：ACD 对于选项A，f（x）＝，则f（－x）＝＝＝－f（x），则f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确；对于选项B，因为f（1）＝－，f（－1）＝≠f（1），故f（x）的图象不关于y轴对称，故B错误；对于选项C，f（x）＝＝－1＋，令1＋2x＝t，t∈（1，＋∞），则g（t）＝－1＋，易知－1＋∈（－1，1），故f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于选项D，f（x）＝＝－1＋，因为t＝1＋2x在R上为增函数，y＝－1＋在（1，＋∞）上单调递减，由复合函数单调性的判断法则可得f（x）在R上为减函数，故 x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立，故D正确.故选A、C、D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝1.
解析：由f（x）为偶函数及y＝x为奇函数，知y＝ln（x＋）为奇函数，所以ln（－x＋）＋ln（x＋）＝ln（a＋x2－x2）＝ln a＝0，解得a＝1.
13.设α，β是方程lg 2x－lg x－3＝0的两根，则logαβ＋logβα＝－.
解析：由根与系数的关系可知lg α＋lg β＝1，lg αlg β＝－3，logαβ＋logβα＝＋＝＝＝＝－.
14.已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是.
解析：画出函数f（x）的图象如图.要使函数g（x）＝f（x）－k有两个不同零点，只需y＝f（x）与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）求下列各式的值：
（1）＋＋－0.52＋；
（2）（log43＋log83）（log32＋log92）－.
解：（1）＋＋－0.52＋
＝＋＋－＋1＝（π－3）＋2＋－＋1＝π＋2.
（2）（log43＋log83）（log32＋log92）－
＝log23×log32－5＝×－5＝－.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m有两个零点，且都大于2，求实数m的取值范围.
解：函数f（x）＝x2＋（m－2）x＋5－m有两个大于2的零点，即方程x2＋（m－2）x＋5－m＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.
结合图象（图略）可知
解得－5＜m＜－4.
故实数m的取值范围是（－5，－4）.
17.（本小题满分15分）已知定义在[－1，1]上的奇函数f（x），当x∈[－1，0]时的解析式为f（x）＝－（a∈R）.
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值.
解：（1）因为f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，
所以f（0）＝0，即1－a＝0，得a＝1.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，
所以f（x）＝－f（－x）＝－（－）＝2x－4x，
即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－4x.
（2）f（x）＝2x－4x＝－＋，其中2x∈[1，2]，所以当2x＝1，即x＝0时，f（x）的最大值为0.
18.（本小题满分17分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳.
（1）试求p＝f（t）的函数关系式；
（2）老师在什么时间段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由.
解：（1）由题意知，当t∈（0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为（12，82），且曲线过点（14，81），则可得f（t）＝－（t－12）2＋82，t∈（0，14].
当t∈（14，45]时，曲线是函数y＝loga（t－5）＋83（a＞0且a≠1）图象的一部分，且曲线过点（14，81），则易得a＝，
则f（t）＝lo（t－5）＋83，t∈（14，45].
则p＝f（t）＝
（2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当t∈（0，14]时，令f（t）＝－（t－12）2＋82＞80，
解得12－2＜t≤14.
当t∈（14，45]时，令f（t）＝lo（t－5）＋83＞80，解得14＜t＜32.
综上可得，12－2＜t＜32.
故老师在（12－2，32）这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳.
19.（本小题满分17分）若函数f（x）在定义域内的某区间I上是严格增函数，而y＝在区间I上是严格减函数，则称函数y＝f（x）在区间I上是“弱增函数”.
（1）判断f（x）＝x·ex，g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是否是“弱增函数”（不需证明）？
（2）若h（x）＝x2＋x＋b（其中常数m∈R，b＞0）在区间（0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件；
（3）已知f（x）＝｜x－1｜＋k｜x－2｜（k是常数且k≠0），若存在区间I使得y＝f（x）在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围.
解：（1）由于＝ex在（0，＋∞）上是严格增函数，所以f（x）＝x·ex在区间（0，＋∞）上不是“弱增函数”；
g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是严格增函数，＝2＋在区间（0，＋∞）上是严格减函数，所以g（x）＝2x＋1在区间（0，＋∞）上是“弱增函数”.
（2）由题意可知，h（x）＝x2＋x＋b（其中常数m∈R，b＞0）满足在（0，1]上是严格增函数，
所以对称轴x＝－≤0，解得m≥，
＝x＋＋满足在（0，1]上是严格减函数，故此必为对勾函数，
所以对勾函数单调性分界点x＝≥1，b≥1，
所以综上，m≥，b≥1.
（3）由题意知，
f（x）＝
在区间（－∞，1）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足f（x）＝－（k＋1）x＋2k＋1为严格增函数，
＝－（k＋1）＋为严格减函数，即无解.
同理，在区间[1，2）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足解得＜k＜1.
在区间[2，＋∞）上，若f（x）为“弱增函数”，则必满足解得－1＜k＜－.
综上，k的取值范围为∪.
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