一、指数、对数的运算
指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，并会利用运算性质进行化简、计算和证明.
【例1】 计算：
（1）1－－－＋（－）0；
解：1－－－＋（－）0
＝1－－－＋1
＝1－－2＋－＋1＝－.
（2）log20.25＋ln＋＋lg 4＋2lg 5－.
解：log20.25＋ln＋＋lg 4＋2lg 5－＝log2＋ln ＋＋lg 4＋lg 52－＝－2＋＋81＋lg 100－2＝.
【反思感悟】
要熟练掌握指数与对数的运算法则，注意把握运算法则中式子的结构特征，同时也要注意符号与运算顺序.
二、指数、对数函数的图象及应用
掌握指数、对数函数图象的作法及简单的图象变换，会利用指数、对数函数的图象判断函数图象、函数的零点问题.
【例2】 （1）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一坐标系内的图象可能是（ A ）
解析：若0＜a＜1，则y＝logax在（0，＋∞）上单调递减，又由函数y＝（a－1）x2－x开口向下，其图象的对称轴x＝在y轴左侧，排除C、D；若a＞1，则y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，函数y＝（a－1）·x2－x图象开口向上，且对称轴x＝在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.故选A.
（2）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有两个不等实数根，则k的取值范围是（ D ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C.（1，＋∞） D.（0，1]
解析：画出函数y＝f（x）和y＝k的图象，如图所示.由图可知，当方程f（x）＝k有两个不等实数根时，实数k的取值范围是（0，1].
【反思感悟】
指数、对数函数的图象及其应用要点
（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断；
（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数、对数函数图象入手，通过平移、对称、翻折变换得到相关函数的图象；
（3）与方程根的个数有关的问题，通常不具体解方程，而是转化为判断指数、对数函数等图象的交点个数问题.
三、指数、对数函数的性质及应用（考教衔接）
掌握指数、对数函数的图象和性质，能利用指数、对数函数的性质比较大小、解方程和不等式等.以函数的性质为依托，考查函数的奇偶性和单调性，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围.
教材原题 （1）（教材P161复习参考题11题）已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1）.
①求函数f（x）＋g（x）的定义域；
②判断函数f（x）＋g（x）的奇偶性，并说明理由.
（2）（教材P161复习参考题12题）对于函数f（x）＝a－（a∈R）.
①探索函数f（x）的单调性；
②是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
变式1 已知指数型函数的奇偶性求参数
（2023·全国乙卷理4题）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
解析：D 法一 f（x）的定义域为{x｜x≠0}，因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝f（－x），即＝，即e（1－a）x－ex＝－e（a－1）x＋e－x，即e（1－a）x＋e（a－1）x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0（舍去）或a＝2，故选D.
法二 因为f（x）是偶函数，所以f（1）－f（－1）＝－＝＝0，所以a－1＝1，所以a＝2.故选D.
变式2 已知对数型函数的奇偶性求参数
（2022·全国乙卷文16题）若f（x）＝ln＋b是奇函数，则a＝－，b＝ln 2.
解析：法一 f（x）＝ln＋b＝ln＋ln eb＝ln.
∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＋f（x）＝ln＝0，
∴｜（a＋1）2e2b－a2e2bx2｜＝｜1－x2｜.当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，[（a＋1）2e2b－1]＋（1－a2e2b）x2＝0对任意的x恒成立，则解得当（a＋1）2e2b－a2e2bx2＝x2－1时，[（a＋1）2e2b＋1]－（a2e2b＋1）x2＝0对任意的x恒成立，则无解.综上，a＝－，b＝ln 2.
法二 由题意可得f（x）＋f（－x）＝2b＋ln＝0在定义域内恒成立，所以·＝＝为常数，即＝1，解得a＝－.将a＝－代入f（x）＋f（－x）＝0中，得b＝ln 2.
变式3 指（对）数型函数的单调性及其应用
（1）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.[0，＋∞）
解析：因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，－2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
解析：设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D.
（3）（2023·全国甲卷文11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ A ）
A.b＞c＞a B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
解析：函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A.
【反思感悟】
指数、对数函数由于底数的不同取值而具有不同的单调性，因此利用函数单调性比较大小、解决不等关系等问题时应特别注意底数范围对函数单调性的影响.
四、函数的零点
函数的零点主要考查零点个数及零点所在区间，主要利用转化思想把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
【例3】 （1）设函数f（x）＝log2x＋2x－3，则函数f（x）的零点所在的区间为（ B ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
解析：易知函数f（x）＝log2x＋2x－3在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝log21＋21－3＝－1＜0，f（2）＝log22＋22－3＝2＞0，所以根据函数零点存在定理可知在区间（1，2）内函数存在零点.故选B.
（2）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是（ D ）
A.（－∞，－1） B.（－∞，1）
C.（－1，0） D.[－1，0）
解析：由3x－1＝0可得x＝＞0，若函数在R上有两个零点，可转化为ex＋a＝0在x≤0上有一个实根，即y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，因为当x≤0时，ex∈（0，1]，又y＝－a与y＝ex在x≤0上有一个交点，所以0＜－a≤1，即－1≤a＜0.故选D.
【反思感悟】
转化是解决函数零点问题的基本思想，主要体现在函数的零点、方程的实数根、函数图象与x轴交点的横坐标、两函数图象交点的横坐标这四个问题间的相互转化，解决问题的过程中要注意等价转换.
五、函数模型的应用
函数模型的应用一般分为两类
（1）已知函数模型解决实际问题；
（2）根据实际生活情境抽象构建出切合实际的函数模型，并应用模型解决实际问题.
【例4】 （1）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（≈1.259）（ ）
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
解析：C 4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝1＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
（2）某个体经营者把开始6个月试销的A，B两种商品的逐月投入与所获纯利润列成下表：
投入A种商品的金额x/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利润y/万元 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.41
投入B种商品的金额x/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利润y/万元 0.25 0.51 0.74 1.00 1.26 1.49
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种各多少万元才合算，请你帮助他制定一个投资方案，使得该经营者下月可获得最大纯利润（精确到小数点后一位）.
解：通过表格所提供的数据，画出散点图，如图.
观察散点图可知，A商品所获纯利润y与投入资金x的关系可以用二次函数模型来刻画，
取（4，2）为最高点，设二次函数为y＝a（x－4）2＋2，
再把（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4）2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2.
观察散点图可知，B商品所获纯利润y与投入资金x的关系可以用一次函数模型来刻画，
设一次函数为y＝kx＋b，把（1，0.25），（4，1）代入，得解得所以y＝0.25x.将其他组数据代入验证，可知所选函数模型合适.
设下月投入的12万元中，投入到A商品m万元，则投入到B商品（12－m）万元（0≤m≤12）.
设总纯利润为W万元，则W＝－0.15（m－4）2＋2＋0.25（12－m）＝－0.15＋2.6＋0.15×，
所以当m＝时，总纯利润W取得最大值，最大纯利润为2.6＋0.15×≈4.1（万元）.
【反思感悟】
建立函数模型解决实际问题的步骤
1 / 6一、指数、对数的运算
指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，并会利用运算性质进行化简、计算和证明.
【例1】 计算：
（1）1－－－＋（－）0；
（2）log20.25＋ln＋＋lg 4＋2lg 5－.
【反思感悟】
要熟练掌握指数与对数的运算法则，注意把握运算法则中式子的结构特征，同时也要注意符号与运算顺序.
二、指数、对数函数的图象及应用
掌握指数、对数函数图象的作法及简单的图象变换，会利用指数、对数函数的图象判断函数图象、函数的零点问题.
【例2】 （1）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）与二次函数y＝（a－1）x2－x在同一坐标系内的图象可能是（ ）
（2）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有两个不等实数根，则k的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.（－∞，0）
C.（1，＋∞） D.（0，1]
【反思感悟】
指数、对数函数的图象及其应用要点
（1）已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断；
（2）进行图象识别与应用时，可从基本的指数、对数函数图象入手，通过平移、对称、翻折变换得到相关函数的图象；
（3）与方程根的个数有关的问题，通常不具体解方程，而是转化为判断指数、对数函数等图象的交点个数问题.
三、指数、对数函数的性质及应用（考教衔接）
掌握指数、对数函数的图象和性质，能利用指数、对数函数的性质比较大小、解方程和不等式等.以函数的性质为依托，考查函数的奇偶性和单调性，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等.在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围.
教材原题 （1）（教材P161复习参考题11题）已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1）.
①求函数f（x）＋g（x）的定义域；
②判断函数f（x）＋g（x）的奇偶性，并说明理由.
（2）（教材P161复习参考题12题）对于函数f（x）＝a－（a∈R）.
①探索函数f（x）的单调性；
②是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
变式1 已知指数型函数的奇偶性求参数
（2023·全国乙卷理4题）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
变式2 已知对数型函数的奇偶性求参数
（2022·全国乙卷文16题）若f（x）＝ln＋b是奇函数，则a＝ ，b＝ .
变式3 指（对）数型函数的单调性及其应用
（1）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A.（－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.[0，＋∞）
（2）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
（3）（2023·全国甲卷文11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）
A.b＞c＞a B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
【反思感悟】
指数、对数函数由于底数的不同取值而具有不同的单调性，因此利用函数单调性比较大小、解决不等关系等问题时应特别注意底数范围对函数单调性的影响.
四、函数的零点
函数的零点主要考查零点个数及零点所在区间，主要利用转化思想把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题.
【例3】 （1）设函数f（x）＝log2x＋2x－3，则函数f（x）的零点所在的区间为（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
（2）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1） B.（－∞，1）
C.（－1，0） D.[－1，0）
【反思感悟】
转化是解决函数零点问题的基本思想，主要体现在函数的零点、方程的实数根、函数图象与x轴交点的横坐标、两函数图象交点的横坐标这四个问题间的相互转化，解决问题的过程中要注意等价转换.
五、函数模型的应用
函数模型的应用一般分为两类
（1）已知函数模型解决实际问题；
（2）根据实际生活情境抽象构建出切合实际的函数模型，并应用模型解决实际问题.
【例4】 （1）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（≈1.259）（ ）
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
（2）某个体经营者把开始6个月试销的A，B两种商品的逐月投入与所获纯利润列成下表：
投入A种商品的金额x/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利润y/万元 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.41
投入B种商品的金额x/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利润y/万元 0.25 0.51 0.74 1.00 1.26 1.49
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种各多少万元才合算，请你帮助他制定一个投资方案，使得该经营者下月可获得最大纯利润（精确到小数点后一位）.
【反思感悟】
建立函数模型解决实际问题的步骤
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