4.1.1 n次方根与分数指数幂
课标要求
1.理解n次方根、根式的概念（数学抽象）.
2.能正确运用根式运算性质化简求值，会对分式和分数指数幂进行转化（逻辑推理）.
3.掌握并运用有理数指数幂的运算性质（数学运算）.
情境导入
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.这就是本节课我们要学习的根式.
知识点一｜n次方根
问题1 （1）由32＝9和（－3）2＝9我们可得到9的平方根是什么？由53＝125以及（－3）3＝－27我们可以得到125和－27的立方根分别是什么？
提示：9的平方根是3和－3，125的立方根是5，－27的立方根是－3.
（2）如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？
提示：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个.
（3）类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？
提示：比如（±2）4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；（±3）4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；（－2）5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；（±2）10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根.
【知识梳理】
1.n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根 ，其中n＞1，且n∈N*.
2.n次方根的性质
n为奇数 n为偶数
a∈R a＞0 a＝0 a＜0
x＝ x＝ ± x＝0 不存在
3.根式
式子叫做 根式 ，这里n叫做 根指数 ，a叫做 被开方数 .
4.根式的性质
（1） 负数 没有偶次方根；
（2）0的任何次方根都是0，记作＝ 0 ；
（3）（）n＝ a （n∈N*，且n＞1）；
（4）①当n为奇数时，＝ a ；
②当n为偶数时，＝｜a｜＝
【例1】 （链接教材P105例1）（1）化简：
①；
②（）2＋＋；
③＋.
解：①原式 ＝｜3－π｜＝π－3.
②由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋｜1－a｜＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
③原式＝＋
＝＋＝＋1＋－1＝2.
（2）已知－3＜x＜3，求－的值.
解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜，
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－（x－1）－（x＋3）＝－2x－2；
当1≤x＜3时，原式＝（x－1）－（x＋3）＝－4.
∴原式＝
变式 本例（2）中，若将条件“－3＜x＜3”变为“x≤－3”，其结果又是什么？
解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜.
∵x≤－3，∴x－1＜0，x＋3≤0，
∴原式＝－（x－1）＋（x＋3）＝4.
【规律方法】
1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.
2.（1）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性；
（2）（）n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.
训练1 （1）化简＋＝；
解析：＋＝＋＝｜x－y｜＋（y－x）＝
（2）当有意义时，化简－＝－1.
解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－＝（2－x）－（3－x）＝－1.
知识点二｜分数指数幂
问题2 （1）观察下列各式：
① ＝＝22＝；
② ＝＝44＝.
你认为，根式可以表示为分数指数幂吗？
提示：可以.
（2）那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a＞0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？
提示：可以.＝，＝＝，＝，＝＝.
【知识梳理】
1.分数指数幂的意义
分 数 指 数 幂 正分数指数幂 规定：＝ （a＞0，m，n∈N*，n＞1）
负分数指数幂 规定：＝ （a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 没有意义
2.有理指数幂的运算性质
（1）aras＝ （a＞0，r，s∈Q）；
（2）（ar）s＝ ars （a＞0，r，s∈Q）；
（3）（ab）r＝ arbr （a＞0，b＞0，r∈Q）.
【例2】 （链接教材P106例2、例3）对下列各式进行根式与分数指数幂的互化，并计算下列各式.
（1）3；
解：3＝＝6.
（2）；
解：＝＝＝＝.
（3）；
解：＝＝＝－.
（4）；
解：＝＝a2.
（5）（a＞0）.
解：当a＞0时，＝＝.
【规律方法】
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子；
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
训练2 （1）化简的结果是（ A ）
A. B.
C.3 D.5
解析：原式＝＝＝.
（2）（a＞0）的分数指数幂表示为（ A ）
A. B.
C. D.都不对
解析：原式＝＝＝＝.
提能点｜有理指数幂的综合运算
【例3】 （1）＝；（式中字母均是正数）
解析：原式＝＝＝＝＝a－1＝.
（2）计算：－－（π－3）0＋＝2.
解析：原式＝－－1＋2＝2.
【规律方法】
关于指数式的化简、求值问题
（1）无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；
（2）仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错.
训练3 （1）－（－2）0－＋；
解：原式＝－1－＋＝－1－＋＝.
（2）2（－3）÷（－6）（x，y＞0）.
解：原式＝[2×（－3）÷（－6）]＝x2y.
1.下列各式运算正确的是（ ）
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝2
解析：C 由于＝3，＝｜a｜，＝－2，故A、B、D错误，C正确.
2.化简（x＞0）的结果是（ ）
A.x B.x2
C.1 D.
解析：A 原式＝··＝＝x.故选A.
3.若＝（5－x），则x的取值范围是{x｜－5≤x≤5}.
解析：因为＝＝（5－x），所以所以－5≤x≤5.所以x的取值范围是{x｜－5≤x≤5}.
4.计算：0.25×－4÷20－＝－4.
解析：原式＝×16－4÷1－＝4－4－4＝－4.
课堂小结
1.理清单 （1）n次方根的概念、表示及性质； （2）根式的概念及性质； （3）分数指数幂与根式的相互转化； （4）分数指数幂的运算性质. 2.应体会 根式与分数指数幂的互化以及有理指数幂的综合运算均体现了转化与化归思想. 3.避易错 （1）对于，当n为偶数时，a≥0； （2）混淆（）n和.
1.若a＜，则化简的结果是（ ）
A.4a－1 B.1－4a
C.－ D.－
解析：B ∵a＜，∴4a－1＜0，∴＝｜4a－1｜＝－（4a－1）＝1－4a.
2.已知m10＝2，则m＝（ ）
A. B.－
C. D.±
解析：D 因为m10＝2，所以m是2的10次方根.又10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数.所以m＝±.
3.若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是（ ）
A.x＞0，y＞0 B.x＞0，y＜0
C.x≥0，y≥0 D.x＜0，y＜0
解析：B ∵＝2｜xy｜＝－2xy，∴xy≤0.又∵xy≠0，∴xy＜0.故选B.
4.已知a＞0，则＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B ＝＝＝.
5.〔多选〕若xn＝a（x≠0，n＞1，n∈N*），则下列说法中正确的是（ ）
A.当n为奇数时，x的n次方根为a
B.当n为奇数时，a的n次方根为x
C.当n为偶数时，x的n次方根为±a
D.当n为偶数时，a的n次方根为±x
解析：BD 当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B、D说法是正确的，故选B、D.
6.〔多选〕下列说法中正确的是（ ）
A.＝3
B.16的4次方根是±2
C.＝±3
D.＝｜x＋y｜
解析：BD 负数的3次方根是一个负数，＝－3，故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；＝3，故C错误；是非负数，所以＝｜x＋y｜，故D正确.
7.若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝－11或7.
解析：因为81的平方根为±9，所以a＝±9.因为－8的立方根为－2，所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7.
8.函数f（x）＝（1－x＋（2x－1）0的定义域是∪.
解析：要使f（x）有意义，则解得x＜1且x≠，所以f（x）的定义域为∪.
9.若n＜m＜0，则 －＝－2m.
解析：原式＝－＝｜m＋n｜－｜m－n｜，∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0，∴原式＝－（m＋n）－（m－n）＝－2m.
10.化简下列各式：
（1）＋；
（2）＋（x≥1）.
解：（1）＋＝｜－3｜＋｜－2｜＝3－＋－2＝1.
（2）当1≤x＜3时，＋＝｜1－x｜＋｜3－x｜＝x－1＋3－x＝2；
当x≥3时，＋＝｜1－x｜＋｜3－x｜＝x－1＋x－3＝2x－4.
所以原式＝
11.已知ab＝－5，则a＋b＝（ ）
A.2 B.0
C.－2 D.±2
解析：B 由题意知ab＜0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b＝0，故选B.
12.〔多选〕下列各式运算正确的是（ ）
A.（－a2b）2·（－ab2）3＝－a7b8
B.（－a2b3）3÷（－ab2）3＝a3b3
C.（－a3）2·（－b2）3＝a6b6
D.[－（a3）2·（－b2）3]3＝a18b18
解析：ABD 对于A，（－a2b）2·（－ab2）3＝a4b2·（－a3b6）＝－a7b8，故A正确；对于B，÷（－ab2）3＝－a6b9÷（－a3b6）＝＝a3b3，故B正确；对于C，（－a3）2·（－b2）3＝a6·（－b6）＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选A、B、D.
13.如果45x＝3，45y＝5，那么2x＋y＝1.
解析：由45x＝3，得（45x）2＝9.又45y＝5，则4×45y＝9×5＝45＝451，即4＝451，∴2x＋y＝1.
14.计算：（1）＋；
（2）＋（0.002－10（－2）－1＋（－）0；
（3）.
解：（1）原式＝＋＝（2－）＋（－）＝2－.
（2）原式＝（－1＋－＋1＝＋50－10（＋2）＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
（3）原式＝5×（－3）×××＝18x0＝18.
15.若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc.
解：设ax＝by＝cz＝k，
则k＞0，a＝，b＝，c＝，
因此abc＝＝＝k0＝1.
1 / 84.1.1 n次方根与分数指数幂
1.若a＜，则化简的结果是（ ）
A.4a－1 B.1－4a
C.－ D.－
2.已知m10＝2，则m＝（ ）
A. B.－
C. D.±
3.若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是（ ）
A.x＞0，y＞0 B.x＞0，y＜0
C.x≥0，y≥0 D.x＜0，y＜0
4.已知a＞0，则＝（ ）
A. B.
C. D.
5.〔多选〕若xn＝a（x≠0，n＞1，n∈N*），则下列说法中正确的是（ ）
A.当n为奇数时，x的n次方根为a
B.当n为奇数时，a的n次方根为x
C.当n为偶数时，x的n次方根为±a
D.当n为偶数时，a的n次方根为±x
6.〔多选〕下列说法中正确的是（ ）
A.＝3
B.16的4次方根是±2
C.＝±3
D.＝｜x＋y｜
7.若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝ .
8.函数f（x）＝（1－x＋（2x－1）0的定义域是 .
9.若n＜m＜0，则 －＝ .
10.化简下列各式：
（1）＋；
（2）＋（x≥1）.
11.已知ab＝－5，则a＋b＝（ ）
A.2 B.0
C.－2 D.±2
12.〔多选〕下列各式运算正确的是（ ）
A.（－a2b）2·（－ab2）3＝－a7b8
B.（－a2b3）3÷（－ab2）3＝a3b3
C.（－a3）2·（－b2）3＝a6b6
D.[－（a3）2·（－b2）3]3＝a18b18
13.如果45x＝3，45y＝5，那么2x＋y＝ .
14.计算：（1）＋；
（2）＋（0.002－10（－2）－1＋（－）0；
（3）.
15.若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc.
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