4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
课标要求
1.能结合教材探究了解无理数指数幂（数学抽象）.
2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
某大型国企2024年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20年，该企业每一年的生产总值是上一年的倍.据此回答下列问题.
（1）一年后，该企业的生产总值是多少？
（2）五年后，该企业的生产总值是多少？
知识点｜无理数指数幂的运算
问题 （1）阅读教材P108探究，思考是不是一个确定的实数；
提示：5是一串逐渐增大的有理数指数幂51.4，51.41，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂51.5，51.42，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.
（2）前面我们学习了有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）.能否把r，s的取值范围由有理数推广到实数？
提示：能把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算.
【知识梳理】
1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个确定的 实数 .
2.实数指数幂的运算法则
（1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）；
（2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈R）；
（3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈R）；
（4）拓展：＝ar－s（a＞0，r，s∈R）.
提醒：对于无理数指数幂aα，特别强调底数a＞0，如果a＜0，比如（－1，无法判断其值是1还是－1.
【例1】 化简下列各式：
（1）π4－π·ππ－2；（2）（；（3）×12.
解：（1）π4－π·ππ－2＝π4－π＋π－2＝π2.
（2）（＝＝π2－1＝π.
（3）×12＝×＝＝52＝25.
【规律方法】
关于无理数指数幂的运算技巧
（1）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；
（2）若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
训练1 计算下列各式的值（式中字母均是正数）：
（1）（；（2）a－π.
解：（1）原式＝（·＝26·m3＝64m3.
（2）原式＝＝a0＝1.
提能点一｜实际问题中的指数运算
【例2】 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，以此继续下去，则至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
解析：由题意，得第n次操作后溶液的浓度为，令＜，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
【规律方法】
指数运算在实际问题中的应用
在成倍数递增（递减）、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
训练2 如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次（1个分裂成2个），那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成64个.
解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64（个）.
提能点二｜实数指数幂的综合运用
【例3】 已知＋＝，求下列各式的值：
（1）a＋a－1；
解：将＋＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
（2）a2＋a－2.
解：将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，即a2＋a－2＝7.
变式 在本例条件下求a2－a－2的值.
解：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
【规律方法】
利用整体代换法求分数指数幂的和（差）
（1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键；
（2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式.
常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2 2，x＋x－1＝（±）2 2，＋＝（±）2 2.
训练3 已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，且a＞b＞0，则＝.
解析：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个根，∴∵a＞b＞0，∴＞.∵＝＝＝＝，∴＝＝.
1.·＝（ ）
A.103 B.1
C.310 D.
解析：B ·＝（2×5＝1.
2.已知am＝4，an＝3，则＝（ ）
A. B.6
C. D.2
解析：A 由题意得＝＝，所以＝＝.
3.已知＋＝5（x＞0），那么＋＝（ ）
A. B.－
C.± D.7
解析：A （＋）2＝＋＋2＝5＋2＝7.又x＞0，故＋＝.
4.式子（a，b＞0）的值为1.
解析：原式＝＝＝＝＝1.
课堂小结
1.理清单 （1）无理数指数幂的运算； （2）实际问题中的指数运算； （3）实数指数幂的综合运用. 2.应体会 在解决实数指数幂的综合运用问题时采用整体代换思想. 3.避易错 在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
1.下列运算中正确的是（ ）
A.＝ B.（－a2）5＝（－a5）2
C.（－2）0＝1 D.（－）5＝－
解析：D ＝，故A错误；（－a2）5＝－＝－a10，（－a5）2＝a10，故B错误；当a＝4时，（－2）0无意义，故C错误；（－）5＝，故D正确.
2.计算：3π×＋（＋＝（ ）
A.17 B.18
C.6 D.5
解析：B 原式＝＋＋1＝1π＋24＋1＝18.
3.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）10次，这时，报纸的厚度为（ ）
A.2.56厘米 B.5.12厘米
C.10.24厘米 D.20.48厘米
解析：C 0.01×210＝10.24（厘米）.
4.已知＋＝4，则＝（ ）
A.2 B.4 C.14 D.16
解析：C 因为＋＝4，所以（＋）2＝42，即a＋a－1＋2＝16，所以a＋a－1＝14，所以＝＝a＋a－1＝14，故选C.
5.若＋＝3，则＝（ ）
A. B. C. D.
解析：A 由题意得＝9，且a＞0，所以a＋＝7，故＝＝.
6.〔多选〕下列计算正确的是（ ）
A.＝
B.（）（－3）÷＝－9a（a＞0，b＞0）
C.＝
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
解析：BC ＝＝，故A错误；（）·（－3）÷＝－9·＝－9a，故B正确；＝＝（32＝＝，故C正确；因为x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝2，所以（x＋x－1）2＝4，则x＋x－1＝±2，故D错误.故选B、C.
7.求值：－－（π－3）0＝－2.
解析：原式＝（22－－1＝2－1－－1＝－－1＝－2.
8.化简＝1.
解析：原式＝＝＝＝1.
9.已知x－＝1，其中x＞0，则－－＝1.
解析：由x－＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝－－＝－－＝x－＝＝1.
10.（1）当x＝，y＝2－时，求（－）·（＋＋）的值；
（2）若＝－1，求的值.
解：（1）原式＝（－）[（）2＋＋（）2]＝（）3－（）3＝x2－y－1，
又∵x＝，∴x2＝2＋，
∵y＝2－，∴y－1＝1＋，
∴x2－y－1＝2＋－＝1＋.
（2）由＝－1得＝＋1，
∴＝＋－1＝2－1.
11.22k－1－22k＋1＋22k＝（ ）
A.22k B.22k－1
C.－22k－1 D.－22k＋1
解析：C 原式＝－22×＋2×＝（1－4＋2）×＝－.故选C.
12.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（ ）
A. B.10
C.20 D.100
解析：A 由题意得m＞0，∵2a＝m，5b＝m，∴2＝，5＝，∵2×5＝·＝，∴m2＝10，∴m＝.
13.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28（a＞0，且a≠1），则＝4.
解析：因为所以①×②得＝26，所以am＝22.将am＝22代入②，得22·＝28，所以an＝2－6，所以＝·an＝（am）4·an＝（22）4×2－6＝22＝4.
14.（1）已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值；
（2）已知函数f（x）＝，g（x）＝.分别计算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
解：（1）∵a＞0，b＞0，又ab＝ba，b＝8a，∴（ab＝（ba，
即a＝＝（8a＝（8a，∴＝，∴a7＝8，∴a＝.
（2）经计算知f（4）－5f（2）g（2）＝0，f（9）－5f（3）g（3）＝0，
由此猜想f（x2）－5f（x）g（x）＝0.
证明如下：f（x2）－5f（x）g（x）＝－·＝－＝0.
15.已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－1）.
证明：因为2a·3b＝6＝2×3，
所以2a－1·3b－1＝1，
所以（2a－1·3b－1）d－1＝1，
即2（a－1）（d－1）3（d－1）（b－1）＝1， ①
又2c·3d＝6，所以2c－1·3d－1＝1.
所以（2c－1·3d－1）b－1＝1，
所以2（c－1）（b－1）3（d－1）（b－1）＝1， ②
由①②知2（a－1）（d－1）＝2（c－1）（b－1），
所以（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－1）.
1 / 24.1.2 无理数指数幂及其运算性质
1.下列运算中正确的是（ ）
A.＝ B.（－a2）5＝（－a5）2
C.（－2）0＝1 D.（－）5＝－
2.计算：3π×＋（＋＝（ ）
A.17 B.18
C.6 D.5
3.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）10次，这时，报纸的厚度为（ ）
A.2.56厘米 B.5.12厘米
C.10.24厘米 D.20.48厘米
4.已知＋＝4，则＝（ ）
A.2 B.4
C.14 D.16
5.若＋＝3，则＝（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕下列计算正确的是（ ）
A.＝
B.（）（－3）÷＝－9a（a＞0，b＞0）
C.＝
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
7.求值：－－（π－3）0＝ .
8.化简＝ .
9.已知x－＝1，其中x＞0，则－－＝ .
10.（1）当x＝，y＝2－时，求（－）·（＋＋）的值；
（2）若＝－1，求的值.
11.22k－1－22k＋1＋22k＝（ ）
A.22k B.22k－1
C.－22k－1 D.－22k＋1
12.已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝（ ）
A. B.10
C.20 D.100
13.已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28（a＞0，且a≠1），则＝ .
14.（1）已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值；
（2）已知函数f（x）＝，g（x）＝.分别计算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.
15.已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：（a－1）（d－1）＝（c－1）（b－1）.
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