4.2.1 指数函数的概念
课标要求
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性（数学抽象）.
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用（数学运算、数学建模）.
情境导入
话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个月薪资的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？第24个月，他能获得多少工资？估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数.
知识点一｜指数函数的概念
问题 （1）拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间、折叠次数x与对折后的面积S（设原面积为1）之间的对应关系是什么？
提示：第x次折叠后对应的层数y＝2x（x∈N*），对折后的面积S＝（x∈N*）.
（2）上述两个函数关系式共同点是什么？
提示：两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数.
【知识梳理】
一般地，函数y＝ ax （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是 自变量 ，定义域是 R .
提醒：指数函数结构的三个特征
【例1】 （1）下列函数中是指数函数的是③ （填序号）.
①y＝2·（）x；②y＝；③y＝；
解析：①中指数式（）x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数.
（2）已知函数f（x）＝（2a－1）x是指数函数，则实数a的取值范围是∪（1，＋∞） .
解析：由题意可知解得a＞，且a≠1，所以实数a的取值范围是∪（1，＋∞）.
【规律方法】
判断一个函数是否为指数函数的方法
（1）看形式：判断其解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构特征；
（2）明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数.
训练1 （1）下列各函数中，是指数函数的为（ D ）
A.y＝x3 B.y＝（－4）x
C.y＝ D.y＝5x
解析：A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B中，自变量出现在指数上，但－4＜0，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；C中，指数是x＋1，故不是指数函数；D中，y＝5x符合指数函数的定义，故是指数函数.故选D.
（2）若y＝（a2－3a＋3）ax是指数函数，则有（ B ）
A.a＝1 B.a＝2
C.a＝3 D.a＞0且a≠1
解析：由指数函数的定义得解得a＝2.
知识点二｜求指数函数的解析式或值
【例2】 若函数f（x）＝·ax是指数函数，则f＝（ ）
A.2 B.－2
C.－2 D.2
解析：D 因为函数f（x）是指数函数，所以所以a＝8，所以f（x）＝8x，f＝＝2.
【规律方法】
1.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
2.求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
训练2 已知函数f（x）为指数函数，且f＝，则f（－2）＝.
解析：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由f＝得，＝，所以a＝3，又f（－2）＝a－2，所以f（－2）＝3－2＝.
知识点三｜指数型函数模型的实际应用
【例3】 （1）某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为（ B ）
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
解析：依题意，2＝ek，则y＝10ekt＝10×2t.∴当t＝7时，y＝10×27＝1 280.
（2）近年来，我国加大了对农业的投入，粮食连年丰收.某地区现在人均一年占有粮食360 kg，在一定时期内，如果该地区人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有粮食y kg，则y关于x的函数解析式是y＝360×（x∈N*）.
解析：设该地区现在人口数量为M，则该地区现在一年的粮食总产量为360M kg.1年后，该地区粮食总产量为360M（1＋4%）kg，人口数量为M（1＋1.2%），则人均一年占有粮食为 kg，2年后，人均一年占有粮食为 kg，…，x年后，人均一年占有粮食为 kg，即所求函数解析式为y＝360×（x∈N*）.
【规律方法】
关于函数模型y＝kax的构建与求解
（1）函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律；若0＜a＜1，则刻画指数衰减变化规律；
（2）解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题.
训练3 随着我国经济的不断发展，2021年年底某地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2028年年底该地区的农民人均年收入为（ ）
A.3 000×1.06×7元 B.3 000×1.067元
C.3 000×1.06×8元 D.3 000×1.068元
解析：B 设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3 000×1.06x，从2021到2028年共经过了7年，所以2028年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元.
1.下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A.y＝（－3）x B.y＝－3x
C.y＝3x－1 D.y＝
解析：D 根据指数函数的定义知，D正确.
2.函数y＝（a－2）ax是指数函数，则（ ）
A.a＝1 B.a＝2
C.a＝3 D.a＞0且a≠1
解析：C 由题意得解得a＝3.
3.若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝x3 B.f（x）＝2x
C.f（x）＝ D.f（x）＝
解析：B 设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），则由f（3）＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f（x）＝2x.
4.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm（ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一），再过4分钟测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间满足函数关系y＝c（c，m为常数），则c＝128，m＝.
解析：由题意得解得
课堂小结
1.理清单 （1）指数函数的定义； （2）指数增长型和指数衰减型函数模型. 2.应体会 利用待定系数法求指数函数解析式. 3.避易错 易忽视指数函数的底数a的限制条件：a＞0且a≠1.
1.下列函数是指数函数的是（ ）
A.y＝ B.y＝（－8）x C.y＝ D.y＝x2
解析：A 对于A，函数y＝中，a＝＞1，是指数函数；对于B，函数y＝（－8）x中，a＝－8＜0，不是指数函数；对于C，函数y＝＝2·2x，不是指数函数；对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数.
2.指数函数y＝f（x）的图象经过点，那么f（4）·f（2）＝（ ）
A.8 B.16 C.32 D.64
解析：D 由指数函数y＝f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f（4）·f（2）＝24·22＝64.故选D.
3.函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，则f（1）＝（ ）
A.8 B. C.4 D.2
解析：D ∵函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，∴解得a＝2.∴f（x）＝2x，∴f（1）＝2.
4.一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x（0＜x＜m）的函数，其关系式是（ ）
A.y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m）
B.y＝a（1－p%）x（0＜x＜m）
C.y＝a（p%）x（0＜x＜m）
D.y＝a－（p%）x（0＜x＜m）
解析：B ∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a（1－p%）；2年后，成本为a（1－p%）－a（1－p%）·p%＝a（1－p%）2，…，∴x年后，成本y＝a（1－p%）x（0＜x＜m）.
5.〔多选〕已知指数函数f（x）满足f＝，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）＝5x B.f（x）＝5－x
C.f（－1）＝ D.5f（1）＝f（2）
解析：ACD 设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），由题意得，＝＝，所以a＝5，所以f（x）＝5x，故A中结论正确，B中结论错误；因为f（－1）＝5－1＝，所以C中结论正确；因为5f（1）＝5×51＝25＝52＝f（2），所以D中结论正确.故选A、C、D.
6.〔多选〕设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正确的是（ ）
A.f（x＋y）＝f（x）f（y） B.f（x－y）＝
C.f＝f（x）－f（y） D.f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
解析：ABD f（x＋y）＝＝axay＝f（x）·f（y），故A中的等式正确；f（x－y）＝＝ax＝＝，故B中的等式正确；f＝＝（ax，f（x）－f（y）＝ax－ay≠（ax，故C中的等式错误；f（nx）＝anx＝（ax）n＝[f（x）]n，故D中的等式正确.
7.若指数函数f（x）的图象与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（x）＝2x，g（x）＝x2.
解析：设指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），幂函数g（x）＝xα，将（2，4）代入两个解析式得4＝a2，4＝2α，解得a＝2，α＝2，故f（x）＝2x，g（x）＝x2.
8.某钢厂的年产量由2012年的40万吨增加到2022年的50万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2032年的年产量约为63万吨（结果保留整数）.
解析：设年增长率为x，根据题意得40（1＋x）10＝50，解得（1＋x）10＝.若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2032年的年产量约为40（1＋x）20＝40×＝62.5≈63（万吨）.
9.某种细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细胞由1个分裂成4 096个需经过3小时.
解析：因为1个细胞分裂一次时变为21个细胞，分裂2次时变为2×2＝22个细胞，分裂3次时变为2×2×2＝23个细胞……所以当分裂n次时变为2n个细胞，故可得出2n＝4 096.因为212＝4 096，所以n＝12，因为细胞15分钟分裂一次，所以细胞分裂12次所需的时间为12×15＝180分钟＝3小时.故这种细胞由1个分裂成4 096个需经过3小时.
10.一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒占据内存不超过1 GB（1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
解：因为这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.
所以x分钟后的病毒所占内存为，得y＝（x∈R＋），
因为病毒所占据内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，故有≤220，解得x≤95.
所以本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟.
11.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－1）＝（ ）
A.1 B.－1
C. D.－
解析：A 因为x＞0时，f（x）＝2x－3，且函数f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－f（1）＝－（21－3）＝1.
12.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是（ ）
A.y＝0.9·m B.y＝·m
C.y＝0.9550－x·m D.y＝（1－0.0550－x）·m
解析：A 设每年减少的百分比为a，由在50年内减少了5%，得（1－a）50＝1－5%＝95%，即a＝1－（95%.所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·（1－a）x＝m·（95%＝·m.故选A.
13.已知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N，则函数y＝f（x）的一个可能的解析式为f（x）＝2×4x.
解析：由题意，得＝4，＝42，…，＝4x，∴f（x）＝2×4x.
14.已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）＝的奇偶性，并加以证明.
解：（1）由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1，
可得a＝2或a＝－3（舍去），所以f（x）＝2x.
（2）F（x）＝是奇函数.
证明如下：F（x）的定义域是R，关于原点对称，且F（x）＝f（x）－＝2x－＝2x－2－x，
又因F（－x）＝2－x－2x＝－（2x－2－x）＝－F（x），
所以F（x）是奇函数.
15.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数）.若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数），
所以解得所以y＝100（）x，
所以当x＝10时，y＝100×（）10＝64，
所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h.
1 / 74.2.1 指数函数的概念
1.下列函数是指数函数的是（ ）
A.y＝ B.y＝（－8）x
C.y＝ D.y＝x2
2.指数函数y＝f（x）的图象经过点，那么f（4）·f（2）＝（ ）
A.8 B.16
C.32 D.64
3.函数f（x）＝（2a－3）ax是指数函数，则f（1）＝（ ）
A.8 B.
C.4 D.2
4.一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x（0＜x＜m）的函数，其关系式是（ ）
A.y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m）
B.y＝a（1－p%）x（0＜x＜m）
C.y＝a（p%）x（0＜x＜m）
D.y＝a－（p%）x（0＜x＜m）
5.〔多选〕已知指数函数f（x）满足f＝，则下列结论中正确的是（ ）
A.f（x）＝5x B.f（x）＝5－x
C.f（－1）＝ D.5f（1）＝f（2）
6.〔多选〕设指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则下列等式中正确的是（ ）
A.f（x＋y）＝f（x）f（y）
B.f（x－y）＝
C.f＝f（x）－f（y）
D.f（nx）＝[f（x）]n（n∈Q）
7.若指数函数f（x）的图象与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（x）＝ ，g（x）＝ .
8.某钢厂的年产量由2012年的40万吨增加到2022年的50万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2032年的年产量约为 万吨（结果保留整数）.
9.某种细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细胞由1个分裂成4 096个需经过 小时.
10.一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒占据内存不超过1 GB（1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB）时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
11.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－1）＝（ ）
A.1 B.－1
C. D.－
12.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2010年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2010年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是（ ）
A.y＝0.9·m
B.y＝·m
C.y＝0.9550－x·m
D.y＝（1－0.0550－x）·m
13.已知函数y＝f（x），x∈R，且f（0）＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N，则函数y＝f（x）的一个可能的解析式为 .
14.已知函数f（x）＝（a2＋a－5）ax是指数函数.
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）＝的奇偶性，并加以证明.
15.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx（k，r为常数）.若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
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