第一课时 指数函数的图象和性质
课标要求
1.掌握指数函数的图象和性质（数学抽象）.
2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单函数中的求参问题（直观想象、数学运算）.
情境导入
请同学们回忆一下上一节课我们所学习的指数函数的定义和指数函数的解析式的特征.一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数的性质，今天我们类比研究幂函数的过程和方法，进一步研究指数函数的图象与性质.
知识点一｜指数函数的图象和性质
问题 （1）用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝的图象；
x －2 －1 0 1 2
y＝2x
y＝
提示：① 1 2 4 4 2 1
②y＝2x和y＝的图象如图所示.
（2）观察y＝2x与y＝的图象，分析两个函数定义域、值域、最值、奇偶性、单调性等有哪些相同点？有哪些不同点？
提示：相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝2x与y＝这两个底数互为倒数的函数图象关于y轴对称.
（3）再选取底数，a＝3，a＝4，a＝，a＝，在同一个坐标系中画出相应的指数函数y＝ax的图象，观察这些图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性？
提示：
【知识梳理】
a＞1 0＜a＜1
图象
性 质 定义域 R
值域 （0，＋∞）
最值 无最值
a＞1 0＜a＜1
性 质 过定点 过定点 （0，1） ，即x＝ 0 时，y＝ 1
函数值的变化 当x＜0时， 0＜y＜1 ； 当x＞0时， y＞1 当x＞0时， 0＜y＜1 ； 当x＜0时， y＞1
单调性 在R上是 增函数 在R上是 减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
提醒：（1）函数图象只出现在x轴上方；（2）当x＝0时，有a0＝1，故过定点（0，1）；（3）当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近y轴；（4）当a＞1时，底数越大，图象越靠近y轴.
【例1】 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c
解析：B 作直线x＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b＜a＜1＜d＜c.
【规律方法】
解决指数函数图象问题的注意点
（1）熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状；
（2）在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”.
训练1 已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）
解析：C 由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，所以排除A、B；作直线x＝1与两条曲线相交，交点在下面的函数是y＝mx的图象，故选C.
知识点二｜指数型函数的定义域和值域
【例2】 （链接教材P118习题1题）求下列函数的定义域和值域：
（1）y＝；
解：因为x满足x≠0，所以定义域为{x｜x≠0}.
因为≠0，所以y＝≠1.
所以y＝的值域为{y｜y＞0，且y≠1}.
（2）y＝；
解：要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30.
因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.
故函数y＝的定义域为（－∞，0].
因为x≤0，所以0＜3x≤1，所以0≤1－3x＜1.
所以∈[0，1），即函数y＝的值域为[0，1）.
（3）y＝.
解：要使函数式有意义，则－｜x｜≥0，
又｜x｜≥0，解得x＝0.
所以函数y＝的定义域为{x｜x＝0}.
因为x＝0，所以＝＝1，即函数y＝的值域为{y｜y＝1}.
【规律方法】
函数y＝af（x）定义域、值域的求法
（1）形如y＝af（x）的定义域就是f（x）的定义域；
（2）形如y＝af（x）的值域，应先求出f（x）的值域，再由函数的单调性求出af（x）的值域.若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论；
（3）形如y＝f（ax）的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f（u）确定出y＝f（ax）的值域.
训练2 （1）若函数f（x）＝的定义域是[1，＋∞），则a的取值范围是（1，＋∞）；
解析：∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞）时，a＞1.
（2）求函数y＝的定义域、值域.
解：函数的定义域为R.
∵y＝＝＝1－，
又∵3x＞0，∴1＋3x＞1，
∴0＜＜1，∴－1＜－＜0，
∴0＜1－＜1，
∴函数的值域为（0，1）.
提能点｜指数函数图象的应用
【例3】 （1）若函数f（x）＝2ax＋m－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），则m＋n＝（ ）
A.3 B.1
C.－1 D.－2
解析：C 由函数f（x）＝2－n（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（－1，4），得m－1＝0，2－n＝4，解得m＝1，n＝－2，∴m＋n＝－1.
（2）已知直线y＝2a与函数y＝｜2x－2｜的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.
解：函数y＝｜2x－2｜的图象如图所示.要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0＜2a＜2，即0＜a＜1，故实数a的取值范围为（0，1）.
【规律方法】
1.解决指数型函数图象过定点问题的思路：指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b（k≠0，a＞0，a≠1）的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点（－c，k＋b）.
2.利用函数的图象可解决与方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象的交点个数可确定方程f（x）＝g（x）的解的个数，观察函数y＝f（x）的图象与x轴的交点情况，可以确定不等式f（x）＞0或f（x）＜0的解集等.
训练3 （1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ D ）
A.a＞1，b＜0
B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0
D.0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f（x）为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax（0＜a＜1）的图象向左平移｜－b｜个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
（2）要使g（x）＝3x＋1＋t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为t≤－3.
解析：∵函数g（x）＝3x＋1＋t的图象过定点（0，3＋t），且为增函数，要使g（x）的图象不经过第二象限，则3＋t≤0，解得t≤－3.
1.函数y＝a｜x｜（a＞1）的图象是（ ）
解析：B 该函数是偶函数.可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折，便得到x＜0时的函数图象.
2.函数y＝的定义域是（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，0]
C.[0，＋∞） D.（0，＋∞）
解析：C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
3.函数f（x）＝a1－x＋5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）.
解析：由1－x＝0，得x＝1.又f（1）＝6.所以函数f（x）＝＋5（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，6）.
4.当x∈[－2，2）时，函数y＝3－x－1的值域为.
解析：y＝3－x－1＝－1在x∈[－2，2）上单调递减，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.∴函数的值域为.
课堂小结
1.理清单 （1）指数函数的图象：图象的画法及图象特征（a＞1或0＜a＜1）； （2）指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点； （3）函数图象的应用. 2.应体会 求指数型函数的值域、根据指数函数的图象求解参数问题均利用了数形结合思想. 3.避易错 形如函数y＝af（x）（a＞0且a≠1）过定点的问题，要使f（x）＝0.
1.函数y＝3｜x｜－2的值域是（ ）
A.R B.（－2，＋∞）
C.[－2，＋∞） D.[－1，＋∞）
解析：D 令｜x｜＝t，t≥0，则y＝3t－2，因为3t≥1，所以y≥－1.故选D.
2.函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图象大致是（ ）
解析：A 当a＞1时，函数f（x）＝ax为增函数，当x＝0时，g（0）＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A，B、C、D均不正确.
3.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x，则函数f（x）的值域为（ ）
A.（－1，1） B.[0，1）
C.R D.[0，1]
解析：A 因为f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x，所以当x＞0时，f（x）＝－3－x，所以当x＜0时，f（x）＝3x＜30＝1，即0＜f（x）＜1，当x＞0时，f（x）＝－3－x＞－＝－1，即－1＜f（x）＜0，又f（0）＝0，所以f（x）的值域为（－1，1）.故选A.
4.已知函数y＝（）x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是（ ）
A.1 B.2
C.4 D.8
解析：C 因为y＝（）x与y＝ax的图象关于y轴对称，所以＝a－1＝，解得a＝4.此时，y＝（）x与y＝4x的图象关于y轴对称.
5.若函数f（x）＝＋m－1的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A.m＜1 B.m≤1
C.0＜m＜1 D.0≤m＜1
解析：D 函数f（x）＝＋m－1的图象与x轴有公共点，即m－1＝－有实数解，由于－1≤－＜0，故－1≤m－1＜0，解得0≤m＜1.
6.〔多选〕若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：ABC ∵a＞1，且－1＜b＜0，∴函数的图象如图所示.故图象过第一、二、三象限.
7.若指数函数f（x）＝（a2－1）x在R上为减函数，则a的取值范围为（－，－1）∪（1，）.
解析：由题意得，0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，∴－＜a＜－1或1＜a＜.
8.函数y＝的定义域是[0，＋∞）.
解析：由1－≥0得≤1＝，∴x≥0，∴函数y＝的定义域为[0，＋∞）.
9.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝－.
解析：当a＞1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上单调递增，由题意得无解.当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上单调递减，由题意得解得所以a＋b＝－.
10.已知函数f（x）＝（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1.求：
（1）实数a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥0）的值域.
解：（1）因为函数f（x）＝（x≥0）的图象经过点，所以＝，解得a＝.
（2）由（1）知，f（x）＝＝2·，
因为x≥0，所以0＜≤＝1.
所以0＜2·≤2.
所以函数y＝f（x）（x≥0）的值域为（0，2].
11.已知函数f（x）＝（x－a）·（x－b）（其中a＞b）的图象如图所示，则g（x）＝ax＋b的图象是（ ）
解析：A 由图象可知0＜a＜1，b＜－1，所以函数g（x）＝ax＋b是减函数，故排除C、D，因为g（0）＝1＋b＜0，所以排除B，故选A.
12.〔多选〕如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at.则下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积不超过80 m2
D.若浮萍蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1＋t3
解析：AD 将点（1，3）的坐标代入函数y＝at的解析式，得a1＝3，函数的解析式为y＝3t.对于A，由＝2可得浮萍每月的增长率为2，A选项正确；对于B，浮萍第1个月增加的面积为31－30＝2（m2），第2个月增加的面积为32－31＝6（m2），2≠6，B选项错误；对于C，第4个月时，浮萍的面积为34＝81＞80，C选项错误；对于D，由题意可得＝2，＝4，＝8，因为42＝2×8，所以（）2＝×，即＝，所以2t2＝t1＋t3，D选项正确.故选A、D.
13.设函数f（x）＝则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是（－∞，1）.
解析：函数f（x）＝的图象如图，显然函数f（x）在R上为减函数，∵f（x＋1）＜f（2x），∴x＋1＞2x，解得x＜1.
14.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.
（1）若f（x）的图象如图1所示，求a，b的值；
（2）若f（x）的图象如图2所示，求a，b的取值范围；
（3）在（1）中，若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.
解：（1）由题图1知f（x）的图象过点（2，0），（0，－2），
所以
又因为a＞0，且a≠1，所以a＝，b＝－3.
（2）由题图2知f（x）是减函数，所以0＜a＜1，
又f（0）＜0，即a0＋b＜0，所以b＜－1.
故a的取值范围为（0，1），b的取值范围为（－∞，－1）.
（3）由（1）知f（x）＝（）x－3，则画出｜f（x）｜＝｜（）x－3｜的图象如图所示，
要使｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.
故m的取值范围为[3，＋∞）∪{0}.
15.已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的是①②⑤（填写序号）.
解析：作y＝与y＝的图象（图略）.当a＝b＝0时，＝＝1；当a＜b＜0时，可以使＝；当a＞b＞0时，也可以使＝.故①，②，⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③，④.
1 / 9第一课时 指数函数的图象和性质
1.函数y＝3｜x｜－2的值域是（ ）
A.R B.（－2，＋∞）
C.[－2，＋∞） D.[－1，＋∞）
2.函数f（x）＝ax与g（x）＝－x＋a的图象大致是（ ）
3.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x，则函数f（x）的值域为（ ）
A.（－1，1） B.[0，1）
C.R D.[0，1]
4.已知函数y＝（）x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是（ ）
A.1 B.2
C.4 D.8
5.若函数f（x）＝＋m－1的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A.m＜1 B.m≤1
C.0＜m＜1 D.0≤m＜1
6.〔多选〕若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.若指数函数f（x）＝（a2－1）x在R上为减函数，则a的取值范围为 .
8.函数y＝的定义域是 .
9.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝ .
10.已知函数f（x）＝（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1.求：
（1）实数a的值；
（2）求函数y＝f（x）（x≥0）的值域.
11.已知函数f（x）＝（x－a）·（x－b）（其中a＞b）的图象如图所示，则g（x）＝ax＋b的图象是（ ）
12.〔多选〕如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝at.则下列说法正确的是（ ）
A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积不超过80 m2
D.若浮萍蔓延到2 m2，4 m2，8 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1＋t3
13.设函数f（x）＝则满足f（x＋1）＜f（2x）的x的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，且a≠1）.
（1）若f（x）的图象如图1所示，求a，b的值；
（2）若f（x）的图象如图2所示，求a，b的取值范围；
（3）在（1）中，若｜f（x）｜＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.
15.已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的是 （填写序号）.
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