4.3.1 对数的概念
课标要求
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念（数学抽象）.
2.会进行对数式与指数式的互化（逻辑推理）.
3.会求简单的对数值（数学运算）.
情境导入
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依次类推，1个这样的细胞分裂x次得到的细胞个数N是多少？分裂多少次得到的细胞个数为8和256？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数？
知识点一｜对数的概念
问题1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此类推.
（1）1个这样的细胞分裂5次得到多少个这样的细胞？
提示：1个这样的细胞分裂5次得到25＝32个这样的细胞.
（2）1个这样的细胞分裂多少次可得到128个这样的细胞？
提示：设分裂x次，由2x＝128，得x＝7，即1个这样的细胞分裂7次可得到128个这样的细胞.
（3）你认为（1）与（2）的运算过程有何区别呢？
提示：（1）是已知底数和指数求幂，（2）是已知底数和幂求指数.
【知识梳理】
1.对数的定义
一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做 以a为底N的对数 ，记作 x＝logaN ，其中a叫做 对数的底数 ，N叫做 真数 .
提醒：logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数.
2.常用对数与自然对数
【例1】 若对数式log（t－2）3有意义，则实数t的取值范围是（ ）
A.[2，＋∞） B.（2，3）∪（3，＋∞）
C.（－∞，2） D.（2，＋∞）
解析：B 要使对数式log（t－2）3有意义，需解得t＞2，且t≠3.所以实数t的取值范围是（2，3）∪（3，＋∞）.
【规律方法】
对数式有意义的判断问题
利用式子logab 求字母的范围.
训练1 在M＝log（x－3）（x＋1）中，要使式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A.（－∞，3] B.（3，4）∪（4，＋∞）
C.（4，＋∞） D.（3，4）
解析：B 由对数的概念可得解得3＜x＜4或x＞4.
知识点二｜对数式与指数式的互相转化
问题2 （1）通过对指数的学习我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝128，则x＝－7等这些方程，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能通过指数运算求出方程的解吗？
提示：不能
（2）现在学习了对数，你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5.
【知识梳理】
对数与指数的关系：指数式与对数式的互化（其中a＞0，且a≠1）.
【例2】 （链接教材P122例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）3－2＝；
解：因为3－2＝，所以log3＝－2.
（2）＝16；
解：因为＝16，所以lo16＝－2.
（3）lo27＝－3；
解：因为lo27＝－3，所以＝27.
（4）lo64＝－6.
解：因为lo64＝－6，所以（）－6＝64.
【规律方法】
指数式与对数式互化的方法
（1）指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
（2）对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.
训练2 将下列指数式与对数式互化：
（1）log216＝4；
解：因为log216＝4，所以24＝16.
（2）lox＝6；
解：因为lox＝6，所以（）6＝x.
（3）43＝64；
解：因为43＝64，所以log464＝3.
（4）3－3＝.
解：因为＝，所以log3＝－3.
知识点三｜对数的基本性质
问题3 （1）你能把20＝1，21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？
提示：log21＝0；log22＝1；＝x.
（2）你能推出＝N（a＞0且a≠1，N＞0）这一恒等式吗？
提示：因为ax＝N（其中a＞0且a≠1，N＞0），所以x＝logaN，所以＝N成立.
【知识梳理】
1.对数的性质
（1）负数和0 没有 对数；
（2）loga1＝ 0 （a＞0，且a≠1）；
（3）logaa＝ 1 （a＞0，且a≠1）.
2.对数恒等式
（1）＝N（a＞0，且a≠1，N＞0）；
（2）logaab＝b（a＞0，且a≠1，b∈R）.
【例3】 求下列各式的值：
（1）log981；
解：设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2.
（2）log0.41；
解：设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0.
（3）ln e2；
解：设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.
（4）10lg 5；
解：10lg 5＝5.
（5）.
解：＝51×＝5×8＝40.
【规律方法】
对数式中求值的基本思想和方法
（1）基本思想：在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解；
（2）基本方法：①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题；②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
训练3 求下列各式的值：
（1）log28；
解：设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3.
（2）log9；
解：设log9＝x，则9x＝＝9－1，∴x＝－1.
∴log9＝－1.
（3）ln e；
解：ln e＝1.
（4）lg 1；
解：lg 1＝0.
（5）.
解：＝32×＝9×5＝45.
提能点｜利用对数性质求值
【例4】 求下列各式中x的值：
（1）log2（log5x）＝0；
解：∵log2（log5x）＝0，
∴log5x＝20＝1，
∴x＝51＝5.
（2）log3（lg x）＝1；
解：∵log3（lg x）＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
（3）x＝；
解：x＝＝7÷＝7÷5＝.
（4）log27x＝－；
解：由log27x＝－，得x＝3－2＝.
（5）logx16＝－4.
解：由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝＝，
又x＞0，且x≠1，∴x＝.
【规律方法】
利用对数的性质求值的方法
（1）求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1（a＞0且a≠1）进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算；
（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解.
训练4 求下列各式中x的值.
（1）lox＝－3；
解：x＝＝27.
（2）logx49＝4；
解：由x4＝49，x＞0且x≠1，得x＝.
（3）lg 0.000 01＝x；
解：由10x＝0.000 01＝10－5，得x＝－5.
（4）ln＝－x；
解：由e－x＝＝，得x＝－.
（5）log8[log7（log2x）]＝0；
解：由log8[log7（log2x）]＝0，得log7（log2x）＝1，即log2x＝7，∴x＝27.
（6）log2[log3（log2x）]＝1.
解：由log2[log3（log2x）]＝1，得log3（log2x）＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.
1.在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，2）∪（5，＋∞） B.（2，5）
C.（2，3）∪（3，5） D.（3，4）
解析：C 由对数的定义知解得2＜a＜3或3＜a＜5.
2.已知logx16＝2，则x＝（ ）
A.4 B.±4
C.256 D.2
解析：A 由logx16＝2，得x2＝16.又x＞0，∴x＝4.
3.〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（ ）
A.e0＝1与ln 1＝0
B.log39＝2与＝3
C.＝与log8＝－
D.log77＝1与71＝7
解析：ACD 对于A，e0＝1可化为0＝loge1＝ln 1，所以A正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，所以B不正确；对于C，＝可化为log8＝－，所以C正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，所以D正确.故选A、C、D.
4.计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝ .
答案：0
解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.
课堂小结
1.理清单 （1）对数的概念； （2）自然对数、常用对数； （3）指数式与对数式的互化； （4）对数的性质. 2.应体会 利用指数式与对数式的互化解决问题，体现了转化与化归思想. 3.避易错 易忽视对数式中底数与真数的范围.
1.使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为（ ）
A.a＞且a≠1 B.0＜a＜
C.a＞0且a≠1 D.a＜
解析：B 由对数的概念可知使对数loga（－2a＋1）有意义的a需满足解得0＜a＜.
2.若logx＝z，则x，y，z之间满足（ ）
A.y7＝xz B.y＝
C.y＝7xz D.y＝
解析：B 由题意得＝xz，∴y＝（xz）7＝.
3.方程lg（x2－1）＝lg（2x＋2）的根为（ ）
A.－3 B.3
C.－1或3 D.1或－3
解析：B 由lg（x2－1）＝lg（2x＋2），得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1不合题意，所以原方程的根为x＝3.故选B.
4.若log32＝x，则3x＋9x＝（ ）
A.6 B.3
C. D.
解析：A 由log32＝x得3x＝2，因此9x＝（3x）2＝4，所以3x＋9x＝2＋4＝6，故选A.
5.已知log7[log3（log2x）]＝0，那么＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 由条件，知log3（log2x）＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以＝＝＝＝.故选C.
6.〔多选〕下列各式中正确的有（ ）
A.lg（lg 10）＝0
B.lg（ln e）＝0
C.若10＝lg x，则x＝100
D.若log25x＝，则x＝±5
解析：AB 对于A，因为lg 10＝1，lg 1＝0，所以lg（lg 10）＝lg 1＝0，故A正确；对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg（ln e）＝lg 1＝0，故B正确；对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；对于D，因为log25x＝，所以2＝x，所以x＝5，故D错误.故选A、B.
7.若log3＝1，则x＝6；若log3（2x－1）＝0，则x＝1.
解析：若log3＝1，则＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3（2x－1）＝0，则2x－1＝1，即x＝1.
8.计算：（1）＝5；（2）＝.
解析：（1）＝（32＝＝5.
（2）＝＝.
9.－＋lg ＋（－1＝－3.
解析：原式＝－＋lg 10－2＋（－1）0＝－－2＋1＝－3.
10.求下列各式中的x的值：
（1）logx27＝；（2）log2x＝－；
（3）x＝log27；（4）设a＝log32，x＝.
解：（1）由logx27＝，得＝27，∴x＝2＝32＝9.
（2）由log2x＝－，得＝x，
∴x＝＝.
（3）由x＝log27，得27x＝，
即＝3－2，则3x＝－2，
∴x＝－.
（4）∵a＝log32，∴3a＝2，
∴x＝＝＝＝＝.
11.〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（ ）
A.a0＝1与loga1＝0（a＞0且a≠1）
B.lo3＝2与（）2＝3
C.2＝与lo27＝－3
D.log2＝与＝
解析：ABD 2＝化为对数式为log27＝－，故C错误，A、B、D正确.
12.若lox＝m，loy＝m＋2，则＝16.
解析：∵lox＝m，∴＝x，x2＝.∵loy＝m＋2，∴＝y，y＝.∴＝＝＝＝16.
13.若a＞0，＝，则loa＝3.
解析：因为＝，a＞0，所以a＝＝，设loa＝x，所以＝a，所以x＝3.
14.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，若log16（a＋b－c）＝，log5（2a＋b－c）＝1，求a，b，c的值.
解：因为log16（a＋b－c）＝，
所以a＋b－c＝2， ①
因为log5（2a＋b－c）＝1，
所以2a＋b－c＝5， ②
由②－①得a＝3，
将a＝3代入①得c－b＝1，
又因为a2＋b2＝c2，所以b＝4，c＝5.
综上，a＝3，b＝4，c＝5.
15.若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b），求＋的值.
解：设2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b）＝k，
则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，
所以＋＝＝＝22×33＝108.
1 / 94.3.1 对数的概念
1.使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为（ ）
A.a＞且a≠1 B.0＜a＜
C.a＞0且a≠1 D.a＜
2.若logx＝z，则x，y，z之间满足（ ）
A.y7＝xz B.y＝
C.y＝7xz D.y＝
3.方程lg（x2－1）＝lg（2x＋2）的根为（ ）
A.－3 B.3
C.－1或3 D.1或－3
4.若log32＝x，则3x＋9x＝（ ）
A.6 B.3
C. D.
5.已知log7[log3（log2x）]＝0，那么＝（ ）
A. B.
C. D.
6.〔多选〕下列各式中正确的有（ ）
A.lg（lg 10）＝0
B.lg（ln e）＝0
C.若10＝lg x，则x＝100
D.若log25x＝，则x＝±5
7.若log3＝1，则x＝ ；若log3（2x－1）＝0，则x＝ .
8.计算：（1）＝ ；
（2）＝ .
9.－＋lg ＋（－1＝ .
10.求下列各式中的x的值：
（1）logx27＝；
（2）log2x＝－；
（3）x＝log27；
（4）设a＝log32，x＝.
11.〔多选〕下列指数式与对数式互化正确的有（ ）
A.a0＝1与loga1＝0（a＞0且a≠1）
B.lo3＝2与（）2＝3
C.2＝与lo27＝－3
D.log2＝与＝
12.若lox＝m，loy＝m＋2，则＝ .
13.若a＞0，＝，则loa＝ .
14.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2，若log16（a＋b－c）＝，log5（2a＋b－c）＝1，求a，b，c的值.
15.若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b），求＋的值.
2 / 2
