4.3.2 对数的运算
课标要求
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件（逻辑推理）.
2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值（数学运算）.
3.掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
对数是指数的另一种表达形式.对数运算是指数运算的逆运算，我们已经知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数运算的性质？
知识点一｜对数的运算性质
问题1 （1）将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，可得p＝logaM，q＝logaN①；结合指数运算性质可得MN＝apaq＝ap＋q，即MN＝ap＋q， 将其化为对数式可得p＋q＝loga（MN）②.结合上述两个转化的结果①②，你能得到什么结论（用一个等式表示）？
提示：loga（MN）＝logaM＋logaN（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）.
（2）结合（1）的结论，若＝＝ap－q，又能得到什么结论？
提示：将指数式＝ap－q化为对数式，得
loga＝p－q＝logaM－logaN（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）.
（3）结合（1）的结论，若Mn＝（ap）n＝anp（n∈R），又能有何结果？
提示：由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM（n∈R）.
【知识梳理】
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
（1）loga（MN）＝ logaM＋logaN ；
（2）loga＝ logaM－logaN ；
（3）logaMn＝ nlogaM （n∈R）.
提醒：（1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[（－2）·（－3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性质（1）可以推广为：loga（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N*.
【例1】 （链接教材P124例3）求下列各式的值：
（1）log2（49×26）；
解：原式＝log249＋log226＝9log24＋6log22＝9×2＋6×1＝24.
（2）lg ；
解：原式＝lg 1 00＝lg 1 000＝×3＝.
（3）log535－2log5＋log57－log5；
解：原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－（log59－log55）＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
（4）lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
解：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝2lg 10＋（lg 5＋lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
【规律方法】
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.
训练1 计算下列各式的值：
（1）lg ；
解：原式＝lg ＝lg 1－lg 104＝－4.
（2）log345－log35；
解：原式＝log3＝log39＝log332＝2.
（3）4lg 2＋3lg 5－lg ；
解：原式＝lg ＝lg（24×54）＝lg（2×5）4＝4.
（4）.
解：原式＝＝＝.
知识点二｜换底公式
问题2 （1）前面我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如log48，log93等式子的化简求值问题还不能直接求解，你能用已学知识寻找到解决该问题的思路吗？
提示：设log48＝x，故有4x＝8，即＝23，故x＝，而log28＝3，log24＝2，于是我们大胆猜测log48＝，同样log93＝ .
（2）是否对任意的logab都可以表示成logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）？说出你的理由.
提示：依据当a＞0，且a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出.令＝x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax，∴x＝logab，∴logab＝.
【知识梳理】
1.换底公式
logab＝ （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）.
2.几个常用推论
（1）lobn＝logab（a＞0，a≠1；b＞0；n≠0）；
（2）lobn＝logab（a＞0，a≠1；b＞0；m≠0；n∈R）；
（3）logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）.
提醒：（1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；（2）在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝；（3）公式logab＝中的c可为c＞0且c≠1的任意数.
【例2】 （1）计算：（log43＋log83）（log32＋log92）；
解：原式＝＝＝×＝.
（2）已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解：法一 ∵log189＝a，18b＝5，
∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝＝.
法二 ∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝＝.
变式 若本例（2）条件不变，求log915（用a，b表示）.
解：因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log915＝＝＝＝＝＝＝＝.
【规律方法】
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
训练2 （1）log29·log34＝4 ；
解析：由换底公式可得，log29·log34＝·＝·＝4.
（2）计算：＝－.
解析：原式＝×＝lo×lo9＝×＝×＝－.
知识点三｜实际问题中的对数运算
【例3】 分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区.
（1）试列出分贝y与声压P的函数关系式；
解：由已知得y＝20lg （其中P0＝2×10－5）.
（2）某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
解：当P＝0.002 时，y＝20lg ＝20lg 102＝40（分贝）.
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良.
【规律方法】
对数运算在实际问题中应用的两种常见类型
（1）在实际问题中量与量之间直接存在对数关系，求解时先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算；
（2）在实际问题中量与量之间存在指数幂的关系，求解时可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
训练3 标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接近的是（lg 3≈0.477）（ ）
A.10－37 B.10－36
C.10－35 D.10－34
解析：B 根据题意，对取常用对数得lg ＝lg 3361－lg 10 00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则≈10－35.8，选项B中的10－36与其最接近.
提能点｜对数运算性质的综合运用
【例4】 已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝4，b＝2.
解析：对ab＝ba两边取对数，得logaab＝logaba，得b＝alogab，即logab＝，同理可得a＝blogba，即logba＝，代入logab＋logba＝，可得＋＝.因为a＞b＞1，所以解得＝2.将a＝2b代入ab＝ba，得（2b）b＝b2b，解得b＝2，所以a＝4.
【规律方法】
对数运算性质及换底公式的综合运用
（1）在对数式、指数式共存的条件下，一般对指数式等式两边同时取对数，再灵活运用对数性质及运算性质，注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化；
（2）对于连等式可令其等于k（k＞0），然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
训练4 （1）已知2x＝12，log2＝y，则x＋y＝2；
解析：因为2x＝12，所以x＝log212，又因为y＝log2，所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.
（2）设常数a＞1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最大值为，则x的值为.
解析：实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，化为logax＋＋＝－3.令logax＝t，则原式化为logay＝－＋.∵a＞1，∴当t＝－时，y取得最大值，∴loga＝，解得a＝4，∴log4x＝－，∴x＝＝.
1.log6432＝（ ）
A. B.2
C. D.
解析：C log6432＝＝＝＝.
2.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B log36＝＝＝.
3.计算2log63＋log64＝2.
解析：2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
4.若lg x＋lg y＝2lg（x－2y），则＝4.
解析：因为lg x＋lg y＝2lg（x－2y），所以xy＝（x－2y）2，即x2－5xy＋4y2＝0.所以（x－y）（x－4y）＝0，解得x＝y或x＝4y，所以＝1或＝4.由已知等式知，x＞0，y＞0，x－2y＞0，而在此条件下，当＝1时，x－2y＜0，此时lg（x－2y）无意义，所以＝1不符合题意，应舍去；当＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以＝4.
课堂小结
1.理清单 （1）对数的运算性质； （2）换底公式； （3）对数的实际应用； （4）对数运算性质的综合运用. 2.应体会 对数运算性质的运用体现了转化与化归思想. 3.避易错 （1）要注意对数的运算性质的结构形式，不可自创运算法则； （2）要注意对数的换底公式的结构形式.
1.若lg a－2lg 2＝1，则a＝（ ）
A.4 B.10 C.20 D.40
解析：D ∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1，∴＝10，∴a＝40.故选D.
2.若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝（ ）
A.3t B.t
C.t D.
解析：A lg－lg＝3lg －3lg ＝3lg＝3（lg x－lg y）＝3t.
3.计算（log312－2log32）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
解析：B log64＋log63＝log6＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，则原式＝1.
4.＋＝（ ）
A.lg 3 B.－lg 3
C. D.－
解析：C 原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo＝log310＝.
5.某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：C 设至少需要过滤n次，则2%×≤0.1%，即≤.所以nlg ≤lg ，即n（lg 2－lg 3）≤－lg 20，即n≥＝≈7.4.又n∈N，所以n≥8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求，故选C.
6.〔多选〕设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.logab·logcb＝logca B.logab·logca＝logcb
C.2lg a＋2lg b＝2lg ab D.2lg ab＝2lg a·2lg b
解析：BD log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；
故D正确，C错误.
7.设alog34＝2，则4－a＝.
解析：因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，则＝＝.
8.已知m＞0且10x＝lg（10m）＋lg ，则x＝0.
解析：lg（10m）＋lg ＝lg 10＋lg m＋lg ＝1，所以10x＝1＝100，所以x＝0.
9.若a＝log23，b＝log32，则a·b＝1，lg a＋lg b＝0.
解析：因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝·＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.
10.计算下列各式的值：
（1）log535＋2lo－log5－log514；
（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
解：（1）原式＝log535＋log550－log514＋2lo＝log5＋lo2＝log553－1＝2.
（2）法一 原式＝（log253＋＋）·＝
＝log25·3log52＝13log25·＝13.
法二 原式＝·
＝·
＝·＝13.
11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B 由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝（lg a－lg b）2＝（lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
12.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2＋log2＝1.
解析：原式＝log2＋log2＝log2（·）＝log2＝log2＝log2＝log22＝1.
13.解下列方程：
（1）lg x＋2log10xx＝2；
（2）＝（a＞0且a≠1）.
解：（1）方程中的x应满足x＞0且x≠，
原方程可化为lg x＋＝2，所以（lg x）2＋lg x－2＝0.
令t＝lg x，则t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2，
即lg x＝1或lg x＝－2.所以x＝10或x＝.
经检验，x＝10，x＝都是原方程的解.
（2）两边取对数得，（logax）2＝2logax－1，即（logax）2－2logax＋1＝0，
所以logax＝1，解得x＝a.
14.20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算这次地震的震级；（精确到0.1，其中lg 2≈0.301）
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中102.6≈398.1）.
解：（1）M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
（2）由M＝lg A－lg A0可得M＝lg ，则＝10M，即A＝A0·10M.
当M＝7.6时，最大振幅A1＝A0·107.6，
当M＝5时，最大振幅A2＝A0·105，
所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398.
因此，7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.
15.〔多选〕已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是（ ）
A.ab＞4 B.a＋b＞4
C.a2＋b2＜4 D.（a＋1）2＋（b＋1）2＞16
解析：ABD 因为3a＝5b＝15，所以a≠b，a＝log315，b＝log515，所以log153＝，log155＝，所以＋＝1.由≤≤≤，可得ab＞4，a＋b＞4，a2＋b2＞8，所以（a＋1）2＋（b＋1）2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1＞18＞16.故选A、B、D.
1 / 24.3.2 对数的运算
1.若lg a－2lg 2＝1，则a＝（ ）
A.4 B.10
C.20 D.40
2.若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝（ ）
A.3t B.t
C.t D.
3.计算（log312－2log32）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
4.＋＝（ ）
A.lg 3 B.－lg 3
C. D.－
5.某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
6.〔多选〕设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.logab·logcb＝logca
B.logab·logca＝logcb
C.2lg a＋2lg b＝2lg ab
D.2lg ab＝2lg a·2lg b
7.设alog34＝2，则4－a＝ .
8.已知m＞0且10x＝lg（10m）＋lg ，则x＝ .
9.若a＝log23，b＝log32，则a·b＝ ，lg a＋lg b＝ .
10.计算下列各式的值：
（1）log535＋2lo－log5－log514；
（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2＋log2＝ .
13.解下列方程：
（1）lg x＋2log10xx＝2；
（2）＝（a＞0且a≠1）.
14.20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算这次地震的震级；（精确到0.1，其中lg 2≈0.301）
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中102.6≈398.1）.
15.〔多选〕已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是（ ）
A.ab＞4
B.a＋b＞4
C.a2＋b2＜4
D.（a＋1）2＋（b＋1）2＞16
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