4.4.1 对数函数的概念
课标要求
1.理解对数函数的概念（数学抽象）.
2.会求与对数函数有关的定义域问题（数学运算）.
3.了解对数函数在实际生产中的简单应用（数学建模）.
情境导入
已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是关于y的函数吗？
如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？
知识点一｜对数函数的概念
问题 （1）将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间（0，＋∞）内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？
提示：x＝log2y；任意y∈（0，＋∞），都有唯一的x对应.
（2）x能否看作关于y的函数？
提示：x能看作关于y的函数.
【知识梳理】
一般地，函数y＝ logax（a＞0，且a≠1） 叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是 （0，＋∞） .
提醒：在对数函数的定义表达式y＝logax（a＞0，且a≠1）中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.
【例1】 （1）〔多选〕下列函数中为对数函数的是（ CD ）
A.y＝lo（－x）
B.y＝2log4（x－1）
C.y＝ln x
D.y＝lox（a是常数）
解析：对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，真数是x－1，不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋＞1，真数是x，故D是对数函数.
（2）已知对数函数f（x）的图象过点P（8，3），则f＝－5.
解析：设对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），∵f（x）的图象过点P（8，3），∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f（x）＝log2x，∴f＝log2＝log22－5＝－5.
【规律方法】
判断一个函数是对数函数的依据
训练1 （1）若函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，则a＝4；
解析：因为函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，所以 解得a＝4.
（2）已知函数f（x）是对数函数，且f＝－，则f（2）＝.
解析：设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f＝－，所以a＝2，f（x）＝log2x，所以f（2）＝.
知识点二｜对数型函数的定义域
【例2】 （链接教材P130例1）求下列函数的定义域：
（1）y＝；
解：要使函数式有意义，
需解得x＞1，且x≠2.
故函数y＝的定义域是{x｜x＞1，且x≠2}.
（2）y＝.
解：要使函数式有意义，需即解得x≥4.
故函数y＝的定义域是{x｜x≥4}.
【规律方法】
求函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
训练2 求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝lg（x－2）＋；
解：要使函数有意义，需满足解得x＞2，且x≠3.
所以所求函数的定义域为（2，3）∪（3，＋∞）.
（2）f（x）＝log（x＋2）.
解：要使函数有意义，则得
所以所求函数的定义域为（－2，－1）∪.
知识点三｜对数型函数的实际应用
【例3】 某化工厂生产一种溶液，初时含杂质为1，每过滤一次可使杂质含量减少，设过滤y次后杂质含量为x.
（1）求y关于x的函数解析式；
解：由题意得x＝，y∈[0，＋∞），
即x＝，x∈（0，1].
所以可得y＝lox，x∈（0，1].
（2）要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过，则至少应过滤多少次？（lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解：令x＝，则y＝lo＝≈≈10.4.
所以至少应过滤11次才能使产品达到市场要求.
【规律方法】
利用对数函数模型解决应用问题
（1）列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
（2）利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
（3）代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算.
训练3 某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系式为y＝alog2（x＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为（ ）
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析：A 由题意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.
1.已知对数函数的图象过点M（9，－2），则此对数函数的解析式为（ ）
A.y＝log2x B.y＝log3x
C.y＝lox D.y＝lox
解析：C 设函数f（x）＝logax（x＞0，a＞0且a≠1），∵对数函数的图象过点M（9，－2），∴－2＝loga9，∴a－2＝9，a＞0，解得a＝.∴此对数函数的解析式为y＝lox.故选C.
2.已知函数y＝f（x）为对数函数，f＝－2，则f（）＝（ ）
A.2 B. C. D.
解析：D 设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），则loga＝－2，∴＝，即a＝，∴f（x）＝lox，∴f（）＝lo＝log2（）2＝log2＝.故选D.
3.若函数f（x）＝（a2＋a－5）logax为对数函数，则f＝－3.
解析：由a2＋a－5＝1，解得a＝2或a＝－3，又因a＞0，所以a＝2，所以f（x）＝log2x，f＝log2＝－3.
4.函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域为{x｜1＜x＜3，且x≠2}.
解析：要使函数式有意义，需解得1＜x＜3，且x≠2.
故函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域是{x｜1＜x＜3，且x≠2}.
课堂小结
1.理清单 （1）对数函数的概念和定义域； （2）对数函数模型的简单应用. 2.应体会 利用待定系数法求对数函数的解析式；求对数型函数的定义域问题通常转化为不等式的解集问题，体现了转化与化归思想. 3.避易错 易忽视对数函数底数有限制条件.
1.函数f（x）＝lg（x－1）＋的定义域为 （ ）
A.（1，4] B.（1，4） C.[1，4] D.[1，4）
解析：A 由题意得所以1＜x≤4.
2.若函数f（x）＝loga（x＋1）（a＞0，a≠1）的图象过点（7，3），则a＝（ ）
A. B.2 C. D.
解析：B 由题意得3＝loga（7＋1），可得a3＝8，则a＝2.故选B.
3.下列函数为同一个函数的是（ ）
A.y＝log3x2与y＝2log3x
B.y＝lg 10x与y＝10lg x
C.y＝log3x2与y＝2log3｜x｜
D.y＝lg x与y＝ln x
解析：C 由函数的三要素可知，只有C成立.
4.设函数f（x）＝则f（f（10））＝（ ）
A.lg 101 B.1
C.2 D.0
解析：C f（f（10））＝f（lg 10）＝f（1）＝12＋1＝2.
5.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为（参考数据：100.2≈1.58）（ ）
A.1 559 B.3 943
C.1 579 D.2 512
解析：C 由题意得≈60%，则≈1.6，1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，∴λ≈1 579.
6.〔多选〕函数y＝log（a－2）[（5－a）x]的定义域为{x｜x＞0}，则实数a的值可能是（ ）
A. B.3
C.4 D.5
解析：AC 由题意可知，即因此2＜a＜5且a≠3.故选A、C.
7.函数f（x）＝（m－1）logax（a＞0，且a≠1）是对数函数，且过点（4，2），则f（m）＝1.
解析：由题意m＝2.又2＝loga4，故a＝2，因此f（x）＝log2x.所以f（m）＝f（2）＝log22＝1.
8.设f（x）是对数函数，且f（）＝－，那么f（）＝－.
解析：设f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.由f（）＝－，解得a＝，∴f（x）＝lox.∴f（）＝lo＝－.
9.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为128万元.
解析：由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128.
10.设函数f（x）＝lg ，a∈R，若当x∈（－∞，1）时，f（x）都有意义，求实数a的取值范围.
解：f（x）＝lg ＝lg（4x＋2x＋a），
依题意，4x＋2x＋a＞0在x∈（－∞，1）上恒成立，
即a＞－（4x＋2x）对任意x∈（－∞，1）都成立，
令t＝2x，x∈（－∞，1），则t∈（0，2），
易知y＝－t2－t＝－＋在（0，2）上单调递减，
∴－t2－t∈（－6，0），∴a≥0.
11.设函数f（u）＝log2u的定义域为（0，1），则函数f（ex）的定义域为（ ）
A.（0，1） B.（－1，0）
C.（0，＋∞） D.（－∞，0）
解析：D 函数f（u）的定义域为（0，1），即u∈（0，1），所以0＜ex＜1，解得x∈（－∞，0），故函数f（ex）的定义域为（－∞，0）.
12.〔多选〕下列点中，既在指数函数y＝ax的图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点是（ ）
A.（1，1） B.（2，2）
C.（2，4） D.
解析：BD 对于A，y＝ax和y＝logax的图象不过点（1，1），不符合题意；对于B，若点（2，2）在函数y＝ax图象上，解得a＝，此时对数函数y＝logx也过点（2，2），所以符合题意；对于C，若点（2，4）在函数y＝ax图象上，解得a＝2，此时对数函数y＝log2x不过点（2，4），不符合题意；对于D，若点在函数y＝ax图象上，解得a＝，此时对数函数y＝lox也过点，所以符合题意.故选B、D.
13.已知函数y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，则实数a的取值范围为（1，＋∞）.
解析：因为y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，所以x2＋2x＋a＞0恒成立，所以Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.故实数a的取值范围是（1，＋∞）.
14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V（m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q（Q＞0），研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数.
解：（1）设V＝k·log3（Q＞0），
因为当Q＝900时，V＝1，
所以1＝k·log3，
所以k＝，所以V关于Q的函数解析式为V＝log3（Q＞0）.
（2）令V＝1.5，则1.5＝log3，所以Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位.
15.国际视力表值（又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5]）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0＋lg V.
（1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；
V 1.5 ② 0.4 ④
L ① 5.0 ③ 4.0
（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值.（所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解：（1）因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg＝5.0＋lg＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，所以①应填5.2；
因为5.0＝5.0＋lg V，所以V＝1，②处应填1.0；
因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，所以③处应填4.6；
因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.
视力对照表补充完整如表：
V 1.5 1.0 0.4 0.1
L 5.2 5.0 4.6 4.0
（2）先将甲的对数视力值换算成小数视力值，
则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，
则V乙＝2×10－0.5.
所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg（2×10－0.5）＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.
1 / 74.4.1 对数函数的概念
1.函数f（x）＝lg（x－1）＋的定义域为 （ ）
A.（1，4] B.（1，4）
C.[1，4] D.[1，4）
2.若函数f（x）＝loga（x＋1）（a＞0，a≠1）的图象过点（7，3），则a＝（ ）
A. B.2
C. D.
3.下列函数为同一个函数的是（ ）
A.y＝log3x2与y＝2log3x
B.y＝lg 10x与y＝10lg x
C.y＝log3x2与y＝2log3｜x｜
D.y＝lg x与y＝ln x
4.设函数f（x）＝则f（f（10））＝（ ）
A.lg 101 B.1
C.2 D.0
5.我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为（参考数据：100.2≈1.58）（ ）
A.1 559 B.3 943
C.1 579 D.2 512
6.〔多选〕函数y＝log（a－2）[（5－a）x]的定义域为{x｜x＞0}，则实数a的值可能是（ ）
A. B.3
C.4 D.5
7.函数f（x）＝（m－1）logax（a＞0，且a≠1）是对数函数，且过点（4，2），则f（m）＝ .
8.设f（x）是对数函数，且f（）＝－，那么f（）＝ .
9.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为 万元.
10.设函数f（x）＝lg ，a∈R，若当x∈（－∞，1）时，f（x）都有意义，求实数a的取值范围.
11.设函数f（u）＝log2u的定义域为（0，1），则函数f（ex）的定义域为（ ）
A.（0，1） B.（－1，0）
C.（0，＋∞） D.（－∞，0）
12.〔多选〕下列点中，既在指数函数y＝ax的图象上，也在对数函数y＝logax的图象上的点是（ ）
A.（1，1） B.（2，2）
C.（2，4） D.
13.已知函数y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，则实数a的取值范围为 .
14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V（m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q（Q＞0），研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数.
15.国际视力表值（又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5]）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0＋lg V.
（1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；
V 1.5 ② 0.4 ④
L ① 5.0 ③ 4.0
（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值.（所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
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