第二课时 对数函数的图象和性质的应用
1.已知函数f（x）＝5－log3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（ ）
A.（2，4] B.[2，4）
C.[－4，4） D.（6，9]
2.函数y＝lg ｜x｜是（ ）
A.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增
B.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递减
C.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增
D.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递减
3.函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（ ）
4.已知函数y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为[WT][WTHZ]R[WT][WTBX]，则k的取值范围是（ ）
A.0＜k＜1 B.0≤k＜1
C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
5.函数f（x）＝lg（＋x）的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
6.〔多选〕已知函数f（x）＝（log2x）2－log2x2－3，则下列说法正确的是（ ）
A.f（4）＝－3
B.函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C.函数y＝f（x）的最小值为－4
D.函数y＝f（x）的最大值为4
7.函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是 （填写序号）.
①f（x2）＝2f（x）；②f（2x）＝f（x）＋f（2）；③f＝f（x）－f（2）；④f（2x）＝2f（x）.
8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝ .
9.函数f（x）＝log2·lo（2x）的最小值为 .
10.已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值.
11.〔多选〕任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f＞恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是（ ）
A.y＝2x B.y＝log2x
C.y＝－x2 D.y＝
12.若函数f（x）＝｜log2x｜的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b－a的最小值为 .
13.已知函数f（x）＝lo 的图象关于原点对称，其中a为常数，则a＝ .
14.已知函数f（x）＝log2（1＋x2）.
求证：（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
15.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，求实数a的值.
1 / 2第二课时 对数函数的图象和性质的应用
课标要求
1.进一步掌握对数函数的图象和性质（逻辑推理）. 2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题（数学运算）. 3.了解反函数的概念和图象特点（数学抽象、直观想象）.
知识点一｜反函数
问题 在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象：
（1）函数y＝2x的定义域与y＝log2x的值域分别是什么？函数y＝2x的值域与y＝log2x的定义域分别是什么？函数y＝2x与y＝log2x的定义域和值域之间有什么关系？
提示：函数y＝2x的定义域与y＝log2x的值域相同，都是R；函数y＝2x的值域与y＝log2x的定义域相同，都是（0，＋∞）；函数y＝2x与y＝log2x的定义域和值域恰好互换.
（2）函数y＝2x与y＝log2x的图象是否关于某一条直线对称？
提示：两个函数图象关于直线y＝x对称.
【知识梳理】
1.指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）和对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数.
2.性质：（1）互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；（2）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.
【例1】 若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f（f（2））＝（ ）
A.16 B.0
C.1 D.2
解析：B 函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f（x）＝log2x.∴f（f（2））＝f（log22）＝f（1）＝log21＝0.
【规律方法】
反函数的性质
（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
训练1 （1）函数y＝log3x的反函数的定义域为（ D ）
A.（0，＋∞） B.
C.（1，4） D.[－1，4]
解析：由y＝log3x，可知y∈[－1，4].所以其反函数的定义域为x∈[－1，4].
（2）若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝，则f（2）＋g（4）＝（ D ）
A.3 B.4
C.5 D.6
解析：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝＝2x，∴g（x）＝log2x，∴f（2）＋g（4）＝22＋log24＝6.
知识点二｜对数型函数图象的应用
【例2】 （1）如图所示，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（ C ）
A.{x｜－1＜x≤0} B.{x｜－1≤x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1＜x≤2}
解析：在平面直角坐标系中作出函数y＝log2（x＋1）的大致图象，如图所示，且y＝log2（x＋1）的定义域为（－1，＋∞）.由图可知，f（x）≥log2（x＋1）的解集是{x｜－1＜x≤1}.
（2）〔多选〕已知f（x）＝｜log2x｜，若f（a）＞f（2），则a的值可以是（ ABD ）
A. B.
C. D.3
解析：作出函数f（x）的图象，如图所示，由于f（2）＝f，故结合图象可知0＜a＜或a＞2.
【规律方法】
正确作出函数y＝f（x）的图象，由数形结合思想将对数型不等式转化为代数不等式，此方法是求解对数型不等式或求参数值（范围）的常用方法.
训练2 当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C.（1，） D.（，2）
解析：B 易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图，则由题意可知只需满足loga＞，解得a＞，∴＜a＜1.故选B.
知识点三｜对数型函数的最值与值域
【例3】 求下列函数的值域：
（1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]；
解：∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1）≤log33＝1.
∴函数y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1].
（2）f（x）＝log2·log2（1≤x≤4）.
解：∵f（x）＝log2·log2＝（log2x－2）·（log2x－1）＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝＝2时，f（x）取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f（x）取得最大值2，
∴函数f（x）的值域是.
【规律方法】
求对数型函数值域（最值）的方法
对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域（最值）的求解步骤如下：
（1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数；
（2）求f（x）的定义域；
（3）求u的取值范围；
（4）利用y＝logau的单调性求解.
训练3 （1）已知函数f（x）＝3lox的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是[－6，－3]；
解析：∵y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函数f（x）的值域是[－6，－3].
（2）函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝2或.
解析：当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递增，所以loga4－loga2＝1，即loga＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递减，所以loga2－loga4＝1，即loga＝1，所以a＝.综上可知a＝2或a＝.
1.函数f（x）＝的定义域为（ ）
A.（0，2） B.（0，2]
C.（2，＋∞） D.[2，＋∞）
解析：C 若函数f（x）有意义，则即解得x＞2.∴函数f（x）的定义域为（2，＋∞）.
2.函数y＝2＋log2x（x≥2）的值域为（ ）
A.（3，＋∞） B.（－∞，3）
C.[3，＋∞） D.（－∞，3]
解析：C 因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.
3.若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a＝（ ）
A. B.
C.2 D.4
解析：B 由题意得f（x）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f（x）的最大值或最小值在端点处取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，解得a＝.
4.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过点，则a＝.
解析：由题意得f（x）＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），因为f（x）的图象过点，所以loga＝，所以＝，所以a2＝2，所以a＝（负值舍去）.
课堂小结
1.理清单 （1）反函数； （2）对数型函数图象的应用； （3）对数型函数值域与最值. 2.应体会 对数型函数图象的应用体现了数形结合思想；解决对数型函数的值域与最值问题，应用了转化与化归思想. 3.避易错 解决对数型函数的值域与最值问题时应注意函数的定义域.
1.已知函数f（x）＝5－log3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是（ ）
A.（2，4] B.[2，4）
C.[－4，4） D.（6，9]
解析：B f（x）＝5－log3x在x∈（3，27]上单调递减，所以f（27）≤f（x）＜f（3），即2≤f（x）＜4.
2.函数y＝lg ｜x｜是（ ）
A.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增
B.偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递减
C.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增
D.奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递减
解析：B 易知函数y＝lg ｜x｜是偶函数.当x＞0时，y＝lg ｜x｜＝lg x，所以在区间（0，＋∞）上单调递增.由偶函数的性质知，函数在区间（－∞，0）上单调递减.
3.函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（ ）
解析：A 函数的定义域为（－∞，1），排除B、D项；函数f（x）＝log2（1－x）为减函数，排除C项，故A项正确.
4.已知函数y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，则k的取值范围是（ ）
A.0＜k＜1 B.0≤k＜1
C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
解析：C 令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
5.函数f（x）＝lg（＋x）的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
解析：A 易知该函数的定义域为R，又f（x）＋f（－x）＝lg（＋x）＋lg（－x）＝lg[（＋x）·（－x）]＝lg 1＝0，∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）为奇函数.
6.〔多选〕已知函数f（x）＝（log2x）2－log2x2－3，则下列说法正确的是（ ）
A.f（4）＝－3
B.函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C.函数y＝f（x）的最小值为－4
D.函数y＝f（x）的最大值为4
解析：ABC A正确，f（4）＝（log24）2－log242－3＝－3；B正确，令f（x）＝0，得（log2x＋1）（log2x－3）＝0，解得x＝或x＝8，即f（x）的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f（x）＝（log2x－1）2－4（x＞0），所以当log2x＝1，即x＝2时，f（x）取最小值－4；D错误，f（x）没有最大值.
7.函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论正确的是①②③（填写序号）.
①f（x2）＝2f（x）；②f（2x）＝f（x）＋f（2）；③f＝f（x）－f（2）；④f（2x）＝2f（x）.
解析：因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f（x），f（2x）＝loga2x＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f＝logax＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以①②③正确.
8.设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝4.
解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）－logaa＝，即loga2＝，∴＝2，a＝4.
9.函数f（x）＝log2·lo（2x）的最小值为－.
解析：由题意得f（x）＝log2x·（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时，等号成立，因此函数f（x）的最小值为－.
10.已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值.
解：（1）由题意得解得－1＜x＜3.所以f（x）的定义域为（－1，3）.
（2）f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]＝loga（－x2＋2x＋3）＝loga[－（x－1）2＋4]，－1＜x＜3，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，
所以loga4＝－2，即a－2＝4.又0＜a＜1，所以a＝.
若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值.
综上可知，a＝.
11.〔多选〕任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f＞恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数，下列函数中在其定义域上为凸函数的是（ ）
A.y＝2x B.y＝log2x
C.y＝－x2 D.y＝
解析：BCD 由题意知，若函数f（x）为凸函数，则在函数y＝f（x）的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB（原点除外）总在f（x）图象的下方，分别作出四个函数的图象，如图所示.观察各函数在定义域上的图象，知y＝log2x，y＝－x2，y＝是凸函数，故选B、C、D.
12.若函数f（x）＝｜log2x｜的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b－a的最小值为.
解析：根据题意，画出函数f（x）的图象如图，令｜log2x｜＝2可得x＝或x＝4.由图象可知，当值域为[0，2]时，定义域的最小区间是，则b－a的最小值为1－＝.
13.已知函数f（x）＝lo 的图象关于原点对称，其中a为常数，则a＝－1.
解析：∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴函数f（x）的定义域关于原点对称，∵＞0，∴（x－1）（1－ax）＞0，令（x－1）（1－ax）＝0，得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1，经验证，a＝－1满足题意.
14.已知函数f（x）＝log2（1＋x2）.
求证：（1）函数f（x）是偶函数；
（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
证明：（1）函数f（x）的定义域是R，
f（－x）＝log2[1＋（－x）2]＝log2（1＋x2）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数.
（2） x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝log2（1＋）－log2（1＋）＝log2.
由于0＜x1＜x2，则0＜＜，0＜1＋＜1＋，
所以0＜＜1，所以log2＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
15.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，求实数a的值.
解：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x'，2logax），即logax'＝2logax，∴x'＝x2，
∴正方形ABCD的边长｜BC｜＝x2－x＝2，解得x＝2.
由已知得AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），
正方形ABCD边长｜AB｜＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝.
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