第一课时 对数函数的图象和性质
课标要求
1.初步掌握对数函数的图象和性质（直观想象）.
2.会类比指数函数研究对数函数的性质（数学抽象）.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用（逻辑推理、数学运算）.
情境导入
同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.
知识点一｜对数函数的图象及性质
问题 （1）请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝lox的函数图象；
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝log2x … …
y＝lox … …
提示：－2 －1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5
描点、连线.
（2）通过观察函数y＝log2x和y＝lox的图象，分析两个函数定义域、值域、最值、奇偶性、单调性等有哪些相同点？有哪些不同点？
提示：相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝log2x和y＝lox这两个底数互为倒数的函数图象关于x轴对称.
（3）为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a＝3，4，，，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
提示：
【知识梳理】
对数函数的图象和性质
y＝logax （a＞0，且a≠1）
底数 a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 （0，＋∞）
值域 R
单调性 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
最值 无最大、最小值
y＝logax （a＞0，且a≠1）
奇偶性 非奇非偶函数
共点性 图象过定点 （1，0） ，即x＝1时，y＝0
函数值 特点 当x∈（0，1）时， y∈ （－∞，0） ； 当x∈[1，＋∞）时， y∈ [0，＋∞） 当x∈（0，1）时， y∈ （0，＋∞） ； 当x∈[1，＋∞）时， y∈ （－∞，0]
对称性 函数y＝logax与y＝lox的图象关于 x轴 对称
提醒：（1）函数图象只出现在y轴右侧；（2）对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点（1，0）；（3）当0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近x轴；（4）当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴.
【例1】 （1）如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则（ B ）
A.0＜a＜b＜1
B.0＜b＜a＜1
C.a＞b＞1
D.b＞a＞1
解析：作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
（2）若函数y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点（3，2），则实数b＝－2，c＝2；
解析：因为函数的图象恒过定点（3，2），所以将（3，2）代入y＝loga（x＋b）＋c，得2＝loga（3＋b）＋c.又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，所以c＝2，3＋b＝1，所以b＝－2，c＝2.
（3）已知f（x）＝loga｜x｜（a＞0，且a≠1）满足f（－5）＝1，试画出函数f（x）的图象.
解：因为f（－5）＝1，所以loga5＝1，
即a＝5，
故f（x）＝log5｜x｜＝
所以函数f（x）＝log5｜x｜的图象如图所示.
变式1 在本例（3）中，若条件不变，试画出函数g（x）＝loga｜x－1｜的图象.
解：因为f（x）＝log5｜x｜，所以g（x）＝log5｜x－1｜，
如图，g（x）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位长度得到的.
变式2 在本例（3）中，若条件不变，试画出函数h（x）＝｜logax｜的图象.
解：因为a＝5，所以h（x）＝｜log5x｜.h（x）的图象如图中实线部分所示.
【规律方法】
对数型函数图象的变换方法
（1）作y＝f（｜x｜）的图象时，保留y＝f（x）（x＞0）的图象不变，x＜0时y＝f（｜x｜）的图象与y＝f（x）（x＞0）的图象关于y轴对称；
（2）作y＝｜f（x）｜的图象时，保留y＝f（x）的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可；
（3）有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律；
（4）y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称，y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称，y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称.
训练1 画出函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调区间.
解：函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象如图所示.
由图象知，其值域为[0，＋∞），单调递减区间是（－1，0]，单调递增区间是（0，＋∞）.
知识点二｜比较对数值的大小
【例2】 （链接教材P133例3）比较下列各题中两个值的大小：
（1）log31.9，log32；
解：因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜2，
所以log31.9＜log32.
（2）lo，lo；
解：因为y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，且＜，所以lo＞lo.
（3）log23，log0.32；
解：因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32.
（4）logaπ，loga3.14（a＞0，且a≠1）.
解：π＞3.14，当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，有logaπ＞loga3.14；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，有logaπ＜loga3.14.
综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.14；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14.
【规律方法】
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
训练2 下列式子中成立的是（ ）
A.log0.44＜log0.46 B.1.013.4＞1.013.5
C.3.50.3＜3.40.3 D.log76＜log67
解析：D 因为f（x）＝log0.4x为减函数，故log0.44＞log0.46，故A错；因为f（x）＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B错；因为f（x）＝x0.3在（0，＋∞）上单调递增，且3.5＞3.4，所以3.50.3＞3.40.3，故C错；设函数f（x）＝log7x，g（x）＝log6x，则这两个函数在定义域内都是增函数，所以log76＜log77＝1＝log66＜log67，所以D正确.
知识点三｜利用单调性解对数不等式
【例3】 解下列关于x的不等式：
（1）lox＞lo（4－x）；
解：由题意可得解得0＜x＜2.
所以原不等式的解集为{x｜0＜x＜2}.
（2）loga（2x－5）＞loga（x－1）.
解：当a＞1时，原不等式等价于解得x＞4.
当0＜a＜1时，原不等式等价于解得＜x＜4.
综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＞4}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为.
【规律方法】
对数不等式的三种类型及解法
（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论；
（2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b＝logaab），再借助y＝logax的单调性求解；
（3）形如logf（x）a＞logg（x）a（f（x），g（x）＞0且不等于1，a＞0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
训练3 解下列不等式：
（1）log3x＜1；
解：∵log3x＜1＝log33，
又函数y＝log3x在（0，＋∞）上为增函数，
∴x满足的条件为即0＜x＜3.
∴原不等式的解集为{x｜0＜x＜3}.
（2）log0.7（2x）＜log0.7（x－1）.
解：∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.7（2x）＜log0.7（x－1），得解得x＞1.
∴原不等式的解集为{x｜x＞1}.
1.设a＝log54，b＝lo，c＝0.，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
解析：B c＝0.5－0.2＝＝＞20＝1，b＝lo＝log53＜log54＝a＜1，所以b＜a＜c.故选B.
2.函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）的图象大致为（ ）
解析：C ∵函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，当x＞0时，f（x）＝logax＋1单调递增；当x＜0时，f（x）＝loga（－x）＋1单调递减，又∵图象过（1，1），（－1，1）两点，结合选项可知选C.
3.如果函数f（x）＝（3－a）x，g（x）＝logax的增减性相同，则a的取值范围是（1，2）.
解析：若f（x），g（x）均为增函数，则即1＜a＜2；若f（x），g（x）均为减函数，则无解.综上，a的取值范围是（1，2）.
4.若loga＜1，则a的取值范围为∪（1，＋∞）.
解析：当a＞1时，满足条件；当0＜a＜1时，由得0＜a＜，综上，实数a的取值范围是∪（1，＋∞）.
课堂小结
1.理清单 （1）对数函数的图象及性质； （2）利用对数函数的图象及性质比较大小； （3）利用单调性解对数不等式. 2.应体会 研究对数函数的性质时用数形结合的思想；解不等式体现了分类讨论的思想. 3.避易错 作对数函数图象时易忽视底数a＞1与0＜a＜1两种情况.
1.函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（ ）
A.（1，2） B.（2，1）
C.（－2，1） D.（－1，1）
解析：D 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（－1，1）.
2.已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
解析：A a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝ln 2＜ln e＝1，∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c.
3.若点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是（ ）
A. B.（10a，1－b）
C. D.（a2，2b）
解析：D 因为点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，所以b＝lg a.当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点不在此函数的图象上，A不正确；当x＝10a时，有y＝lg（10a）＝1＋lg a＝1＋b，所以点（10a，1－b）不在此函数的图象上，B不正确；当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，所以点不在此函数的图象上，C不正确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点（a2，2b）在此函数的图象上，D正确.
4.函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（ ）
解析：B 由f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函数，由此知C、D错误；又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞）上单调递增，所以B正确.
5.若函数f（x）＝loga（x＋b）的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g（x）＝ax＋b的图象大致是（ ）
解析：D 由f（x）的图象可知0＜a＜1，0＜b＜1，∴g（x）的图象应为D.
6.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是（ ）
解析：AB ∵g（x）＝－logbx＝lox＝logax，∴f（x）和g（x）的单调性相同，结合选项可知A、B正确.
7.若函数y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为（1，4）.
解析：令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点（1，4）.
8.不等式lo（5＋x）＜lo（1－x）的解集为（－2，1）.
解析：因为函数y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，
所以解得－2＜x＜1.
9.已知m，n∈R，函数f（x）＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是③（填序号）.
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1.
解析：由图象知函数为增函数，故n＞1，又当x＝1时，f（1）＝m＞0，故m＞0.
10.已知函数f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性.
解：（1）要使函数有意义，则需满足
解得－2＜x＜2.
故函数f（x）的定义域为（－2，2）.
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
因为f（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）
＝－[loga（2＋x）－loga（2－x）]＝－f（x）.
所以函数f（x）为奇函数.
11.已知loga＞logb＞0，则下列关系正确的是（ ）
A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1
C.1＜b＜a D.1＜a＜b
解析：A 由loga＞0，logb＞0，可知a，b∈（0，1）.又loga＞logb，作出图象如图所示，结合图象易知a＞b，∴0＜b＜a＜1.
12.〔多选〕已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（9，2），则下列说法正确的是（ ）
A.a＝2
B.函数f（x）为增函数
C.若x＞3，则f（x）＞1
D.若0＜x1＜x2，则＞f
解析：BC 由loga9＝2，得a＝3，故A错误；f（x）＝log3x是增函数，故B正确；当x＞3时，f（x）＞f（3）＝1，故C正确；因为＝＝log3，f＝log3，又0＜x1＜x2，所以＜，所以log3＜log3，即＜f ，故D错误.故选B、C.
13.已知f（x）＝的值域为R， 那么实数a的取值范围是.
解析：要使函数f（x）的值域为R，则必须满足即所以－≤a＜.
14.已知a∈R，函数f（x）＝log3（＋a）.
（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞1；
（2）若函数g（x）＝f（x）－log3（ax＋1）的图象与x轴只有一个交点，求a的取值范围.
解：（1）当a＝1时，由f（x）＞1得log3（＋1）＞1，所以＋1＞3，所以0＜x＜，所以不等式的解集为（0，）.
（2）当g（x）＝0时，log3（＋a）＝log3（ax＋1），
所以所以
所以x＝1，所以a＞－1，故a的取值范围是（－1，＋∞）.
15.若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围.
解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，
如图所示.
要使x2＜logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2图象的上方，于是0＜m＜1.
∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝logm即可，
∴≤，即≤m.又0＜m＜1，∴≤m＜1.
即实数m的取值范围是.
1 / 9第一课时 对数函数的图象和性质
1.函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（ ）
A.（1，2） B.（2，1）
C.（－2，1） D.（－1，1）
2.已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
3.若点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是（ ）
A. B.（10a，1－b）
C. D.（a2，2b）
4.函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（ ）
5.若函数f（x）＝loga（x＋b）的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g（x）＝ax＋b的图象大致是（ ）
6.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函数g（x）＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是（ ）
7.若函数y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为 .
8.不等式lo（5＋x）＜lo（1－x）的解集为 .
9.已知m，n∈R，函数f（x）＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是 （填序号）.
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n＞1.
10.已知函数f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性.
11.已知loga＞logb＞0，则下列关系正确的是（ ）
A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1
C.1＜b＜a D.1＜a＜b
12.〔多选〕已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（9，2），则下列说法正确的是（ ）
A.a＝2
B.函数f（x）为增函数
C.若x＞3，则f（x）＞1
D.若0＜x1＜x2，则＞f
13.已知f（x）＝的值域为[WT][WTHZ]R[WT][WTBX]， 那么实数a的取值范围是 .
14.已知a∈R，函数f（x）＝log3（＋a）.
（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞1；
（2）若函数g（x）＝f（x）－log3（ax＋1）的图象与x轴只有一个交点，求a的取值范围.
15.若不等式x2－logmx＜0在内恒成立，求实数m的取值范围.
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