4.5.2 用二分法求方程的近似解
课标要求
1.了解二分法的原理及其适用条件（直观想象）.
2.掌握二分法的实施步骤（数学运算）.
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想（数学抽象）.
情境导入
电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一直猜下去，直到猜中为止.我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？
知识点一｜二分法
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子.10 km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了.你能猜到维修工人是如何操作的吗？
提示：用二分法.
【知识梳理】
定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且 f（a）f（b）＜0 的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间 一分为二 ，使所得区间的两个端点 逐步逼近零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
提醒：用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
【例1】 （1）已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（ D ）
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
（2）〔多选〕下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ACD ）
A.f（x）＝3x－1 B.f（x）＝x2－2x＋1
C.f（x）＝4x D.f（x）＝ex－2
解析：f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，f（1）＝0，当x＜1时，f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选A、C、D.
【规律方法】
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
训练1 在用二分法求函数f（x）零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A.[1，4] B.[－2，1]
C. D.
解析：D ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
知识点二｜ 二分法求函数零点近似值的步骤
问题2 你能想办法求函数f（x）＝x3－3的近似解吗？
提示：能.由于f（1）＝－2＜0，f（2）＝5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f（1）＝－2，f（2）＝5 [1，2]
x0＝＝1.5 f（x0）＝0.375＞0 [1，1.5]
x1＝＝1.25 f（x1）≈－1.046 9＜0 [1.25，1.5]
x2＝＝1.375 f（x2）≈－0.400 4＜0 [1.375，1.5]
x3＝＝1.437 5 f（x3）≈－0.029 5＜0 [1.437 5，1.5]
当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程，即便是计算机，也可能被累死机.实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确度，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1.
由于｜1.5－1.437 5｜＝0.062 5＜0.1，所以原函数的一个正实数零点可取为1.437 5.
【知识梳理】
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的步骤：
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 f（a）f（b）＜0 .
2.求区间（a，b）的中点c.
3.计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则 c 就是函数的零点；
（2）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈ （a，c） ），则令b＝c；
（3）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈ （c，b） ），则令a＝c.
4.判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4.
提醒：二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
【例2】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.（精确度为0.1）
解：令f（x）＝2x3＋3x－3，
经计算，f（0）＝－3＜0，f（1）＝2＞0，f（0）f（1）＜0，
所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解.
取（0，1）的中点0.5，经计算f（0.5）＜0，
又f（1）＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5，1）内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（a，b） 中点c f（a） f（b） f
（0，1） 0.5 f（0）＜0 f（1）＞0 f（0.5）＜0
（0.5，1） 0.75 f（0.5）＜0 f（1）＞0 f（0.75）＞0
（0.5，0.75） 0.625 f（0.5）＜0 f（0.75）＞0 f（0.625）＜0
（0.625，0.75） 0.687 5 f（0.625）＜0 f（0.75）＞0 f（0.687 5）＜0
（0.687 5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1
由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
【规律方法】
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）；
（2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
提醒：函数零点的近似值可取满足精确度的零点所在区间的左或右端点近似值.
训练2 用二分法求方程x2－2x－1＝0的正实数解的近似值.（精确度为0.1）
解：令f（x）＝x2－2x－1，
∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝2＞0，
又∵f（x）在（2，3）上单调递增，
∴在（2，3）内方程x2－2x－1＝0有唯一的实数解，记作x0.
取区间中点x1＝，∵f＝＞0，∴x0∈；
再取区间的中点x2＝，
∵f＝－＜0，∴x0∈；
再取区间的中点x3＝，
∵f＝－－1＝－＜0，∴x0∈，
此时＝＝0.125＞0.1；
再取区间的中点x4＝，
∵f＝－2×－1＝＞0，
∴x0∈，
此时＝＝0.062 5＜0.1且＝2.437 5.
故方程x2－2x－1＝0的正实数解的近似值可取为2.4.
知识点三｜二分法的实际应用
【例3】 一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？
解：第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；
第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；
第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；
第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次.
【规律方法】
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
训练3 某电脑公司生产A型手提电脑，2021年平均每台A型手提电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2022年开始，公司加强管理，降低生产成本.2025年平均每台A型手提电脑尽管出厂价仅是2021年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益.
（1）求2025年每台A型手提电脑的生产成本；
解：设2025年每台A型手提电脑的生产成本为P元，依题意得P（1＋50%）＝5 000×（1＋20%）×80%，解得P＝3 200，所以2025年每台A型手提电脑的生产成本为3 200元.
（2）以2021年的生产成本为基数，用二分法求2022～2025年生产成本平均每年降低的百分数（精确度为0.01）.
解：设2022～2025年生产成本平均每年降低的百分数为x，
根据题意，得5 000（1－x）4＝3 200（0＜x＜1），即5（1－x）2＝4（0＜x＜1）.
令f（x）＝5（1－x）2－4，则f（0.10）＝0.05＞0，f（0.11）＝－0.039 5＜0，所以f（0.10）·f（0.11）＜0，
所以f（x）在（0.10，0.11）内有一个零点x0，
取区间（0.10，0.11）的中点0.105，则f（0.105）≈0.005＞0，
所以f（0.11）·f（0.105）＜0，所以x0∈（0.105，0.11）.
因为｜0.105－0.11｜＝0.005＜0.01，所以f（x）＝0的近似解可以是0.11，所以2022～2025年生产成本平均每年降低11%.
1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（ ）
解析：C 只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图象连续不断，可以利用二分法求解.
2.用二分法求函数f（x）＝2x－3的零点时，初始区间可选为（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
解析：C f（－1）＝－＜0，f（0）＝－2＜0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝1＞0，f（3）＝5＞0，则f（1）f（2）＜0，即初始区间可选（1，2）.
3.设f（x）＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（ ）
A.（2，2.25） B.（2.25，2.5）
C.（2.5，2.75） D.（2.75，3）
解析：C 因为f（2.5）＜0，f（2.75）＞0，由零点存在定理知，方程的根在区间（2.5，2.75）内，故选C.
4.若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f（1）＝－2 f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984 f（1.375）＝－0.260
f（1.438）＝0.165 f（1.406 5）＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度为0.05）为（ ）
A.1.5 B.1.375
C.1.438 D.1.25
解析：C ∵f（1.406 5）＜0，f（1.438）＞0，∴f（1.406 5）·f（1.438）＜0，∴该方程的根在区间（1.406 5，1.438）内，又∵｜1.406 5－1.438｜＝0.031 5＜0.05，∴方程的近似根可以是1.438.
课堂小结
1.理清单 （1）二分法的定义； （2）利用二分法求函数的零点、方程的近似解； （3）二分法在实际生活中的应用. 2.应体会 利用二分法求函数的零点、方程的近似解体现了逼近的思想. 3.避易错 二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的.
1.用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f（2）f（4）＜0，取区间（2，4）的中点x1＝＝3，计算得f（2）f（x1）＜0，则此时零点x0所在的区间是（ ）
A.（2，4） B.（2，3）
C.（3，4） D.无法确定
答案：B
2.用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
解析：C 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f（a）f（b）＜0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件.
3.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（ ）
A.｜a－b｜＜0.1 B.｜a－b｜＜0.001
C.｜a－b｜＞0.001 D.｜a－b｜＝0.001
解析：B 根据二分法的步骤知当｜b－a｜小于精确度ε时，便可结束计算.
4.若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，则（ ）
A.f（x）在上有零点
B.f（x）在上有零点
C.f（x）在上无零点
D.f（x）在上无零点
解析：B 由f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，可知f·f（b）＜0，根据函数零点存在定理可知f（x）在上有零点.
5.用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
解析：C 令f（x）＝x－2lg －3，则f（2）＝2－2lg －3＝2－2×lg 2－3＝lg 2－1＜0，f（3）＝3－3lg －3＝lg 3＞0，∴用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（2，3）.
6.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（ ）
A.1.6 B.1.7
C.1.8 D.1.9
解析：C 由表格可得，函数f（x）＝x3＋2x－9的零点在区间（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.
7.〔多选〕在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为（ ）
A.0.68 B.0.72
C.0.7 D.0.6
解析：ABC 已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为（0.64，0.72），又因为0.68＝×（0.64＋0.72），且f（0.68）＜0，所以零点在区间（0.68，0.72）上，｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.05，所以0.68，0.7，0.72都符合.
8.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是a2＝4b.
解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
9.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称3次就可以发现假币.
解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚假币.
10.已知函数f（x）＝3x＋，方程f（x）＝0在（－1，＋∞）内是否有根？若有根，有几个？若函数有零点，请写出函数零点的大致区间.
解：方程f（x）＝0在（－1，＋∞）内有根，
f（x）＝3x＋＝3x＋1－，
当x∈（－1，＋∞）时，函数f（x）为增函数，
所以若方程f（x）＝0有根，则最多有一个根.
因为f（0）＝－1＜0，f（1）＝＞0，
所以方程f（x）＝0有一个根，函数f（x）在区间（0，1）上有唯一零点.
11.用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：C 开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以＜0.01.又n∈N*，所以n≥7且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
12.〔多选〕利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表.
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8
y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3
y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64
x －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y＝2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y＝x2 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x＝x2有一个根位于区间（a，a＋0.4）内，则a可以取（ ）
A.－1.4 B.－1
C.－0.8 D.－0.6
解析：BC 令f（x）＝2x－x2，则f（－1.6）＜0，f（－1.4）＜0，f（－1.2）＜0，f（－1）＜0，f（－0.8）＜0，f（－0.6）＞0，f（－0.4）＞0，f（－0.2）＞0，f（0）＞0，f（－1.4）·f（－1）＞0，f（－1）f（－0.6）＜0，f（－0.8）f（－0.4）＜0，f（－0.6）·f（－0.2）＞0，故a可能取－1或－0.8.
13.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是1.5，1.75，1.875，1.812 5.
解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间（1.75，1.812 5）.
14.已知函数f（x）＝x3－x2＋1.
（1）证明方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的实数解x0在哪个较小的区间内.
解：（1）证明：因为f（0）＝1＞0，f（2）＝－＜0，所以f（0）·f（2）＜0，由函数零点存在定理可得方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解.
（2）取x1＝×（0＋2）＝1，得f（1）＝＞0，
由此可得f（1）·f（2）＜0，下一个有解区间为（1，2）.
再取x2＝×（1＋2）＝，得f＝－＜0，
所以f（1）·f＜0，下一个有解区间为.
再取x3＝×＝，得f＝＞0，
所以f·f＜0，下一个有解区间为.
综上所述，所求的实数解x0在区间内.
15.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当｜a－b｜＜ε（ε为精确度）时，求函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围.
解：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＜，
所以误差的取值范围为.
1 / 24.5.2 用二分法求方程的近似解
1.用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验证f（2）f（4）＜0，取区间（2，4）的中点x1＝＝3，计算得f（2）f（x1）＜0，则此时零点x0所在的区间是（ ）
A.（2，4） B.（2，3）
C.（3，4） D.无法确定
2.用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A.x1 B.x2
C.x3 D.x4
3.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（ ）
A.｜a－b｜＜0.1 B.｜a－b｜＜0.001
C.｜a－b｜＞0.001 D.｜a－b｜＝0.001
4.若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，则（ ）
A.f（x）在上有零点
B.f（x）在上有零点
C.f（x）在上无零点
D.f（x）在上无零点
5.用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
6.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（ ）
A.1.6 B.1.7
C.1.8 D.1.9
7.〔多选〕在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为（ ）
A.0.68 B.0.72
C.0.7 D.0.6
8.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 .
9.在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现假币.
10.已知函数f（x）＝3x＋，方程f（x）＝0在（－1，＋∞）内是否有根？若有根，有几个？若函数有零点，请写出函数零点的大致区间.
11.用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
12.〔多选〕利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表.
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8
y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3
y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64
x －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y＝2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y＝x2 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x＝x2有一个根位于区间（a，a＋0.4）内，则a可以取（ ）
A.－1.4 B.－1
C.－0.8 D.－0.6
13.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是 .
14.已知函数f（x）＝x3－x2＋1.
（1）证明方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解；
（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，2]）的实数解x0在哪个较小的区间内.
15.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当｜a－b｜＜ε（ε为精确度）时，求函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围.
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