4.5.3 函数模型的应用
1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年（x∈N*），该产品的产量y满足（ ）
A.y＝a（1＋5%x） B.y＝a＋5%
C.y＝a（1＋5% D.y＝a（1＋5%）x
2.某商场2025年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间t 1 2 3 4
利润y（千元） 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（ ）
A.y＝log2t B.y＝2t
C.y＝t2 D.y＝2t
3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈（ ）
A.16 B.20
C.32 D.90
4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg 3≈0.48）（ ）
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
5.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
6.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（ ）
A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
7.〔多选〕氡（Radon）又名氭，是一种化学元素，符号是Rn，氡元素对应的单质是氡气，为无色、无臭、无味的惰性气体，具有放射性.已知放射性元素的半衰期是3.82天，经x天衰变后变为原来的ax（a＞0且a≠1），取0.8347.64＝.则（ ）
A.经过7.64天以后，氡元素会全部消失
B.经过15.28天以后，氡元素变为原来的
C.a＝0.834
D.经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的
8.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为 .
9.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度（J） 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b（其中a，b为常数），则a的值为 .（取lg 2≈0.3进行计算）
10.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝alg I＋b（a，b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量.
（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话时，声音能量为10－13 W/cm2，声音强度为30分贝；当人们正常说话时，声音能量为 10－12 W/cm2，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
11.一渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼将很快失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分钟）满足的函数关系式为h（t）＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后失去全部新鲜度？（取lg 2≈0.3，结果取整数）（ ）
A.33分钟 B.40分钟
C.43分钟 D.50分钟
12.〔多选〕几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时，p（x）＝－x2＋6x－20，研发利润率y＝×100%.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B.要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润
C.要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D.要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元
13.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年.（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）
14.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝1＋（k为正常数），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q（x）/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）f（x）的最小值.
3 / 34.5.3 函数模型的应用
课标要求
1.能利用已知函数模型求解实际问题（数学运算）.
2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题（数学建模）.
情境导入
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.五期后的本利和是多少？
知识点一｜已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝（T0－Ta）×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要 20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
解：先设定半衰期h，由题意知40－24＝（88－24）×，即＝，解得h＝10，
故原式可化简为T－24＝（88－24）×，
当T＝32时，代入上式，得32－24＝（88－24）×，即＝＝＝，
所以t＝30.因此，降温到32 ℃需要30 min.
【规律方法】
利用已知函数模型解决实际问题的方法
（1）首先确定已知函数模型解析式中的未知参数；
（2）利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题；
（3）涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
训练1 近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式v＝v0ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500 m/s.
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
解：由已知可得v＝500ln 200＝500（ln 2＋ln 100）＝500[ln 2＋2（ln 2＋ln 5）]＝500（3ln 2＋2ln 5）≈2 650（m/s）.
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高为原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6，2.718＜e＜2.719）
解：设在材料更新和技术改进前总质比为x，且v1＝v0ln x＝500ln x，x2＝，v2＝1 000ln ，
若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s，所以v2－v1＝1 000ln －500ln x≥500，
即2ln －ln x≥1，ln－ln x＝ln ≥1，
所以≥e，解得x≥4e，
因为2.718＜e＜2.719，所以10.872＜4e＜10.876，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.
知识点二｜建立函数模型解决实际问题
【例2】 （链接教材P149例4）某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x（0＜x＜1）.当治理面积达到这片沙漠面积的一半时，正好用了10年时间.
（1）求x的值；
解：由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x（0＜x＜1），则a（1－x）10＝a，即（1－x）10＝，解得x＝1－.
（2）若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？
解：设从今年开始，还需治理n年，则n年后剩余面积为a（1－x）n，
令a（1－x）n≤a，即（1－x）n≤，≤，≥，
解得n≥15，故至少还需治理15年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的.
【规律方法】
建立函数模型解决实际问题的步骤
（1）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
（2）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
（3）选择其中的几组数据求出函数模型；
（4）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤（2）；若符合实际，则进入下一步；
（5）用所得函数模型解决实际问题.
训练2 据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加.
（1）求两年后这种珍稀鸟类的个数约是多少；
解：依题意知，一年后这种鸟类的个数为1 000＋1 000×8%＝1 080（只），
两年后这种鸟类的个数约为1 080＋1 080×8%≈1 166（只）.
（2）写出y（珍稀鸟类的个数）关于x（经过的年数）的函数关系式；
解：由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N.
（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.（结果取整数）（参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解：令1 000×1.08x≥3×1 000，得1.08x≥3，两边取常用对数得lg 1.08x≥lg 3，即x lg 1.08≥lg 3，考虑到lg 1.08＞0，故x≥，
故x≥＝，
因为lg 108＝lg（33×22）＝3lg 3＋2lg 2，
所以x≥
≈≈14.3.
所以约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.
知识点三｜拟合函数模型解决决策问题
【例3】 （链接教材P152例6）某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况：f（x）＝20｜x－4｜（x≥1），g（x）＝（x－4）2（x≥1），h（x）＝30｜log2x－2｜（x≥1），其中x表示月数，f（x），g（x），h（x）分别表示污染度.
（1）选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
解：选用h（x）模拟比较合理，理由如下：
计算各函数对应各月份污染度得下表：
月数 1 2 3 4 …
污染度 60 31 13 0 …
f（x） 60 40 20 0 …
g（x） 60 26.7 6.7 0 …
h（x） 60 30 12.45 0 …
从上表可知，函数h（x）模拟比较合理，故选择h（x）作为模拟函数.
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60.
解：令h（x）≤60，得｜log2x－2｜≤2，得0≤log2x≤4，
解得1≤x≤16，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
【规律方法】
建立拟合函数解决决策问题的基本步骤
训练3 某纪念章从2025年2月1日开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：
上市时间x/天 4 10 36
市场价y/元 90 51 90
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.
解：选取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：
因为随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，所以选取y＝ax2＋bx＋c.
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
解：把点（4，90），（10，51），（36，90）代入y＝ax2＋bx＋c中，
得
解得a＝，b＝－10，c＝126.
所以y＝x2－10x＋126＝（x－20）2＋26，
所以当x＝20时，y有最小值，ymin＝26.
故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元.
1.如图是红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）
A.指数函数：y＝2t B.对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3 D.二次函数：y＝2t2
解析：A 由所给的散点图可得，图象大约过（2，4），（4，16），（6，64），所以该函数模型应为指数函数.
2.若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩余量为y，则x，y的函数关系是（ ）
A.y＝0.957 B.y＝0.957
C.y＝ D.y＝1－0.042
解析：A 设镭的衰变率为p，则x，y的函数关系是y＝（1－p）x，当x＝100时，y＝0.957 6，即0.957 6＝（1－p）100，解得1－p＝0.957 .即y＝.
3.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是－1.
解析：设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a（1＋x）11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
4.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的e6－1倍时，火箭的最大速度可达12 000 m/s.
解析：当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6.所以＝e6－1.
课堂小结
1.理清单 （1）利用已知函数模型解决实际问题； （2）建立函数模型解决实际问题； （3）拟合函数模型解决决策问题. 2.避易错 实际应用题易忘记定义域和结论.
1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年（x∈N*），该产品的产量y满足（ ）
A.y＝a（1＋5%x） B.y＝a＋5%
C.y＝a（1＋5% D.y＝a（1＋5%）x
解析：D 经过1年，y＝a（1＋5%），经过2年，y＝a（1＋5%）2，…，经过x年，y＝a（1＋5%）x.
2.某商场2025年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示，
时间t 1 2 3 4
利润y（千元） 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（ ）
A.y＝log2t B.y＝2t
C.y＝t2 D.y＝2t
解析：B 作出散点图如图所示.由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；把t＝1，2，3，4代入B，C选项的函数中，函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值，故选B.
3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1，7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n≈（ ）
A.16 B.20
C.32 D.90
解析：C 因为r＝0.6lg I，所以I＝1.当r＝6.5时，I1＝1；当r＝7.4时，I2＝1.所以n＝＝1÷1＝1＝10×≈32.
4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg 3≈0.48）（ ）
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
解析：D 由已知得，lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093.
5.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：D 设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，即nlg ≤－lg 20，即n（lg 2－ln 3）≤－（1＋lg 2），即n≥≈7.4，故选D.
6.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是（ ）
A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
解析：D 对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈（lg 102，lg 103），即lg P∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈（lg 102，lg 103），即lg P＝lg 729∈（2，3）时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故D正确.
7.〔多选〕氡（Radon）又名氭，是一种化学元素，符号是Rn，氡元素对应的单质是氡气，为无色、无臭、无味的惰性气体，具有放射性.已知放射性元素的半衰期是3.82天，经x天衰变后变为原来的ax（a＞0且a≠1），取0.8347.64＝.则（ ）
A.经过7.64天以后，氡元素会全部消失
B.经过15.28天以后，氡元素变为原来的
C.a＝0.834
D.经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的
解析：BC 因为7.64＝2×3.82，所以经过7.64天以后，氡元素变为原来的，A错误；经过3.82天以后剩下的氡元素是原来的，经过7.64天以后剩下的氡元素是原来的，所以经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的2倍，D错误；要使得氡元素变为原来的＝，需要经过4×3.82＝15.28天，B正确；因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，所以a3.82＝，因为0.8347.64＝（0.8343.82）2＝，所以0.8343.82＝，所以a＝0.834，C正确.故选B、C.
8.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为5.
解析：∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f（t）＝aent满足f（5）＝ae5n＝a，即5n＝ln ，得 n＝ln ，若k秒后甲桶中的水只有升，即f（k）＝，即·kln ＝ln ＝2ln ，得k＝10，故 m＝10－5＝5.
9.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度（J） 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b（其中a，b为常数），则a的值为.（取lg 2≈0.3进行计算）
解析：由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2.
则两式相减得0.2＝alg ，即0.2＝alg 2.所以a＝≈＝.
10.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（分贝）由公式D＝alg I＋b（a，b为非零常数）给出，其中I（W/cm2）为声音能量.
（1）当声音强度D1，D2，D3满足D1＋2D2＝3D3时，求对应的声音能量I1，I2，I3满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话时，声音能量为10－13 W/cm2，声音强度为30分贝；当人们正常说话时，声音能量为 10－12 W/cm2，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100～120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
解：（1）∵D1＋2D2＝3D3，
∴alg I1＋b＋2（alg I2＋b）＝3（alg I3＋b），
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3，∴I1·＝.
（2）由题意得解得
∴100＜10lg I＋160＜120，∴10－6＜I＜10－4.
故当声音能量I∈（10－6，10－4）时，人会暂时性失聪.
11.一渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼将很快失去新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t（分钟）满足的函数关系式为h（t）＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后失去全部新鲜度？（取lg 2≈0.3，结果取整数）（ ）
A.33分钟 B.40分钟
C.43分钟 D.50分钟
解析：C 由题意得解得a＝，m＝0.05，故h（t）＝0.05×，令h（t）＝0.05×＝1，得＝20，故t＝＝≈≈43（分钟），故选C.
12.〔多选〕几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p（x）（单位：万元）与每月投入的研发经费x（单位：万元）有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时，p（x）＝－x2＋6x－20，研发利润率y＝×100%.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B.要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润
C.要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D.要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元
解析：BC 由p（x）＝－x2＋6x－20＝－（x－15）2＋25，所以当投入15万元时，月利润最大，所以需再投入6万元研发经费，故B正确，D错误；研发利润率y＝×100%＝－x＋6－＝－＋6，又＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝10时，利润率最大，所以需再投入研发经费1万元，可获得最大利润率，故A错误，C正确.故选B、C.
13.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年.（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30）
答案：2027
解析：设2023年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130（1＋12%）n.由130（1＋12%）n＞200，得1.12n＞，两边取对数，得n·lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，所以n＞≈＝3.8，又n∈N*，所以n≥4，所以从2027年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
14.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝1＋（k为正常数），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q（x）/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元.
（1）求k的值；
（2）给出以下四种函数模型：①Q（x）＝ax＋b；②Q（x）＝a｜x－25｜＋b；③Q（x）＝a·bx；④Q（x）＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）求该小物品的日销售收入（单位：元）f（x）的最小值.
解：（1）依题意知第10天的日销售收入为P（10）·Q（10）＝×110＝121，解得k＝1.
（2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q（x）＝a｜x－25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q（x）＝125－｜x－25｜（1≤x≤30，x∈N*）.
（3）由（2）知Q（x）＝125－｜x－25｜
＝
所以f（x）＝P（x）·Q（x）＝
当1≤x＜25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25）上单调递增，所以当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x单调递减，所以当x＝30时，f（x）取得最小值，f（x）min＝124.
综上所述，当x＝10时，f（x）取得最小值，f（x）min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
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