5.7 三角函数的应用
课标要求
1.会用三角函数解决简单的实际问题（数学运算）.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型（数学建模）.
情境导入
周期现象是自然界中最常见的现象之一，如潮涨潮落、月圆月缺、四季交替等.三角函数作为描述现实世界中周期现象的重要数学模型有着广泛的应用.这一节将利用三角函数研究关于周期现象的简单的实际问题.
知识点一｜三角函数在物理中的应用
问题 （1）现实生活中有大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等等，这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动，在物理学中，把这样的运动称为什么运动？
提示：简谐运动.
（2）在适当的坐标系下，简谐运动可以用什么函数模型表示？
提示：可以用三角函数模型y＝Asin（ωx＋φ），x∈[0，＋∞）表示，其中A＞0，ω＞0.
（3）A表示什么？
提示：A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离.
【知识梳理】
函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0中参数的物理意义
【例1】 振动量函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的初相和频率分别为－π和，则它的运动周期为，相位是3πx－π.
解析：因为频率f＝，所以T＝＝，所以ω＝＝3π，所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
【规律方法】
处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
训练1 弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的（ ）
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz
解析：B 振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s，频率f＝＝＝ Hz.
知识点二｜三角函数在日常生活中的应用
【例2】 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的图象.2025年1月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
（1）请推理该地区该时段的温度函数y＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π，t∈[0，24））的表达式；
解：由题意知解得易知＝14－2，∴T＝24，∴ω＝，
由×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，｜φ｜＜π得φ＝－，
∴y＝8sin（t－）＋6.
（2）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解：当t＝9时，y＝8sin（×9－）＋6＝8sin＋6＜8sin＋6＝10，
∴届时学校后勤应该开空调.
【规律方法】
解三角函数应用问题的基本步骤
训练2 如图所示，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动.摩天轮上一点P自最低点A点起经过t min后，点P的高度h＝40sin（t－）＋50（单位：m），那么P的高度在距地面70 m以上的时间为4 min.
解析：由题意h＝40sin（t－）＋50＞70，sin（t－）＞，2kπ＋＜t－＜2kπ＋，k∈Z，12k＋4＜t＜12k＋8，k∈Z，取k＝0，则4＜t＜8，8－4＝4.
知识点三｜三角函数模型的拟合
【例3】 某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：时）呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
（1）作散点图；
解：散点图如图所示.
（2）从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Atan（ωt＋φ）中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
解：由（1）知选择模型y＝Asin（ωt＋φ）＋b比较合适.
令A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π.
结合图象可知：A＝0.4，b＝1，T＝12，
∴ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin（t＋φ）＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1（0≤t≤24）.
（3）如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间.
解：∵y＝0.4sint＋1≥0.8，
∴sint≥－，
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ（k∈Z），
即12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z），注意到t∈[0，24]，
∴0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时～19时训练较为恰当.
【规律方法】
处理数据拟合和预测问题的几个步骤
（1）根据原始数据，绘出散点图；
（2）通过散点图，作出“最贴近”的曲线，即拟合曲线；
（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数关系式；
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
训练3 （2025·三门峡期末）一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，其中最小位移为－4.0 cm，则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为y＝－4cost（t≥0）.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解析：设y＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0），则从题表中可得到A＝4，ω＝＝＝.又由4sin φ＝－4.0，可得sin φ＝－1，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，可取φ＝－，则y＝4sin（t－），即y＝－4cost（t≥0）.
1.简谐运动y＝4sin（5x－）的相位与初相是（ ）
A.5x－， B.5x－，4
C.5x－，－ D.4，
解析：C 相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.
2.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由下列两式确定：s1＝5sin（2t＋），s2＝5cos（2t－），则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（ ）
A.s1＞s2 B.s1＜s2
C.s1＝s2 D.不能确定
解析：C 当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2，故选C.
3.某人的血压满足函数式f（t）＝24sin 150πt＋110，其中f（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为75.
解析：因为f（t）＝24sin 150πt＋110，所以T＝＝＝，f＝＝75，所以此人每分钟心跳的次数为75.
4.交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用E＝220sin（100πt＋）来表示，求：
（1）开始时电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔.
解：（1）当t＝0时，E＝110（V），即开始时的电压为110 V.
（2）T＝＝（s），即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02 s.
课堂小结
1.理清单 （1）三角函数在物理中的应用； （2）三角函数在日常生活中的应用； （3）三角函数模型的拟合. 2.应体会 解决实际问题进行数学建模，拟合函数模型注意数形结合. 3.避易错 选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题.
1.函数y＝sin（x＋）的周期、振幅、初相分别是（ ）
A.3π，， B.6π，，
C.3π，3，－ D.6π，3，
解析：B 周期为T＝＝6π，振幅为A＝，初相为.
2.（2025·永州期中）音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝·sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（ ）
A.200 B.400
C.200π D.400π
解析：D 由图象可得，ω＞0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
3.电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的关系式是I＝5sin（100πt＋），t∈[0，＋∞），则当t＝ s时，电流强度I为（ ）
A.5 A B.2.5 A
C.2 A D.－5 A
解析：B 将t＝代入I＝5sin（100πt＋），得I＝2.5 A.
4.（2025·张家港期中）商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某商场一天的人流量满足函数F（t）＝50＋4sin（t≥0），则人流量增加的时间段是（ ）
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
解析：C 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F（t）的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π].因为[10，15] [3π，5π]，故选C.
5.〔多选〕（2025·深圳期末）如图，一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y＝Asin（ωx＋φ）＋2（A＞0），则有（ ）
A.ω＝ B.A＝3
C.ω＝ D.A＝5
解析：BC 由题意知水轮上的点P到水面最大距离为r＋2，因为y＝Asin（ωx＋φ）＋2的最大值为A＋2，所以A＝r＝3，又因为水轮每分钟逆时针旋转4圈，ω＝＝，故选B、C.
6.〔多选〕如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
解析：ABD 由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8 s；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
7.用作调频无线电信号的载波以y＝Asin（1.83×108πt）为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为1.09×10－8 秒（保留3位有效数字），频率为9.15×107 Hz.
解析：由题意可得，该载波的周期为T＝≈1.09×10－8（秒），频率为f＝＝9.15×107（Hz）.
8.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的弧长s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝6sin（2πt＋），那么单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，因为s＝6sin（2πt＋）的最小正周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
9.函数f（n）＝200cos（n＋）＋300（n∈{1，2，3，…，12}，n为月份）近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n＝8时，游客流量最大.
解析：因为n∈{1，2，3，…，12}，所以＋∈{，π，，，，，，2π，，，，}，所以当＋＝2π，即n＝8时，cos（＋）取最大值1，所以n＝8时，f（n）取最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以n＝8时，游客流量最大.
10.心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P（t）＝115＋25sin 160πt，其中P（t）为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题：
（1）求函数P（t）的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.
解：（1）把ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝（min）.
（2）函数P（t）的频率f＝＝80（次/min），即此人每分钟心跳的次数为80.
（3）此人的收缩压为115＋25＝140（mmHg），舒张压为115－25＝90（mmHg），与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高.
11.（2025·辽宁实验中学月考）有一冲击波，其波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
解析：C 由y＝－sinx的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7.故选C.
12.〔多选〕由物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y（cm）与时间t（s）的关系符合函数y＝Asin（ωt＋φ）（0＜ω＜100）.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01 s，将照片按拍照时间的先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的照片的编号可以是（ ）
A.6 B.9
C.12 D.15
解析：AC 由13－1＝17－5＝12，得T＝12×0.01＝0.12，所以ω＝＝.由＝＝9，可得当t＝0.09 s时，y取得最值.代入y＝Asin（t＋φ），可得sin（×0.09＋φ）＝±1，解得φ＝nπ，n∈Z，所以y＝Asin（t＋nπ），n∈Z.令y＝0，得t＋nπ＝mπ，m，n∈Z，则t＝0，0.06，0.12，0.18，…，所以小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为6，12，18，…，故选A、C.
13.（2025·西安期中）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P（t）＝Asin（ωπt＋）＋60（单位：美元）（A＞0，ω＞0），现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150（单位：天）时达到最低油价，则ω的最小值为.
解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P（t）＝Asin（ωπt＋）＋60，最高油价80美元，所以A＝20.当t＝150时达到最低油价，即sin（150ωπ＋）＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω＞0，所以令k＝1，得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.故ω的最小值为.
14.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin（x－）＋20，x∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解：（1）因为4≤x≤16，所以≤x≤2π，－≤x－≤，
所以当x－＝－，即x＝6时函数取得最小值为－10＋20＝10（℃），
当x－＝，即x＝14时函数取得最大值为10＋20＝30（℃），
所以最大温差为30－10＝20（℃）.
（2）令10sin（x－）＋20＝15，则sin（x－）＝－，
由于－≤x－≤，所以x－＝－，x＝.
令10sin（x－）＋20＝25，则sin（x－）＝，
由于－≤x－≤，所以x－＝，x＝.
所以该细菌的存活时间为－＝小时.
15.投资市场中，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝asin（ωx＋φ）＋20（a＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20），（44，12）.
（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数表达式；
（2）请你帮老张确定虚线DEF段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？
解：（1）由题图以及B，D两点的纵坐标可知a＝20－12＝8，由＝12可得T＝48，则ω＝＝.
由×24＋φ＝＋2kπ（k∈Z），解得φ＝＋2kπ（k∈Z），又0＜φ＜π，所以φ＝，
所以ABC段的函数表达式为y＝8sin（x＋）＋20＝8cos x＋20，x∈[0，24].
（2）由题意结合对称性可知，虚线DEF段的函数表达式为y＝8cos［（68－x）］＋20，x∈[44，68].
（3）由8cos［（68－x）］＋20＝24，解得x＝60，所以买入60－44＝16天后，股票至少是买入价的两倍.
1 / 25.7 三角函数的应用
1.函数y＝sin（x＋）的周期、振幅、初相分别是（ ）
A.3π，， B.6π，，
C.3π，3，－ D.6π，3，
2.（2025·永州期中）音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝·sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（ ）
A.200 B.400
C.200π D.400π
3.电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的关系式是I＝5sin（100πt＋），t∈[0，＋∞），则当t＝ s时，电流强度I为（ ）
A.5 A B.2.5 A
C.2 A D.－5 A
4.（2025·张家港期中）商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某商场一天的人流量满足函数F（t）＝50＋4sin（t≥0），则人流量增加的时间段是（ ）
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
5.〔多选〕（2025·深圳期末）如图，一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y＝Asin（ωx＋φ）＋2（A＞0），则有（ ）
A.ω＝ B.A＝3
C.ω＝ D.A＝5
6.〔多选〕如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
7.用作调频无线电信号的载波以y＝Asin（1.83×108πt）为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为 秒（保留3位有效数字），频率为 Hz.
8.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的弧长s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝6sin（2πt＋），那么单摆来回摆动一次所需的时间为 .
9.函数f（n）＝200cos（n＋）＋300（n∈{1，2，3，…，12}，n为月份）近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n＝ 时，游客流量最大.
10.心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P（t）＝115＋25sin 160πt，其中P（t）为血压（mmHg），t为时间（min），试回答下列问题：
（1）求函数P（t）的周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.
11.（2025·辽宁实验中学月考）有一冲击波，其波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
12.〔多选〕由物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y（cm）与时间t（s）的关系符合函数y＝Asin（ωt＋φ）（0＜ω＜100）.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01 s，将照片按拍照时间的先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的照片的编号可以是（ ）
A.6 B.9
C.12 D.15
13.（2025·西安期中）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P（t）＝Asin（ωπt＋）＋60（单位：美元）（A＞0，ω＞0），现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150（单位：天）时达到最低油价，则ω的最小值为 .
14.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin（x－）＋20，x∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
15.投资市场中，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝asin（ωx＋φ）＋20（a＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述，并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20），（44，12）.
（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数表达式；
（2）请你帮老张确定虚线DEF段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？
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