培优课 辅助角公式及几何问题中的三角解法
1.cos 15°－4sin215°cos 15°＝（ ）
A. B.
C.1 D.
2.已知α∈（0，π），且sin α－cos α＝2，则tan α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
3.（2025·临沂期中）函数f（x）＝sin x－cos x（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝－
4.（2025·南昌期末）若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是（ ）
A.[2，6] B.[－6，6]
C.（2，6） D.[2，4]
5.（2025·南京期末）“α是第二象限角”是“－1＜sin α＋cos α＜1”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.〔多选〕（2025·宜宾期中）设函数f（x）＝cos x－sin x，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为2π
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x＋π）的一个零点为x＝
D.f（x）在（，π）上单调递减
7.〔多选〕（2025·盐城期中）已知函数f（x）＝sin x＋cos x－1，则（ ）
A.f（x）图象的对称中心为（＋kπ，－1）（k∈Z）
B.f（x）图象的对称轴方程为x＝－＋kπ（k∈Z）
C.f（x）的增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）
D.f（x）的最大值是1，最小值是－3
8.若存在x∈R，使3cos x＝4sin x＋k成立，则实数k的取值范围是 .
9.若函数f（x）＝asin x－cos x的一个零点是，则函数y＝f（x）的最大值为 .
10.（2025·石家庄期中）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为 .
11.早在两千多年前，我国数学专著《九章算术》中，就提出了宛田（扇形面积）的计算方法，“以径乘周，四而一”（直径与弧长乘积的四分之一）.已知半径为r的扇形的弧长为2π，面积为π，若a2＋b2＝r2，则函数y＝acos2x＋bsin xcos x－－1的最小值为 .
12.已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋sin（2x－）＋cos 2x＋a（其中a∈R，a为常数）.
（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
（2）若x∈［0，］时，f（x）的最小值为－3，求a的值.
13.如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
（1）将十字形的面积表示为θ的函数；
（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
1 / 2重点解读
掌握辅助角公式的推导和意义，能够运用辅助角公式解决某些三角问题；进一步提高数学逻辑思维能力、推理能力、分析问题和解决问题的能力；提高学习数学的兴趣.
一、辅助角公式
【例1】 函数f（x）＝asin x＋bcos x图象的一条对称轴为直线x＝，则＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：C 由题意可得a≠0，b≠0，f（x）＝asin x＋bcos x＝sin（x＋φ），其中tan φ＝，φ∈[0，2π），由函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝，即有＋φ＝＋kπ（k∈Z），即φ＝＋kπ（k∈Z），又φ∈[0，2π），故φ＝，故＝＝＝，故选C.
【规律方法】
f（α）＝asin α＋bcos α＝sin（α＋φ）叫做辅助角公式，其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝.
训练1 当函数y＝sin x－cos x（0≤x≤2π）取得最大值时，x＝.
解析：∵y＝2（sin x－cos x）＝2sin（x－），又∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤，∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
二、辅助角公式的应用
【例2】 已知函数f（x）＝cos（＋x）cos（－x），g（x）＝sin 2x－.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
解：f（x）＝（cos x－sin x）·（cos x＋sin x）
＝cos2x－sin2x＝－＝cos 2x－，
∴f（x）的最小正周期为T＝＝π.
（2）求函数h（x）＝f（x）－g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值时x的集合.
解：h（x）＝f（x）－g（x）＝cos 2x－sin 2x＝cos（2x＋），
当2x＋＝2kπ（k∈Z）时，h（x）有最大值，
此时x的取值集合为{x｜x＝kπ－，k∈Z}.
【规律方法】
应用辅助角公式解决三角函数综合问题的步骤
训练2 已知函数f（x）＝sin2x－sin2（x－），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
解：由已知，得f（x）＝－＝（cos 2x＋sin 2x）－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin（2x－），
所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.
（2）求f（x）在区间［－，］上的最大值和最小值.
解：因为x∈［－，］，所以2x－∈［－，］，
所以f（x）在区间［－，－］上单调递减，在区间［－，］上单调递增，
且f（－）＝－，f（－）＝－，f（）＝，
所以f（x）在区间［－，］上的最大值为，最小值为－.
三、几何问题中的三角解法
【例3】 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）.
解：如图，连接OC，
设∠COB＝θ，
则0°＜θ＜45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（cos θ－sin θ）·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－（1－cos 2θ）＋sin 2θ
＝（sin 2θ＋cos 2θ）－＝cos（2θ－45°）－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，（S矩形ABCD）max＝（m2），
所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
【规律方法】
解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当表示题中的有关量，将几何问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
训练3 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？
解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，
所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α＝R（sin α＋cos α）＋R＝Rsin（α＋）＋R.
因为0＜α＜，所以＜α＋＜，
所以当α＋＝，即α＝时，l的最大值为R＋R＝（＋1）R，
故当α＝时，△OAB的周长最长.
1.cos 15°－4sin215°cos 15°＝（ ）
A. B.
C.1 D.
解析：D cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝－2（sin 15°－cos 15°）＝－2sin（－45°）＝.
2.已知α∈（0，π），且sin α－cos α＝2，则tan α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：B 由sin α－cos α＝2，得sin α－cos α＝1，即sin（α－）＝1，由α∈（0，π），得α－∈（－，），则α－＝，即α＝，所以tan α＝tan＝－tan＝－.故选B.
3.（2025·临沂期中）函数f（x）＝sin x－cos x（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝－
解析：B 由题意可知：f（x）＝sin x－cos x＝sin（x－），令x－＝kπ＋ x＝kπ＋（k∈Z），对于A，显然不能存在k∈Z，使得x＝kπ＋＝，故A错误；对于B，显然k＝－1时，使得x＝kπ＋＝－，故B正确；对于C，显然不能存在k∈Z，使得x＝kπ＋＝，故C错误；对于D，显然不能存在k∈Z，使得x＝kπ＋＝－，故D错误.故选B.
4.（2025·南昌期末）若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是（ ）
A.[2，6] B.[－6，6]
C.（2，6） D.[2，4]
解析：A ∵sin x＋cos x＝4－m，∴sin x＋cos x＝，∴sinsin x＋cos·cos x＝，∴cos（x－）＝.∵－1≤cos（x－）≤1，∴－1≤≤1，∴2≤m≤6.
5.（2025·南京期末）“α是第二象限角”是“－1＜sin α＋cos α＜1”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：A sin α＋cos α＝sin（α＋），若α是第二象限角，即2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，有2kπ＋＜α＋＜2kπ＋，k∈Z，则有－＜sin（α＋）＜，所以－1＜sin（α＋）＜1，即－1＜sin α＋cos α＜1，故充分性成立；当α＝－时，sin α＋cos α＝0，满足－1＜sin α＋cos α＜1，但α是第四象限角，故必要性不成立，所以“α是第二象限角”是“－1＜sin α＋cos α＜1”的充分不必要条件.故选A.
6.〔多选〕（2025·宜宾期中）设函数f（x）＝cos x－sin x，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为2π
B.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x＋π）的一个零点为x＝
D.f（x）在（，π）上单调递减
解析：AB f（x）＝cos x－sin x＝2（cos x－sin x）＝2cos（x＋），所以f（x）的最小正周期为2π，A选项正确；cos（＋）＝cos 3π＝cos（2π＋π）＝cos π＝－1，所以y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，B选项正确；f（x＋π）＝2cos（x＋π＋）＝2cos（x＋），当x＝时，2cos（＋）＝2cos＝1，所以C选项错误；因为＜x＜π，＜x＋＜，所以f（x）在区间（，π）上不单调，所以D选项错误.故选A、B.
7.〔多选〕（2025·盐城期中）已知函数f（x）＝sin x＋cos x－1，则（ ）
A.f（x）图象的对称中心为（＋kπ，－1）（k∈Z）
B.f（x）图象的对称轴方程为x＝－＋kπ（k∈Z）
C.f（x）的增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）
D.f（x）的最大值是1，最小值是－3
解析：ACD f（x）＝sin x＋cos x－1＝2sin（x＋）－1.对于A，令x＋＝kπ＋π（k∈Z），解得x＝＋kπ（k∈Z），此时f（x）＝－1，f（x）的对称中心为（＋kπ，－1）（k∈Z），A正确；对于B，令x＋＝kπ＋（k∈Z），解得x＝kπ＋（k∈Z），f（x）的对称轴为x＝kπ＋（k∈Z），B错误；对于C，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z），f（x）的增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z），C正确；对于D，∵sin（x＋）∈[－1，1]，∴2sin（x＋）－1∈[－3，1]，f（x）最大值是1，最小值是－3，D正确.故选A、C、D.
8.若存在x∈R，使3cos x＝4sin x＋k成立，则实数k的取值范围是[－5，5].
解析：若存在x∈R，使3cos x＝4sin x＋k成立，即－k＝4sin x－3cos x＝5sin（x＋φ），其中tan φ＝－，由于y＝5sin（x＋φ）的值域为[－5，5]，则－5≤－k≤5，则－5≤k≤5.
9.若函数f（x）＝asin x－cos x的一个零点是，则函数y＝f（x）的最大值为2.
解析：由题意f（）＝asin－cos＝0，所以a＝1，所以f（x）＝sin x－cos x＝2（sin x－cos x）＝2sin（x－），又sin（x－）∈[－1，1]，所以f（x）∈[－2，2]，故f（x）的最大值为2.
10.（2025·石家庄期中）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为 （，）.
解析：设∠POQ＝θ（0＜θ＜），则PQ＝sin θ，OQ＝cos θ，∴S△POQ＝sin θcos θ＝sin 2θ，由sin 2θ＞，得sin 2θ＞.又2θ∈（0，π），∴＜2θ＜，则＜θ＜，∴∠POQ的取值范围为（，）.
11.早在两千多年前，我国数学专著《九章算术》中，就提出了宛田（扇形面积）的计算方法，“以径乘周，四而一”（直径与弧长乘积的四分之一）.已知半径为r的扇形的弧长为2π，面积为π，若a2＋b2＝r2，则函数y＝acos2x＋bsin xcos x－－1的最小值为－.
解析：由二倍角公式得y＝a（）＋bsin 2x－－1＝cos 2x＋sin 2x－1，又由辅助角公式可得cos 2x＋sin 2x－1＝sin（2x＋φ）－1＝sin（2x＋φ）－1，其中sin φ＝，cos φ＝，设扇形弧长为l，又因为扇形的面积S＝lr，解得r＝1，所以由正弦函数的图象可得函数y＝sin（2x＋φ）－1的最小值为－.
12.已知函数f（x）＝sin（2x＋）＋sin（2x－）＋cos 2x＋a（其中a∈R，a为常数）.
（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
（2）若x∈［0，］时，f（x）的最小值为－3，求a的值.
解：（1）f（x）＝sin（2x＋）＋sin（2x－）＋cos 2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋sin 2x－cos 2x＋cos 2x＋a
＝sin 2x＋cos 2x＋a＝2sin（2x＋）＋a，
所以函数的最小正周期为T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），
得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
（2）因为x∈［0，］，
所以2x＋∈［，］，
所以当2x＋＝，即x＝时，f（x）取最小值，
所以2sin（2×＋）＋a＝－3，即－1＋a＝－3.
所以a＝－2.
13.如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y＞x＞0.
（1）将十字形的面积表示为θ的函数；
（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）设S为十字形的面积，则S＝2xy－x2（0＜x＜y），
又圆O的直径为1，则x＝cos θ，y＝sin θ，因为0＜x＜y，所以0＜cos θ＜sin θ，所以tan θ＞1.
从而θ∈（，）.
故S＝2sin θcos θ－cos2θ（＜θ＜）.
（2）S＝2sin θcos θ－cos2θ＝sin 2θ－
＝sin 2θ－cos 2θ－＝sin（2θ－α）－（＜θ＜）.
其中tan α＝，α∈（0，）.
所以当sin（2θ－α）＝1，即θ＝＋时，S最大，且最大值为.
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