重点解读
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，解答时通常将方程思想与待定系数法相结合.本文结合最近几年高考命题规律，对求解参数问题进行分类解析.
一、由三角函数的最值求参数
【例1】 如果f（x）＝sin 2x＋acos 2x，x∈R，且f（x）在x＝－时取得最大值，则实数a的值为－1.
解析：∵x＝－时f（x）取得最大值，∴f（x）关于x＝－对称，∴f（－＋x）＝f（－－x）对 x∈R均成立.令x＝－代入上式，有f（－）＝f（0），∴f（－）＝sin［2×（－）］＋acos［2×（－）］＝－sin＋acos＝－1，f（0）＝sin 0＋acos 0＝a，∴a＝－1.
【规律方法】
求形如y＝asin x＋b（或y＝acos x＋b）型三角函数中的参数a，b的值时，一般利用正弦（余弦）函数的有界性列方程组求解，注意参数a的正负.
训练1 为了使函数y＝cos ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现5次最大值，则ω的最小值为（ ）
A.4π B.8π
C.10π D.12π
解析：B 由题意知：ωx∈[0，ω]，又y＝cos x在[0，＋∞）上的最大值依次在x＝0，2π，4π，6π，8π，10π，…处取得，要至少出现5次最大值，可得ω≥8π，ωmin＝8π，故选B.
二、由三角函数的图象求参数
【例2】 已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（，0）和（，0），则函数f（x）＝tan（x－）
解析：由题意可得f（x）的周期为T＝－＝＝，所以ω＝，得f（x）＝tan（x＋φ），又其图象过点（，0），所以tan（×＋φ）＝0，即tan（＋φ）＝0，所以＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ－，k∈Z，又｜φ｜＜，所以φ＝－.所以f（x）＝tan（x－）.
【规律方法】
由三角函数的图象求参数一般涉及A、ω、φ：
（1）A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定；
（2）ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定；
（3）φ可由某关键点、线确定.
训练2 已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－π≤φ＜π）的图象如图所示，则ω＝ ，φ＝ .
答案： π
解析：由图象可知ω＝，当x＝2π时，y＝1，∴×2π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φ＜π，∴φ＝π.
三、由三角函数的奇偶性求参数
【例3】 已知函数f（x）＝sin（x＋＋φ）是奇函数，则φ的值可以是（ ）
A.0 B.－
C. D.π
解析：B 法一 f（x）＝sin（x＋＋φ）为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－满足题意.
法二 因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即sin（＋φ）＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，则φ＝－.
【规律方法】
由三角函数的奇偶性求参数φ的思路
（1）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ（k∈Z）；
（2）要使y＝Asin（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）；
（3）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ＋（k∈Z）；
（4）要使y＝Acos（ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ（k∈Z）.
训练3 函数y＝3cos（2x＋φ）是奇函数，则｜φ｜的最小值是.
解析：因为y＝3cos（2x＋φ）是奇函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，｜φ｜取得最小值.
四、由三角函数的对称性求参数
【例4】 已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜）的最小正周期为π，且关于（，0）中心对称，则φ＝－.
解析：因为f（x）的最小正周期为π，所以T＝＝π，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋φ）.又f（x）关于（，0）中心对称，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，又0＜｜φ｜＜，所以取k＝0，得φ＝－.
【规律方法】
由三角函数的对称性求参数φ的思路
（1）对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ），应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋（k∈Z），求出φ的值；
（2）对于函数y＝tan（ωx＋φ），令ωx＋φ＝（k∈Z），求出φ的值.
训练4 已知函数y＝sin（2x＋φ）（－＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，则φ的值是－
解析：由题意可得sin（π＋φ）＝±1，所以π＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ（k∈Z），因为－＜φ＜，所以k＝0，φ＝－.
五、由三角函数的单调性求参数
【例5】 已知函数y＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，则ω的取值范围是（0，］.
解析：函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，当－＜x＜时，－＋＜ωx＋＜＋，∵当x＝0时，ωx＋＝，由于函数y＝sin（ωx＋）（ω＞0）在区间（－，）上单调递增，∴解得ω≤，∵ω＞0，∴0＜ω≤，因此，ω的取值范围是（0，］.
【规律方法】
对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程（不等式组）求解.
训练5 已知函数f（x）＝sin（2x＋）在区间[0，a]（a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：A 令t＝2x＋，因为0≤x≤a，故≤t≤2a＋，因为f（x）在[0，a]上单调递增，故y＝sin t在［，2a＋］上单调递增，故2a＋≤即0＜a≤，故选A.
1.已知函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于点（，0）对称，则φ的可能取值为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：C 因为函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于点（，0）对称，所以2×＋φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝kπ－（k∈Z）.结合选项，当k＝0时，φ＝－.
2.f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［0，］上单调递增，在［，］上单调递减，则ω＝（ ）
A.2 B.
C. D.
解析：D 当x＝时，函数f（x）取得最大值，则sin＝1，所以＝2kπ＋（k∈Z），所以ω＝6k＋，k∈Z，又ω＞0，结合选项ω＝.
3.已知直线x＝和x＝是曲线f（x）＝sin（ωx＋φ）（－π＜φ≤π）的两条对称轴，且函数f（x）在（，）上单调递减，则φ＝（ ）
A.－ B.0
C. D.π
解析：A 由f（x）在（，）上单调递减可知，f（）是最小值，由两条对称轴为直线x＝和x＝可知，直线x＝0也是对称轴，且f（0）＝－1为最小值，故sin φ＝－1.又－π＜φ≤π，解得φ＝－.
4.已知函数f（x）＝2sin的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－a的值一定不可能是（ ）
A.π B.2π
C.π D.π
解析：D ∵f（x）＝2sin的定义域为[a，b]且值域为[－1，2].则[a，b]不是f（x）的一个周期，即b－a＜4π，由选项知＞4π，故b－a一定不可能是D.
5.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的最小正周期为2，且函数图象过点（，1），若f（x）在区间[－2，a]内有4个零点，则a的取值范围为（ ）
A.［，） B.（，］
C.［，） D.（，］
解析：A 由最小正周期T＝2＝，得ω＝π.因为函数f（x）的图象过点（，1），所以sin（＋φ）＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.因为｜φ｜＜π，所以φ＝，所以f（x）＝sin（πx＋）.当x∈[－2，a]时，πx＋∈［－，πa＋］，因为f（x）在[－2，a]内有4个零点，所以2π≤πa＋＜3π，所以≤a＜，所以a的取值范围为［，）.
6.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤，则称f（x）为“近轴函数”.若函数y＝2sin（2x－φ）是“近轴函数”，则φ的取值范围是（ ）
A.［，］
B.［－，－］∪［，］
C.［－，－］
D.［－，］
解析：B y＝2sin（2x－φ）靠近原点的对称轴为x＝x0，则2x0－φ＝± x0＝±，要为近轴函数，则｜x0｜≤，∵｜±｜＞，∴φ＞0，x0＝－，φ＜0，x0＝＋，
∴或
解得φ∈［－，－］∪［，］.
7.〔多选〕（2025·眉山期末）设ω＞0，函数f（x）＝－2sin（ωx－）在区间（0，］上有零点，则ω的值可以是（ ）
A. B.
C. D.
解析：BCD f（x）＝－2sin（ωx－），令ωx－＝kπ，解得x＝＋，k∈Z；因为ω＞0，取k＝0，所以0＜≤，即ω≥，故选B、C、D.
8.〔多选〕已知函数f（x）＝3sin（ωx＋）（ω＞0）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为2π
B.f（x）的图象关于点（－，0）对称
C.f（x）在（－，）上单调递减
D.f（x）的图象关于直线x＝对称
解析：BD 因为f（x）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为，所以＝，即T＝π，选项A错误；由T＝＝π，得ω＝2，即f（x）＝3sin（2x＋），因为f（－）＝3sin（－＋）＝3sin 0＝0，所以f（x）的图象关于点（－，0）对称，选项B正确；当－＜x＜时，有－＜2x＋＜，所以f（x）＝3sin（2x＋）在（－，）上单调递增，选项C错误；因为f（）＝3sin（＋）＝3sin＝－3，所以f（x）的图象关于直线x＝对称，选项D正确.
9.已知函数y＝tan ωx（ω＞0）在（－，）上单调递增，则ω的最大值为2
解析：∵－＜，∴由正切函数的单调性可得≥×2，且ω＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2.
10.（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是[2，3）.
解析：因为x∈[0，2π]，ω＞0，所以ωx∈[0，2ωπ].由f（x）＝0得cos ωx＝1，从而要使f（x）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则需4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3.
11.若函数f（x）＝cos ωx（ω＞0）在区间（2π，3π）内既没有最大值1，也没有最小值－1，则实数ω的取值范围是（0，］∪［，］∪{1}.
解析：当x∈（2π，3π）且ω＞0时，2πω＜ωx＜3πω.因为函数f（x）在区间（2π，3π）内既没有最大值1，也没有最小值－1，所以（2πω，3πω） （kπ，kπ＋π），其中k∈Z，所以（k∈Z），解得≤ω≤（k∈Z），由≤，可得k≤2.因为ω＞0且k∈Z，所以当k＝0时，0＜ω≤；当k＝1时，≤ω≤；当k＝2时，ω＝1.综上所述，实数ω的取值范围是（0，］∪［，］∪{1}.
12.设函数y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜），若函数图象与x轴的两个相邻的交点间的距离为，且图象关于点M（－，0）对称.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）求不等式－1＜f（x）＜的解集.
解：（1）由已知得函数的最小正周期为，
因而T＝＝，则ω＝2.
由2×（－）＋φ＝（k∈Z），
得φ＝＋（k∈Z）.
又0＜φ＜，则φ＝.
从而函数解析式为y＝tan（2x＋）.
（2）令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ（k∈Z），得－＋＜x＜＋（k∈Z），
从而函数的单调递增区间为（－＋，＋）（k∈Z），无单调递减区间.
（3）若－1＜f（x）＜，则－＋kπ＜2x＋＜＋kπ（k∈Z），
得－＋＜x＜＋（k∈Z），
因而不等式的解集为{x｜－＋＜x＜＋，k∈Z}.
13.已知函数f（x）＝asin（x＋）＋1－a（a∈R），x∈［0，］，定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（2）＝0.若g（f（x））＜0恒成立，求实数a的取值范围.
解：f（x）＝asin（x＋）＋1－a，根据已知条件，由g（x）＜0可得x∈（－∞，－2）∪（0，2）.
由题意，要使g（f（x））＜0恒成立，则f（x）∈（－∞，－2）或f（x）∈（0，2）恒成立.
若asin（x＋）＋1－a＜－2恒成立，
则a［sin（x＋）－1］＜－3.
∵x∈［0，］，∴sin（x＋）∈[1，].
当x＝0或x＝时，sin（x＋）－1＝0，a×0＝0＞－3.故这时的a不存在.
若0＜asin（x＋）＋1－a＜2恒成立，
则－1＜a［sin（x＋）－1］＜1.
只需a［sin（x＋）－1］的最大值和最小值同时在（－1，1）中，
即解得－1－＜a＜1＋.
综上，实数a的取值范围为{a｜－1－＜a＜1＋}.
1 / 6培优课 三角函数中的参数求解
1.已知函数y＝sin（2x＋φ）的图象关于点（，0）对称，则φ的可能取值为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
2.f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［0，］上单调递增，在［，］上单调递减，则ω＝（ ）
A.2 B.
C. D.
3.已知直线x＝和x＝是曲线f（x）＝sin（ωx＋φ）（－π＜φ≤π）的两条对称轴，且函数f（x）在（，）上单调递减，则φ＝（ ）
A.－ B.0
C. D.π
4.已知函数f（x）＝2sin的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－a的值一定不可能是（ ）
A.π B.2π
C.π D.π
5.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的最小正周期为2，且函数图象过点（，1），若f（x）在区间[－2，a]内有4个零点，则a的取值范围为（ ）
A.［，） B.（，］
C.［，） D.（，］
6.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）的图象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤，则称f（x）为“近轴函数”.若函数y＝2sin（2x－φ）是“近轴函数”，则φ的取值范围是（ ）
A.［，］
B.［－，－］∪［，］
C.［－，－］
D.［－，］
7.〔多选〕（2025·眉山期末）设ω＞0，函数f（x）＝－2sin（ωx－）在区间（0，］上有零点，则ω的值可以是（ ）
A. B.
C. D.
8.〔多选〕已知函数f（x）＝3sin（ωx＋）（ω＞0）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为2π
B.f（x）的图象关于点（－，0）对称
C.f（x）在（－，）上单调递减
D.f（x）的图象关于直线x＝对称
9.已知函数y＝tan ωx（ω＞0）在（－，）上单调递增，则ω的最大值为 .
10.（2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝cos ωx－1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 .
11.若函数f（x）＝cos ωx（ω＞0）在区间（2π，3π）内既没有最大值1，也没有最小值－1，则实数ω的取值范围是 .
12.设函数y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜），若函数图象与x轴的两个相邻的交点间的距离为，且图象关于点M（－，0）对称.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）求不等式－1＜f（x）＜的解集.
13.已知函数f（x）＝asin（x＋）＋1－a（a∈R），x∈［0，］，定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（2）＝0.若g（f（x））＜0恒成立，求实数a的取值范围.
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