章末检测（五） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.sin（－1 290°）的值为（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：A sin（－1 290°）＝sin（150°－360°×4）＝sin 150°＝，故选A.
2.cos（45°－α）cos（α＋15°）－sin（45°－α）sin（α＋15°）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：A 原式＝cos[（45°－α）＋（α＋15°）]＝cos 60°＝，故选A.
3.已知角α的终边经过点（－4，3），则cos（2α＋π）＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
解析：B 由题意知，r＝＝5，cos α＝＝－，cos（2α＋π）＝－cos 2α＝－（2cos2α－1），即cos（2α＋π）＝1－2×（－）2＝－，故选B.
4.如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，点B转过的角的弧度是（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 由题意可知，点B转过的角的弧度是×2π＝.故选B.
5.已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 由3cos 2α－8cos α＝5，得6cos2α－8cos α－8＝0，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2（舍去），又∵α∈（0，π），∴sin α＝＝.故选A.
6.将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（ ）
A. B.
C.0 D.－
解析：B y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得y＝sin［2（x＋）＋φ］＝sin（2x＋＋φ）.若该函数为偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，故φ＝kπ＋，k∈Z.当k＝0时φ＝.故选B.
7.函数f（x）＝（－＜x＜）的图象是（ ）
解析：A 因为f（x）＝（－＜x＜），所以f（）＝＝＞0，故排除C；f（－）＝＝－＜0，故排除B；而f（）＝＝＜＝f（），所以f（x）在（0，）上不可能单调递减，故排除D；因为排除了B、C、D，而A又满足上述性质，故A正确.故选A.
8.已知f（x）＝sin，ω＞0，｜φ｜＜，f（x）是奇函数，直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A.f（x）在上单调递减
B.f（x）在上单调递减
C.f（x）在上单调递增
D.f（x）在上单调递增
解析：A 因为f（x）是奇函数，所以φ＝0，所以f（x）＝sin ωx.又由已知得T＝，所以＝，所以ω＝4，所以f（x）＝sin 4x.由函数的解析式可知f（x）在上单调递减.故选A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列结论正确的是（ ）
A.－是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P（－3，4），则cos α＝－
D.若角α为锐角，则角2α为钝角
解析：AC A：－＋2π＝是第三象限角，故A正确；B：若圆心角为的扇形的弧长为，则半径r＝＝3，则该扇形的面积为S＝××3＝，故B错误；C：若角α的终边上有一点P（－3，4），则cos α＝＝－，故C正确；D：若角α为锐角，设α＝，则角2α＝，为直角，故D错误.故选A、C.
10.下列函数中最小正周期为π的有（ ）
A.y＝cos2 B.y＝｜sin x｜
C.y＝cos ｜2x｜ D.y＝tan（2x－）
解析：BC 选项A：y＝cos2＝，它的最小正周期为＝2π，不符合题意；选项B：函数y＝｜sin x｜的图象是把y＝sin x的图象中横轴下方的部分以横轴为对称轴翻折上去，而y＝sin x的最小正周期是2π，所以y＝｜sin x｜的最小正周期为π，符合题意；选项C：函数y＝cos｜2x｜的图象与y＝cos 2x的图象一样，而y＝cos 2x的最小正周期为＝π，故y＝cos ｜2x｜的最小正周期也是π，符合题意；选项D：y＝tan（2x－）的最小正周期为＝，不符合题意.故选B、C.
11.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与f（x）＝sin x＋cos x构成“互为生成函数”的有（ ）
A.f1（x）＝sin x＋
B.f2（x）＝（sin x＋cos x）
C.f3（x）＝sin x
D.f4（x）＝2cos（sin＋cos）
解析：AD f（x）＝sin x＋cos x＝sin（x＋），由f1（x）＝sin x＋，则将f1（x）的图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度即可与f（x）的图象重合；由f2（x）＝（sin x＋cos x）＝×sin（x＋）＝2sin（x＋），则f2（x）图象无法经过平移与f（x）的图象重合；由f3（x）＝sin x，则f3（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合； 由f4（x）＝2cos（sin＋cos）＝2cos·sin＋2cos2＝sin x＋cos x＋1＝sin（x＋）＋1，则将f4（x）的图象向下平移1个单位长度，与f（x）的图象重合.故A、D中的函数与f（x）“互为生成函数”.故选A、D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为－.
解析：由三角函数的定义得，tan α＝＝－，∴a＝－12，∴P（5，－12）.此时r＝13，∴sin α＝－，cos α＝，从而sin α＋cos α＝－.
13.已知函数f（x）＝sin 2x，若存在非零实数a，b使得f（x＋a）＝bf（x）对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝，b＝－1（答案不唯一）.（只需写出一组）
解析：当a＝时，f（x＋）＝sin（2x＋π）＝－sin 2x，即b＝－1，故当a＝，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对x∈R都成立.
14.已知函数f（x）＝2sin（2x＋）－m，x∈［0，］有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋2x2＋x3＝.
解析：由题意知，令f（x）＝0，得2sin（2x＋）＝m，令sin（2x＋）＝1，∵0≤x≤，则≤2x＋≤，可得2x＋＝或2x＋＝，解得x＝或x＝，令sin（2x＋）＝－1，可得2x＋＝，解得x＝，画出函数y＝2sin（2x＋）在区间［0，］内的图象以及函数y＝m的图象如图所示，
由图可知，x1，x2关于直线x＝对称，x2，x3关于直线x＝对称，所以x1＋2x2＋x3＝x1＋x2＋x2＋x3＝×2＋×2＝.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知cos α＝，α∈（0，）.
（1）求sin α，tan α的值；
（2）求＋cos（－α）tan（π＋α）的值.
解：（1）由cos α＝，α∈（0，），则sin α＝，tan α＝.
（2）原式＝＋sin αtan α＝－sin αtan α＋sin αtan α＝0.
16.（本小题满分15分）将自行车支起来，使后轮能平衡地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r.
（1）求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；
（2）当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象.
解：（1）过点P作x轴的垂线，设垂足为M（图略），则MP就是正弦线.
所以y＝rsin（ωt＋φ），因此P的运动周期T＝.
（2）当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin（t＋），其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到，
如图所示.
17.（本小题满分15分）已知＜α＜π，＜β＜π，cos α＝－，tan β＝－.
（1）求sin（α－）的值；
（2）求α＋β的值.
解：（1）因为＜α＜π，cos α＝－，所以sin α＝＝，
所以sin（α－）＝sin αcos－cos αsin＝×（－）－（－）×＝.
（2）因为＜β＜π，所以π＜α＋β＜2π.
由（1）可得tan α＝＝－.
因为tan β＝－，所以tan（α＋β）＝＝＝－1，故α＋β＝.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈［－，］时，求函数y＝f（x＋）－f（x＋）的最值.
解：（1）由题图可得，＝－＝，
∴T＝2π，则ω＝＝＝1，
由五点作图的第二点知，1×＋φ＝，则φ＝，
∴f（x）＝Asin（x＋），
又f（0）＝Asin＝2，得A＝4，
∴f（x）＝4sin（x＋）.
（2）将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应函数解析式为y＝4sin（2x＋），再将所得函数图象向右平移个单位长度，所得函数图象对应解析式为y＝4sin［2（x－）＋］，
∴g（x）＝4sin（2x－），
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴g（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
（3）y＝f（x＋）－f（x＋）
＝4sin（x＋＋）－4sin（x＋＋）＝4sin（x＋）－4cos x
＝4sin xcos＋4cos xsin－4cos x＝4sin（x－），
∵x∈［－，］，
∴x－∈［－，－］，
∴y＝f（x＋）－f（x＋）的最小值为－4，最大值为－2.
19.（本小题满分17分）对于函数f（x）（x∈D），若存在非零常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x＋T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T函数”，若对任意的x∈D，都有f（x＋T）＞f（x）成立，则称函数f（x）为“严格T函数”.
（1）求证：f（x）＝sin x，x∈R是“T函数”；
（2）若函数f（x）＝kx＋sin2x是“函数”，求k的取值范围；
（3）对于定义域为R的函数f（x），f（0）＝0.函数sinf（x）是奇函数，且对任意的正实数T，sinf（x）均是“严格T函数”.若f（a）＝，f（b）＝－，求a＋b的值.
解：（1）证明：取非零常数T＝2π，
则对任意的x∈R，都有f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＝sin x，
因为sin x≥sin x，即f（x＋T）≥f（x）成立，
故f（x）＝sin x，x∈R是“T函数”.
（2）函数f（x）＝kx＋sin2x是“函数”，D＝R，
则f（x＋）≥f（x），即k（x＋）＋sin2（x＋）≥kx＋sin2x，
整理得k≥－cos 2x，而cos 2x∈[－1，1]，
故k≥1，所以k≥，
即k的取值范围为［，＋∞）.
（3）因为对于任意x∈R，对任意的正实数T，都有f（x＋T）＞f（x）成立，
则f（x）在R上为增函数，
令g（x）＝sin f（x），x∈R，
由题意知g（x）＝sin f（x）为奇函数，
因为f（a）＝，f（b）＝－，
所以g（a）＝sin（f（a））＝1，g（b）＝sin（f（b））＝－1，
所以g（a）＋g（b）＝0，由奇函数的性质，则a＋b＝0.
1 / 2章末检测（五） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.sin（－1 290°）的值为（ ）
A. B.－
C. D.－
2.cos（45°－α）cos（α＋15°）－sin（45°－α）sin（α＋15°）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
3.已知角α的终边经过点（－4，3），则cos（2α＋π）＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
4.如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，点B转过的角的弧度是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（ ）
A. B.
C. D.
6.将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（ ）
A. B.
C.0 D.－
7.函数f（x）＝（－＜x＜）的图象是（ ）
8.已知f（x）＝sin，ω＞0，｜φ｜＜，f（x）是奇函数，直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A.f（x）在上单调递减
B.f（x）在上单调递减
C.f（x）在上单调递增
D.f（x）在上单调递增
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列结论正确的是（ ）
A.－是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P（－3，4），则cos α＝－
D.若角α为锐角，则角2α为钝角
10.下列函数中最小正周期为π的有（ ）
A.y＝cos2 B.y＝｜sin x｜
C.y＝cos ｜2x｜ D.y＝tan（2x－）
11.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与f（x）＝sin x＋cos x构成“互为生成函数”的有（ ）
A.f1（x）＝sin x＋
B.f2（x）＝（sin x＋cos x）
C.f3（x）＝sin x
D.f4（x）＝2cos（sin＋cos）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为 .
13.已知函数f（x）＝sin 2x，若存在非零实数a，b使得f（x＋a）＝bf（x）对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝ ，b＝ .（只需写出一组）
14.已知函数f（x）＝2sin（2x＋）－m，x∈［0，］有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋2x2＋x3＝ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知cos α＝，α∈（0，）.
（1）求sin α，tan α的值；
（2）求＋cos（－α）tan（π＋α）的值.
16.（本小题满分15分）将自行车支起来，使后轮能平衡地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r.
（1）求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；
（2）当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象.
17.（本小题满分15分）已知＜α＜π，＜β＜π，cos α＝－，tan β＝－.
（1）求sin（α－）的值；
（2）求α＋β的值.
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈［－，］时，求函数y＝f（x＋）－f（x＋）的最值.
19.（本小题满分17分）对于函数f（x）（x∈D），若存在非零常数T，使得对任意的x∈D，都有f（x＋T）≥f（x）成立，我们称函数f（x）为“T函数”，若对任意的x∈D，都有f（x＋T）＞f（x）成立，则称函数f（x）为“严格T函数”.
（1）求证：f（x）＝sin x，x∈R是“T函数”；
（2）若函数f（x）＝kx＋sin2x是“函数”，求k的取值范围；
（3）对于定义域为R的函数f（x），f（0）＝0.函数sinf（x）是奇函数，且对任意的正实数T，sinf（x）均是“严格T函数”.若f（a）＝，f（b）＝－，求a＋b的值.
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