5.1.1 任意角
课标要求
了解任意角
的概念，区分正角、负角与零角（数学抽象）.
2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合（逻辑推理）.
3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题（直观现象、数学运算）.
情境导入
如图所示，当摩天轮在持续不断地运转时.
（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
知识点一｜任意角的概念
问题1 （1）你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？
提示：手表慢5分钟，将分针顺时针方向旋转30°.
（2）假如你的手表快了1小时15分钟，你如何将它校准？
提示：手表快1小时15分钟，将分针逆时针方向旋转450°，即可校准.
（3）同学们思考一下，能否再举出几个生活中“大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角”的实例？
提示：①跳水运动中，运动员旋转的角度.
②汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度.
③工人在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度.
【知识梳理】
1.角的概念
角可以看成 一条射线 绕着它的 端点 旋转所成的图形.
2.角的表示
如图，
（1）始边：射线的 起始 位置OA；
（2）终边：射线的 终止 位置OB；
（3）顶点：射线的端点O；
（4）记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
3.角的分类
4.角的相等
设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成，如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α＝β .
5.角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 α＋β .
6.相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 相反角 ，角α的相反角记为 －α ，α－β＝α＋ （－β） .
【例1】 〔多选〕下列说法中正确的是（ ）
A.小于180°的角是钝角、直角或锐角
B.始边和终边重合的角是零角
C.钟表的时针旋转而成的角是负角
D.零角的始边和终边重合
解析：CD 对于A：0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，不正确；对于B：始边和终边重合的角大小之差为360°的整数倍，可能是零角，也可能不是零角，不正确；对于C：钟表的时针是按顺时针方向旋转的，因而所成的角是负角，正确；对于D：零角的始边未做任何旋转，因而和终边重合，正确.
【规律方法】
判断角的概念问题的关键与技巧
（1）关键：正确理解角的有关概念（如正角、负角、零角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念）；
（2）技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
训练1 若角α＝30°，把角α的终边按逆时针旋转20°得到角β，则α－β＝－20°.
解析：∵角β是由角α逆时针旋转20°所得，∴β＝α＋20°＝30°＋20°＝50°，∴α－β＝30°－50°＝－20°.
知识点二｜象限角
问题2 在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，回答下列问题.
（1）210°角的终边落在第几象限？
提示：210°角的终边落在第三象限.
（2）－45°角的终边落在第几象限？－150°角的终边落在第几象限？
提示：－45°角的终边落在第四象限，－150°角的终边落在第三象限.
【知识梳理】
在平面直角坐标系中，若角的顶点与 原点 重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几 象限角 .如果角的终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限.
提醒：象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，不能说第二象限角一定大于第一象限角.
【例2】 给出下列四个命题：
①－75°角是第四象限角；
②260°角是第三象限角；
③475°角是第二象限角；
④－315°角是第一象限角.
其中真命题有4个.
解析：①②显然正确；③正确，因为475°角的终边在第二象限，所以475°角是第二象限角；④正确，因为－315°角的终边在第一象限，所以－315°角是第一象限角.故真命题有4个.
【规律方法】
象限角的判断方法
首先在平面直角坐标系中按定义的要求作出角，再判断角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角，否则不能判断.
提醒：锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是第二象限角，反之不成立.
训练2 已知集合A＝{x｜x是第二象限角}，B＝{x｜x是钝角}，C＝{x｜x是大于90°的角}，那么A，B，C的关系是（ ）
A.B＝A∩C B.B∪C＝C
C.A C D.A＝B＝C
解析：B 如480°角是第二象限角且大于90°，但不是钝角，A错；由钝角一定大于90°，但大于90°角不一定是钝角，故B是C的真子集，B对，D错；如－210°角是第二象限角，但小于90°，C错，故选B.
知识点三｜终边相同的角
问题3 （1）在直角坐标系内给定一个角，它的终边是否唯一？
提示：给定一个角，它的终边唯一.
（2）若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示：两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
【知识梳理】
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ {β｜β＝α＋k·360°，k∈Z} ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
【例3】 已知α＝－1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最小的正角；
解：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.
（1）最小的正角为315°.
（2）最大的负角；
解：最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°之间的角.
解：－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
【规律方法】
终边相同的角的表示
（1）与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
训练3 （1）与－525°角的终边相同的角可表示为（ C ）
A.525°－k·360°（k∈Z） B.165°＋k·360°（k∈Z）
C.195°＋k·360°（k∈Z） D.－195°＋k·360°（k∈Z）
解析：因为－525°＝－720°＋195°，所以与－525°的终边相同的角可表示为195°＋k·360°（k∈Z）.故选C.
（2）若角2α与240°角的终边相同，则α＝（ B ）
A.120°＋k·360°，k∈Z B.120°＋k·180°，k∈Z
C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z
解析：因为角2α与240°角的终边相同，所以2α＝240°＋k·360°（k∈Z），则α＝120°＋k·180°，k∈Z，故选B.
提能点一｜终边在某条直线上的角的表示
【例4】 写出终边在函数y＝x（x≥0）图象上的角的集合.
解：因为y＝x（x≥0）表示第一象限内的一条射线，
所以终边落在y＝x（x≥0）上的角与60°角的终边重合，
故终边落在y＝x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋60°，k∈Z}.
【规律方法】
1.求解终边在已知直线上的角的集合的基本原则
（1）若角α的终边为射线OB，终边落在射线OB上的角的集合为{β｜β＝k·360°＋α，k∈Z}；
（2）终边落在直线OB上的角的集合为{β｜β＝k·180°＋α，k∈Z}.
2.轴线角的集合
（1）终边落在x轴上的角的集合：{α｜α＝k·180°，k∈Z}；
（2）终边落在y轴上的角的集合：{α｜α＝90°＋k·180°，k∈Z}；
（3）终边落在坐标轴上的角的集合：{α｜α＝k·90°，k∈Z}.
训练4 （链接教材P170例2）终边在第二、四象限角平分线上的角可用集合表示为{β｜β＝n·180°＋135°，n∈Z}.
解析：在0°～360°范围内终边在第二、四象限角平分线上的角有两个：135°，315°.因此，终边在第二、四象限角平分线上的角的集合S＝{β｜β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β｜β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β｜β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β｜β＝135°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{β｜β＝135°＋n·180°，n∈Z}.
提能点二｜区间（域）角
【例5】 （1）已知α是第二象限角，则角所在的象限为（ ）
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
（2）如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合.
（1）解析：A ∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z），∴·360°＋45°＜＜·360°＋90°（k∈Z）.当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角.∴为第一或第三象限角.
（2）解：①{α｜－30°＋360°·k≤α≤360°·k，k∈Z}∪{α｜150°＋360°·k≤α≤180°＋360°·k，k∈Z}
＝{α｜－30°＋180°·k≤α≤180°·k，k∈Z}.
②{α｜－30°＋360°·k＜α＜60°＋360°·k，k∈Z}.
变式 在本例（1）的条件下，求角2α终边的位置.
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z），
∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z），
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
【规律方法】
1.表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.
2.nα或所在象限的判断方法
（1）由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限；
（2）特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可.
训练5 （1）若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{α｜k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置（阴影部分）是（ C ）
解析：当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，故选C.
（2）若角α是第一象限角，则－α是第四象限角.
解析：因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜90°＋k·360°（k∈Z），－k·360°－90°＜－α＜－k·360°（k∈Z），所以－α是第四象限角.
1.已知角α＝482°，那么角α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：B ∵α＝482°＝360°＋122°，∴α与122°角的终边相同，在第二象限.故选B.
2.〔多选〕如图，从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角分别为α，β，γ.则（ ）
A.α＝30° B.α＝390°
C.β＝－150° D.γ＝60°
解析：BCD 图（1）中，角α是一个正角，α＝390°.图（2）中的角是一个正角、一个负角，γ＝60°，β＝－150°.
3.与－60°角终边相同的角的集合为{β｜β＝－60°＋k·360°，k∈Z}.
解析：因为与－60°角终边相同的角之间相差360°的整数倍，则与－60°角终边相同的角的集合为{β｜β＝－60°＋k·360°，k∈Z}.
4.（2025·天津津南期中）如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
.
解析：由题图可知，终边为OM的角的集合为{α｜α＝－45°＋k·360°，k∈Z}，终边为ON的角的集合为{α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z}，故终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
课堂小结
1.理清单 （1）角的概念、表示、分类，角的加减运算； （2）终边相同的角的表示； （3）象限角的表示； （4）区域（间）角及终边在已知直线上的角的表示. 2.应体会 数形结合、分类讨论. 3.避易错 锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
1.将885°化为α＋k·360°（k∈Z，α∈[0°，360°））的形式是（ ）
A.165°＋2×360° B.－195°＋3×360°
C.165°＋3×360° D.195°＋2×360°
解析：A 885°＝165°＋2×360°，故选A.
2.（2025·宜宾期中）与－20°角终边相同的角是（ ）
A.－300° B.－280°
C.320° D.340°
解析：D 与－20°角终边相同的角是－20°＋k·360°，k∈Z，结合选项，只有当k＝1时，这个角为340°满足，故选D.
3.（2025·沈阳月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A.{α｜－45°≤α≤30°}
B.{α｜120°≤α≤315°}
C.{α｜－45°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}
D.{α｜120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
解析：C 由题图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α｜－45°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}.
4.（2025·西安期中）射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为（ ）
A.逆时针，270° B.顺时针，270°
C.逆时针，30° D.顺时针，30°
解析：B 由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°，故选B.
5.〔多选〕下列说法中正确的有（ ）
A.第一象限的角一定不是负角
B.钝角都是第二象限角
C.与－30°角终边相同的角都是第四象限角
D.2 025°角是第二象限角
解析：BC －350°角是第一象限角，但它是负角，故A错误.钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，故B正确.因为－30°角是第四象限角，所以与－30°角终边相同的角都是第四象限角，故C正确.因为2 025°＝360°×5＋225°，所以2 025°角和225°角的终边相同.又225°角是第三象限角，所以2 025°角是第三象限角，故D错误.
6.〔多选〕下列说法正确的有（ ）
A.钝角大于锐角
B.时间经过两个小时，时针转了60°
C.三角形的内角必是第一象限角或第二象限角
D.若α是第三象限角，则是第二或第四象限角
解析：AD 因为锐角大于0°，小于90°，钝角大于90°，小于180°，所以钝角大于锐角，A正确；时间经过两个小时，时针转了－60°，B不正确；当三角形的一个内角为90°时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C不正确；因为α是第三象限角，所以k·360°－180°＜α＜k·360°－90°，k∈Z，则k·180°－90°＜＜k·180°－45°，k∈Z，当k为奇数时，是第二象限角，当k为偶数时，是第四象限角，D正确.
7.若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，0°＜β＜360°，则β＝60°.
解析：在0°～360°范围内，60°角的终边与α＝－120°的终边互为反向延长线，所以β＝60°.
8.（2025·长春期中）设角α，β满足－180°＜α＜β＜180°，则α－β的范围是－360°＜α－β＜0°.
解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－360°＜α－β＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，则－360°＜α－β＜0°.
9.（2025·南昌期末）已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β＝－30°＋k·360°，k∈Z
解析：在直角坐标系内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
10.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.
（1）－55°；（2）395°18'；（3）1 563°.
解：（1）与－55°角终边相同的角为{β｜β＝－55°＋k·360°，k∈Z}，令k＝1，得到β＝305°.因为270°＜305°＜360°，所以它是第四象限角.
（2）与395°18'角终边相同的角为{β｜β＝395°18'＋k·360°，k∈Z}，令k＝－1，得到β＝35°18'.因为0°＜35°18'＜90°，所以它是第一象限角.
（3）与1 563°角终边相同的角为{β｜β＝1 563°＋k·360°，k∈Z}，令k＝－4，得到β＝123°.因为90°＜123°＜180°，所以它是第二象限角.
11.已知α是第二象限角，则180°－α是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：A 由α是第二象限角，可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°（k∈Z），所以－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°（k∈Z），所以180°－α为第一象限角.
12.〔多选〕（2025·南京月考）下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是（ ）
A.α＋β＝90°
B.α＋β＝180°
C.α＋β＝k·360°＋90°（k∈Z）
D.α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）
解析：BD 根据α和β的终边关于y轴对称时α＋β＝180°＋360°·k（k∈Z）可知，选项B中，α＋β＝180°符合题意；选项D中，α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）符合题意；选项A、C中，可取α＝0°，β＝90°时显然可见α和β的终边不关于y轴对称.故选B、D.
13.（2025·成都期中）若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝270°.
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°＜α＜360°，∴当k＝3时，α＝270°.
14.在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
（1）{α｜30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
（2）{α｜30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.
解：（1）根据任意角的定义，画出集合{α｜30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}对应的区域如图1所示.
（2）根据任意角的定义，画出集合{α｜30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}对应的区域如图2所示.
15.（2025·泰安期末）如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限.
解：根据题意知，
14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，
又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，所以67.5°＜k·（）°＜112.5°.
又k∈Z，所以k＝3或4，所以所求的θ的值为（）°或（）°.
因为0°＜（）°＜90°，90°＜（）°＜180°，
所以θ在第一象限或第二象限.
1 / 25.1.1 任意角
1.将885°化为α＋k·360°（k∈Z，α∈[0°，360°））的形式是（ ）
A.165°＋2×360° B.－195°＋3×360°
C.165°＋3×360° D.195°＋2×360°
2.（2025·宜宾期中）与－20°角终边相同的角是（ ）
A.－300° B.－280°
C.320° D.340°
3.（2025·沈阳月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A.{α｜－45°≤α≤30°}
B.{α｜120°≤α≤315°}
C.{α｜－45°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}
D.{α｜120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
4.（2025·西安期中）射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为（ ）
A.逆时针，270° B.顺时针，270°
C.逆时针，30° D.顺时针，30°
5.〔多选〕下列说法中正确的有（ ）
A.第一象限的角一定不是负角
B.钝角都是第二象限角
C.与－30°角终边相同的角都是第四象限角
D.2 025°角是第二象限角
6.〔多选〕下列说法正确的有（ ）
A.钝角大于锐角
B.时间经过两个小时，时针转了60°
C.三角形的内角必是第一象限角或第二象限角
D.若α是第三象限角，则是第二或第四象限角
7.若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，0°＜β＜360°，则β＝ .
8.（2025·长春期中）设角α，β满足－180°＜α＜β＜180°，则α－β的范围是 .
9.（2025·南昌期末）已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－60°，则β＝ .
10.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.
（1）－55°；（2）395°18'；（3）1 563°.
11.已知α是第二象限角，则180°－α是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
12.〔多选〕（2025·南京月考）下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是（ ）
A.α＋β＝90°
B.α＋β＝180°
C.α＋β＝k·360°＋90°（k∈Z）
D.α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）
13.（2025·成都期中）若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝ .
14.在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
（1）{α｜30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
（2）{α｜30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.
15.（2025·泰安期末）如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点P在1秒内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限.
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