5.1.2 弧度制
课标要求
1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化（数学抽象）.
2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式（数学运算）.
情境导入
公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念.欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于2π弧度，1弧度等于周角的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.
知识点一｜弧度制的概念
问题1 （1）1度的角是如何规定的？
提示：1度的角等于周角的.
（2）在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？
提示：圆心角是确定的.
（3）如图，
设α＝n°，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ＝r1，在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为l1，则弧长l1与半径r1的比值是多少？
提示：因为l1＝，所以＝n·.
【知识梳理】
1.弧度制
我们规定：长度等于 半径 长的 圆弧 所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
2.弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么｜α｜＝.
3.一般地，正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个 负数 ，零角的弧度数是 0 .
提醒：角度制与弧度制是度量角的两个不同的单位制.它们之间的区别与联系如下：
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
【例1】 下列说法正确的是（ ）
A.1弧度的角与1°的角一样大
B.若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是
C.经过30分钟分针转了π
D.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
解析：B 对于A，根据弧度制定义可知A错误；对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为60°，即，故B正确；对于C，经过30分钟分针转了－π，故C错误；对于D，圆心角的大小与半径无关，所以大圆中1弧度的圆心角与小圆中的1弧度的圆心角相等，故D错误.故选B.
【规律方法】
1.圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的.
2.｜α｜的大小等于的值，α的正负由射线的旋转方向确定.
训练1 下列说法中正确的为①③.（填序号）
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；
②用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关；
③1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.
知识点二｜角度制与弧度制的互化
问题2 一个角的度数是否对应一个弧度数？
提示：是.一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的.
【知识梳理】
弧度与角度的换算
【例2】 （1）把下列各角度化为弧度：
①15°；②36°；③－105°；④145°.
解：①15°＝15×＝.
②36°＝36×＝.
③－105°＝－105×＝－.
④145°＝145×＝.
（2）把下列各弧度化为角度：
①－；②π；③－1.5；④.
解：①－＝－×＝－90°.
②＝×＝600°.
③－1.5＝－1.5×＝－.
④＝×＝.
【规律方法】
角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，即：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝（α·）°，n°＝n· rad.
训练2 （1）把下列角度化为弧度：
①－1 500°＝－；②67°30'＝.
解析：①－1 500°＝－1 500×＝－π.
②67°30'＝67.5°＝67.5×＝.
（2）把下列弧度化为角度：
①＝690°；②－＝－390°.
解析：①＝（×）°＝690°.
②－＝－（×）°＝－390°.
知识点三｜用弧度制表示角的集合
问题3 （1）给定一个角（弧度数），能否写出与它终边相同角的集合？
提示：能.若给定角为α（rad），则与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋2kπ，k∈Z}.
（2）能否用弧度制表示区域角？
提示：能.如图，阴影部分的区域角表示为{γ｜α＋2kπ≤γ≤β＋2kπ，k∈Z}.
【例3】 已知α＝1 690°.
（1）把α表示成2kπ＋β的形式，其中k∈Z，β∈[0，2π）；
解：α＝1 690°＝4×360°＋250°＝8π＋π.
（2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈[－4π，－2π）.
解：∵α＝8π＋π，设θ＝π＋2nπ（n∈Z），
由θ∈[－4π，－2π）可得－4π≤π＋2nπ＜－2π，解得－≤n＜－，
∵n∈Z，则n＝－2，故θ＝π－4π＝－π.
【规律方法】
用弧度制表示终边相同角的两个关注点
（1）用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α（k∈Z）时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍；
（2）注意角度制与弧度制在同一个数学表达式中不能混用.
训练3 （1）用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为（ D ）
A.{β｜β＝－＋2kπ，k∈Z}
B.{β｜β＝＋k·360°，k∈Z}
C.{β｜β＝＋2kπ，k∈Z}
D.{β｜β＝＋2kπ，k∈Z}
解析：∵150°＝，∴用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为{β｜β＝＋2kπ，k∈Z}，故选D.
（2）终边落在图中阴影部分（不包含边界）的角的集合为（用弧度制表示）{α｜－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}.
解析：由题意知，终边落在阴影部分（不包括边界的角的集合）为{α｜－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}.
知识点四｜扇形的弧长、面积公式
问题4 我们初中所学扇形的半径、圆心角与弧长和面积的公式是什么？
提示：半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道圆心角α＝.
【知识梳理】
设扇形的半径为R，弧长为l，α（0＜α＜2π）为其圆心角，则：
（1）弧长公式：l＝ αR ；
（2）扇形面积公式：S＝ lR ＝ αR2 .
提醒：在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算.
【例4】 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B.
C. D.或8
解析：C 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角的大小为α，则2r＋l＝10，∵S扇形＝lr＝4，则（10－2r）r＝4，解得：r＝4或r＝1，当r＝4时，l＝2，α＝＝，当r＝1时，l＝8，α＝8＞2π，故舍去，∴扇形的圆心角的弧度数是，故选C.
变式1 若本例中周长不变，扇形圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为6.
解析：设扇形的半径为r，弧长为l＝3r，因为扇形的周长为10，所以2r＋3r＝10，即r＝2，故扇形的面积为×3×22＝6.
变式2 若本例中周长不变，求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
解：由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝（10－2r）·r＝5r－r2＝－（r－）2＋.
当r＝ cm时，S取得最大值 cm2，这时l＝10－2×＝5 cm，
∴θ＝＝＝2 rad.
【规律方法】
关于弧度制下扇形问题的解决方法
（1）三个公式：｜α｜＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程（组）求值；
（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面积），利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解.
训练4 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
解：已知扇形的圆心角α＝60°＝，
半径r＝10 cm，
则弧长l＝αr＝×10＝（cm），
面积S＝lr＝××10＝（cm2）.
扇形弧长公式的应用
通过教材P174例6，我们知道弧长、面积、圆心角之间满足关系｜α｜＝，S＝lr＝αr2，在实际生活会有怎样的关联？看下面的问题：如图，点P，Q从点A（4，0）同时出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转.
【问题探究】
1.点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇所用的时间是t s，则t·＋t·｜－｜＝2π，解得t＝4，所以第一次相遇时用了4 s.
2.点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点P运动到角的终边与圆相交的位置，点Q运动到角－的终边与圆相交的位置，所以点P走过的弧长为×4＝，点Q走过的弧长为｜－｜×4＝.
3.若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多少秒？
提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·－t·＝2π，解得t＝12 s.所以第一次相遇时用了12 s.
【迁移应用】
（2025·泉州期末）某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合.设秒针端点A转过的路程为l cm，所形成的扇形面积为S cm2，分别求l与S关于时间t（s）的函数，其中t∈[0，60].
解：∵秒针的旋转方向为顺时针，
∴t s后秒针端点A转过的角α＝－ rad，
∴秒针端点A转过的路程为l＝｜α｜·r＝（cm），t∈[0，60]，
∴秒针旋转所形成的扇形面积为S＝t，t∈[0，60].
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.1弧度是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径长的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
解析：D 因为1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以选项A、B、C说法不正确，D正确，故选D.
2.在半径为10的圆中，210°的圆心角所对弧长为（ ）
A.π B.π
C.π D.π
解析：A 210°＝π＝π，所以弧长l＝｜α｜·r＝π×10＝π.
3.－π化为角度制的结果为－300°；－135°化为弧度制的结果为－π.
解析：－π＝－×（）°＝－300°；－135°＝－135×＝－π.
4.把下列角化为2kπ＋α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式.
（1）；（2）－315°.
解：（1）因为0≤＜2π，所以＝4π＋.
（2）因为－315°＝－315×＝－＝－2π＋，0≤＜2π，
所以－315°＝－2π＋.
课堂小结
1.理清单 （1）弧度制的概念，弧度制与角度制的区别； （2）弧度制与角度制的相互转化； （3）用弧度制表示角的集合； （4）弧度制下的扇形的弧长与面积的计算. 2.应体会 由特殊到一般、转化归纳. 3.避易错 弧度与角度混用.
1.下列角中与－终边相同的是（ ）
A.－ B.
C. D.
解析：B －＋2π＝.
2.若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ）
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的面积大小不变
C.扇形的圆心角增大到原来的2倍
D.扇形的面积增大到原来的2倍
解析：A 由｜α｜＝，可知扇形的圆心角大小不变.由S＝lR可知，扇形的面积增大到原来的4倍.
3.（2025·扬州期末）将－1 485°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（ ）
A.－－8π B.－8π
C.－10π D.－10π
解析：D －1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式为－10π.
4.（2025·泉州期中）若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A.（，）
B.（，）
C.［，］
D.［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
解析：D 阴影部分的两条边界分别是，角的终边，所以角α的取值范围是［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z），故选D.
5.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.－150°化成弧度是－
B.－化成角度是－600°
C.若角α＝2 rad，则角α为第二象限角
D.若一扇形的圆心角为30°，半径为3 cm，则扇形面积为cm2
解析：BC 对于A选项，－150°＝－150×＝－，A错；对于B选项，－＝－×180°＝－600°，B对；对于C选项，∵＜2＜π，故角α为第二象限角，C对；对于D选项，∵30°＝，故扇形的面积为××32＝π cm2，D错.故选B、C.
6.〔多选〕下列表示中正确的是（ ）
A.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为{α｜＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}
C.终边在坐标轴上的角的集合是{α｜α＝，k∈Z}
D.终边在直线y＝x上的角的集合是{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}
解析：ABC A，B显然正确；对于C，终边在x轴上的角的集合为{α｜α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，其并集为{α｜α＝，k∈Z}，故C正确；对于D，终边在y＝x上的角的集合为{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}或{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}，其并集为{α｜α＝＋kπ，k∈Z}，故D不正确.
7.与600°终边相同的最小正角为弧度.
解析：与600°终边相同的角可以表示为{α｜α＝600°＋360°·k，k∈Z}，当k＝－1时，与600°终边相同的最小正角为240°，化为弧度制为.
8.（2025·红河期中）用弧度制表示终边落在y轴上的角的集合：{α｜α＝kπ＋，k∈Z}.
解析：终边落在y轴正半轴的角为x＝2kπ＋，k∈Z，终边落在y轴负半轴的角为x＝2kπ＋＝（2k＋1）π＋，k∈Z，所以终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝kπ＋，k∈Z}.
9.（2025·内江期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为2 700 cm2.
解析：如图，设扇形圆心角∠AOB＝α，OB＝r，由弧长公式，得解得α＝2，r＝30，所以该玉雕的面积约为×120×（30＋30）－×60×30＝2 700（cm2）.
10.已知角α＝1 200°.
（1）将角α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出角α是第几象限角；
（2）在区间[－4π，π]上找出与角α终边相同的角.
解：（1）因为α＝1 200°＝1 200×＝，
且＝3×2π＋，＜＜π，所以α＝3×2π＋，所以角α是第二象限角.
（2）由（1）知α＝6π＋.
因为与角α终边相同的角（含角α在内）为2kπ＋，k∈Z，所以由－4π≤2kπ＋≤π，得－≤k≤.
因为k∈Z，所以k＝－2或k＝－1或k＝0.
故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－，－，.
11.〔多选〕（2025·临川月考）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A.小赵同学说：“经过了5 h，时针转了－.”
B.小钱同学说：“经过了40 min，分针转了－.”
C.小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12：35时，时针与分针所夹的钝角为.”
D.小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次.”
解析：ACD 经过了5 h，时针转过的角度对应的弧度数为－5×＝－，故A正确；经过了40 min，分针转过的角度对应的弧度数为－8×＝－，故B错误；时钟显示的时刻为12：35，该时刻的时针与分针所夹的钝角为5×＋×＝，故C正确；分针比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了t min，第n次和时针重合，则·t－·t＝2πn，得n＝t（0≤t≤1 440），故nmax＝×1 440＝22，故D正确.故选A、C、D.
12.（2025·长兴期末）若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为（ ）
A.α＋β＝0 B.α－β＝0
C.α＋β＝2kπ（k∈Z） D.α－β＝＋2kπ（k∈Z）
解析：D 因为α＝x＋＋2k1π（k1∈Z），β＝x－＋2k2π（k2∈Z），所以α－β＝＋2（k1－k2）π.因为k1∈Z，k2∈Z，所以k1－k2∈Z.所以α－β＝＋2kπ（k∈Z）.
13.如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60°，以AC为直径的☉O与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为4＋.
解析：已知AB＝4，∠B＝60°，以AC为直径的☉O与菱形ABCD相交，∴∠EAO＝60°，∠OCF＝60°，OA＝OE＝OF＝OC＝OG＝OH＝2，∴∠EOF＝∠FOC＝∠COG＝∠GOH＝∠HOA＝∠AOE＝60°，∴阴影部分的面积为：4××22＋×2×2＝4＋.
14.已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R.
（1）若α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.
解：（1）l＝αR＝×6＝2π（cm），即扇形的弧长为2π cm.
（2）依题意，得2R＋l＝12，则l＝12－2R，
扇形的面积S＝lR＝（12－2R）R＝－R2＋6R，
所以当R＝3 cm时，S有最大值，
此时弧长l＝6 cm，得α＝＝2，
即当α＝2时，该扇形面积最大，最大面积为9 cm2.
15.（2025·宝鸡期中）如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
解：因为所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为； 所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝（dm）.三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝（dm2）.
1 / 25.1.2 弧度制
1.下列角中与－终边相同的是（ ）
A.－ B.
C. D.
2.若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（ ）
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的面积大小不变
C.扇形的圆心角增大到原来的2倍
D.扇形的面积增大到原来的2倍
3.（2025·扬州期末）将－1 485°化成α＋2kπ（0≤α＜2π，k∈Z）的形式是（ ）
A.－－8π B.－8π
C.－10π D.－10π
4.（2025·泉州期中）若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是（ ）
A.（，）
B.（，）
C.［，］
D.［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
5.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.－150°化成弧度是－
B.－化成角度是－600°
C.若角α＝2 rad，则角α为第二象限角
D.若一扇形的圆心角为30°，半径为3 cm，则扇形面积为cm2
6.〔多选〕下列表示中正确的是（ ）
A.终边在x轴上的角的集合是{α｜α＝kπ，k∈Z}
B.终边在第二象限的角的集合为{α｜＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}
C.终边在坐标轴上的角的集合是{α｜α＝，k∈Z}
D.终边在直线y＝x上的角的集合是{α｜α＝＋2kπ，k∈Z}
7.与600°终边相同的最小正角为 弧度.
8.（2025·红河期中）用弧度制表示终边落在y轴上的角的集合： .
9.（2025·内江期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为 .
10.已知角α＝1 200°.
（1）将角α改写成β＋2kπ（k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出角α是第几象限角；
（2）在区间[－4π，π]上找出与角α终边相同的角.
11.〔多选〕（2025·临川月考）钟表在我们的生活中随处可见，高一某班的同学们在学习了“任意角和弧度制”后，对钟表的运行产生了浓厚的兴趣，并展开了激烈的讨论，若将时针与分针视为两条线段，则下列说法正确的是（ ）
A.小赵同学说：“经过了5 h，时针转了－.”
B.小钱同学说：“经过了40 min，分针转了－.”
C.小孙同学说：“当时钟显示的时刻为12：35时，时针与分针所夹的钝角为.”
D.小李同学说：“时钟的时针与分针一天之内会重合22次.”
12.（2025·长兴期末）若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为（ ）
A.α＋β＝0
B.α－β＝0
C.α＋β＝2kπ（k∈Z）
D.α－β＝＋2kπ（k∈Z）
13.如图，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60°，以AC为直径的☉O与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为 .
14.已知一扇形的圆心角为α，所在圆的半径为R.
（1）若α＝，R＝6 cm，求该扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为12 cm，问当α多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.
15.（2025·宝鸡期中）如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
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