第二课时 三角函数值的符号及诱导公式一
课标要求
1.会判断给定角的三角函数值的符号（逻辑推理）.
2.掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题（数学运算）.
情境导入
从三角函数的定义及实例可知，任意一个角的正弦、余弦与正切值可能为正数，也可能为负数，也可能为0，它们的符号与什么有关？你能总结出任意一个角三角值的符号的变化规律吗？
知识点一｜三角函数值在各象限内的符号
问题1 根据三角函数的定义，你能判断α在不同象限时，sin α的符号特点吗？
提示：由sin α＝y，则可知当α在第一或第二象限时，sin α＞0；当α在第三或第四象限时，sin α＜0.
【知识梳理】
如图所示：
正弦： 一、二 象限正， 三、四 象限负；
余弦： 一、四 象限正， 二、三 象限负；
正切： 一、三 象限正， 二、四 象限负.
提醒：（1）简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦；（2）终边落在x轴上角的正弦值为0，正切值也为0；终边落在y轴上角的余弦值为0，正切值不存在.
【例1】 （1）已知点P（tan α，cos α）在第三象限，则角α在（ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：因为点P（tan α，cos α）在第三象限，因此tan α＜0，cos α＜0，所以α在第二象限.
（2）sin 285°·cos（－105°）＞.（填“＜”或“＞”）
解析：因为285°是第四象限角，所以sin 285°＜0，因为－105°是第三象限角，所以cos（－105°）＜0.所以sin 285°·cos（－105°）＞0.
【规律方法】
1.正弦、余弦函数值的正负规律
2.正切函数值的符号取决于角α终边上点的横、纵坐标x，y的符号，即“同号为正，异号为负”.
训练1 （1）若－＜α＜0，则点P（tan α，cos α）位于（ B ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由－＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，所以点P在第二象限.
（2）已知sin θcos θ＜0，且｜cos θ｜＝cos θ，则角θ是（ D ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：由｜cos θ｜＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ＜0，得sin θ＜0，cos θ＞0，所以角θ是第四象限角，故选D.
知识点二｜诱导公式一
问题2 终边相同的角的三角函数值有何关系？
提示：由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等.
【知识梳理】
终边相同的角的同一三角函数的值 相等 ，由此得到一组公式：
sin（α＋k·2π）＝ sin α ，
cos（α＋k·2π）＝ cos α ，
tan（α＋k·2π）＝ tan α ，
其中k∈Z.
提醒：诱导公式一的结构特点：①其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α；②三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，说明三角函数中自变量α与函数值的对应关系为多对一的关系；③k∈Z即k可取正整数、负整数或0.
【例2】 计算下列各式的值：
（1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
解：tan 405°－sin 450°＋cos 750°
＝tan（360°＋45°）－sin（360°＋90°）＋cos（2×360°＋30°）
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
（2）sin＋tan（－）.
解：sin＋tan
＝sin（＋4×2π）＋tan（－2×2π）
＝sin＋tan＝＋1.
【规律方法】
利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤
训练2 计算下列各式的值：
（1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）·sin 750°；
解：原式＝sin（－4×360°＋45°）·cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝＋＝.
（2）sin（－）＋costan 4π.
解：原式＝sin（－2π＋）＋cos（2π＋）tan（4π＋0）＝sin＋cos×0＝.
知识点三｜三角函数值符号与诱导公式一的综合应用
【例3】 确定下列三角函数值的符号：
（1）tan 505°；
解：tan 505°＝tan（360°＋145°）＝tan 145°＜0.
（2）tan（－）；
解：tan（－）＝tan（－8π＋）＝tan＞0.
（3）cos 950°；
解：cos 950°＝cos（230°＋2×360°）＝cos 230°＜0.
（4）sin（－）.
解：sin（－）＝sin（－4π＋）＝sin＞0.
【规律方法】
对于绝对值较大的角先利用诱导公式一转化为[0，2π）范围内的角，然后再判断符号.
训练3 已知角θ满足sin（360°＋θ）＞0，tan（－360°＋θ）＜0，则θ位于第二象限.
解析：因为sin（360°＋θ）＞0，tan（－360°＋θ）＜0，所以sin θ＞0，tan θ＜0，故θ位于第二象限.
1.sin 390°的值为（ ）
A. B.
C. D.－
解析：C sin 390°＝sin（360°＋30°）＝sin 30°＝，故选C.
2.已知sin α＞0，cos α＞0，则α是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：A 由三角函数的定义可知，sin α＞0 α为第一、二象限角或终边在y轴正半轴上；由cos α＞0 α为第一、四象限角或终边在x轴的正半轴上，两个条件同时成立，则α为第一象限角，故选A.
3.下列三角函数值的符号为正的是（ ）
A.sin（－100°） B.cos（－220°）
C.tan 10 D.cos π
解析：C 因为－100°角是第三象限角，所以sin（－100°）＜0；因为－220°角是第二象限角，所以cos（－220°）＜0；因为10∈（3π，），所以tan 10＞0；cos π＝－1＜0.故选C.
4.求下列三角函数值：
（1）sin＋cos；
（2）sin2＋tan2（－）tan.
解：（1）sin＋cos
＝sin（4π＋）＋cos（6π＋）
＝sin＋cos＝＋＝1.
（2）原式＝sin2（＋4π）＋tan2（－2π）·tan（＋2π）
＝sin2＋tan2tan
＝（）2＋（）2×1＝＋＝.
课堂小结
1.理清单 （1）三角函数值在各象限内的符号； （2）诱导公式一； （3）三角函数值符号与诱导公式一的综合应用. 2.应体会 转化与化归、分类讨论. 3.避易错 正切函数的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}.
1.cos（－300°）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：D cos（－300°）＝cos（－360°＋60°）＝cos 60°＝，故选D.
2.（2025·宝鸡期中）当α为钝角时，－＝（ ）
A.1 B.0
C.2 D.－2
解析：C 因为α为钝角，所以sin α＞0，cos α＜0，故－＝－＝2，故选C.
3.已知点P（sin α，tan α）在第三象限，角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，则角α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：D 因为点P（sin α，tan α）在第三象限，所以所以角α的终边在第四象限.故选D.
4.（2025·龙岩期末）在第24届冬季奥林匹克运动会自由式滑雪比赛中有个新的滑雪动作叫“空中逆时针”旋转1 620°，则cos 1 620°＝（ ）
A.1 B.－1
C. D.－
解析：B 1 620°＝9π，所以cos 9π＝cos π＝－1.故选B.
5.〔多选〕下列函数值的符号为正的是（ ）
A.sin 105° B.cos 325°
C.tan D.tan
解析：ABD ∵105°为第二象限角，∴sin 105°＞0，符号为正；∵325°为第四象限角，∴cos 325°＞0，符号为正；∵∈（，π），∴为第二象限角，∴tan＜0，符号为负；∵∈（π，），∴为第三象限角，∴tan＞0，符号为正.
6.〔多选〕（2025·南京期中）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式的值一定小于0的是（ ）
A.sin α＋cos α B.sin α－cos α
C.sin α·cos α D.
解析：BCD 由题意，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），可得sin α＜0，cos α＞0，故sin α＋cos α符号不定，值可能大于0，A错误；sin α－cos α＜0，B正确；sin αcos α＜0，C正确；＜0，D正确.故选B、C、D.
7.（2025·九江期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin 420°，cos 45°），则tan（－2π＋α）＝.
解析：sin 420°＝sin（360°＋60°）＝sin 60°＝，cos 45°＝，故P（，），tan（－2π＋α）＝tan α＝＝.
8.已知sin＝，cos＝－，且∈[0，π]，则α＝πrad.
解析：∵sin＝＞0，cos＝－＜0，∴为第二象限角且∈[0，π]，由特殊角的三角函数值可得＝π，∴α＝π.
9.（2025·临泉期末）已知角α的终边经过点P（3，4t），且sin（2kπ＋α）＝－（k∈Z），则t＝－.
解析：sin（2kπ＋α）＝sin α＝－＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t＜0，又sin α＝，所以＝－，所以t＝－.
10.化简下列各式：
（1）sin＋cos＋cos（－5π）＋tan；
（2）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
解：（1）原式＝sin＋cos＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
（2）原式＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.
11.（2025·天津北辰期中）式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为（ ）
A.正 B.负
C.零 D.不能确定
解析：B ∵1，2，4分别为第一、二、三象限角，∴sin 1＞0，cos 2＜0，tan 4＞0，∴sin 1·cos 2·tan 4＜0，符号为负.
12.（2024·仙桃月考）“tan x＜0，且sin x－cos x＜0”是“角x的终边在第四象限”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C 若tan x＜0，则角x的终边在第二、四象限，因为sin x－cos x＜0，所以角x的终边在第四象限，反之也成立.
13.（2025·潍坊期中）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是（－2，3].
解析：法一 因为cos α≤0，所以角α的终边在第二或第三象限内，或y轴上，或x轴的非正半轴上.因为sin α＞0，所以角α的终边在第一或第二象限内，或y轴的非负半轴上.综上，点P在第二象限内或y轴的非负半轴上，所以所以－2＜a≤3，所以实数a的取值范围是（－2，3].
法二 由三角函数的定义可知，cos α＝≤0，sin α＝＞0，所以所以－2＜a≤3，所以实数a的取值范围是（－2，3].
14.（2025·南京期中）试确定下列式子的符号：
（1）tan 108°·cos 305°；
（2）；
（3）tan 191°－cos 191°.
解：（1）因为108°是第二象限角，所以tan 108°＜0.
又305°是第四象限角，所以cos 305°＞0，从而tan 108°·cos 305°＜0.
（2）因为是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
所以cos＜0，tan＜0，sin＞0，从而＞0.
（3）因为191°是第三象限角，所以tan 191°＞0，cos 191°＜0，所以tan 191°－cos 191°＞0.
15.已知角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，并满足：＝，且lg（cos α）有意义.
（1）试判断角α的终边在第几象限；
（2）若角α的终边上一点M（，m），且｜OM｜＝1（O为坐标原点），求m的值及sin α的值.
解：（1）由＝－，得sin α＜0，由lg（cos α）有意义，可知cos α＞0，所以α是第四象限角.
（2）因为｜OM｜＝1，所以（）2＋m2＝1，
解得m＝±，
又α为第四象限角，故m＜0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
1 / 2第二课时 三角函数值的符号及诱导公式一
1.cos（－300°）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.（2025·宝鸡期中）当α为钝角时，－＝（ ）
A.1 B.0
C.2 D.－2
3.已知点P（sin α，tan α）在第三象限，角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，则角α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.（2025·龙岩期末）在第24届冬季奥林匹克运动会自由式滑雪比赛中有个新的滑雪动作叫“空中逆时针”旋转1 620°，则cos 1 620°＝（ ）
A.1 B.－1
C. D.－
5.〔多选〕下列函数值的符号为正的是（ ）
A.sin 105° B.cos 325°
C.tan D.tan
6.〔多选〕（2025·南京期中）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式的值一定小于0的是（ ）
A.sin α＋cos α B.sin α－cos α
C.sin α·cos α D.
7.（2025·九江期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin 420°，cos 45°），则tan（－2π＋α）＝ .
8.已知sin＝，cos＝－，且∈[0，π]，则α＝ rad.
9.（2025·临泉期末）已知角α的终边经过点P（3，4t），且sin（2kπ＋α）＝－（k∈Z），则t＝ .
10.化简下列各式：
（1）sin＋cos＋cos（－5π）＋tan；
（2）a2sin 810°－b2cos 900°＋2abtan 1 125°.
11.（2025·天津北辰期中）式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为（ ）
A.正 B.负
C.零 D.不能确定
12.（2024·仙桃月考）“tan x＜0，且sin x－cos x＜0”是“角x的终边在第四象限”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.（2025·潍坊期中）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是 .
14.（2025·南京期中）试确定下列式子的符号：
（1）tan 108°·cos 305°；
（2）；
（3）tan 191°－cos 191°.
15.已知角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，并满足：＝，且lg（cos α）有意义.
（1）试判断角α的终边在第几象限；
（2）若角α的终边上一点M（，m），且｜OM｜＝1（O为坐标原点），求m的值及sin α的值.
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