第一课时 三角函数的定义
课标要求
1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义（数学抽象）.
2.会求给定角的三角函数值（数学运算）.
情境导入
初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角，sin α＝，cos α＝，tan α＝，三角函数值为两个边长的比值.
知识点一｜利用单位圆定义任意角的三角函数
问题1 （1）如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1，0），点P的坐标为（x，y）.射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），当α变化时，x，y是否也随之变化？
提示：点P的横坐标x和纵坐标y都在随着角α变化而变化.
（2）一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的吗？
提示：对于交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.
（3）他们能不能表示成以角α为自变量的函数呢？
提示：横纵坐标跟角α的对应关系满足函数的概念，可以表示成以角α为自变量的函数.
【知识梳理】
任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y）
正弦 把点P的 纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝ sin α
余弦 把点P的 横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝ cos α
正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α（x≠0）
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数 y＝sin x，x∈R ；余弦函数 y＝cos x，x∈R ；正切函数 y＝tan x，x∈{x｜x≠＋kπ，k∈Z} .
提醒：（1）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合；（2）三角函数中符号sin α，cos α，tan α是一个整体，而不是sin（或cos，tan）与α的乘积.
【例1】 在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－π.
（1）画出角α；
解：因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示.
（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
解：因为α＝－π，所以点P在第四象限.由（1）知，∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M，
则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1，
由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝，
所以得点P的坐标为（，－）.
（3）求出角α的正弦、余弦值.
解：根据正弦、余弦函数的定义，得sin（－π）＝－，cos（－π）＝.
【规律方法】
单位圆法求三角函数值的策略
（1）确定角α的终边与单位圆的交点的坐标；
（2）根据三角函数的定义sin α＝y；cos α＝x；tan α＝（x≠0）.
训练1 （链接教材P178例1）利用定义求的正弦、余弦和正切值.
解：如图所示，的终边在第二象限且与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，
在Rt△OPB中，｜OP｜＝1，∠POB＝，则｜PB｜＝，｜OB｜＝，则P（－，）.
所以sin＝，cos＝－，tan＝＝－.
知识点二｜利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数
问题2 在直角坐标系中，已知角α终边上任意一点P（x，y）（不与原点O重合），能否直接由点P（x，y）的坐标确定角α的三角函数值？
提示：能.如图，由于Rt△OP1M1∽Rt△OPM，所以sin α＝y1＝＝＝，同理cos α＝x1＝＝＝.
【知识梳理】
在直角坐标系中，设任意角α的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），它与原点的距离r＝ （r＞0），则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝（x≠0）.
提醒：任意角α的三角函数值只与α的大小有关，而与点P在终边上的位置无关.
【例2】 已知角α的终边过点P（－4，3），则cos α＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.－
解析：A 由题设，cos α＝＝＝－，故选A.
变式1 本例条件不变，求2sin α＋cos α的值.
解：sin α＝＝，2sin α＋cos α＝2×－＝.
变式2 本例中若点P（－4，3）改为“P（4a，－3a）（a＜0）”，求sin α＋cos α的值.
解：因为角α的终边过点P（4a，－3a）（a＜0），
所以cos α＝＝＝＝－，
sin α＝＝＝＝，
sin α＋cos α＝－＝－.
【规律方法】
坐标法求三角函数值的方法
角α的终边在直角坐标系内确定之后，它的三角函数值就已确定，即已知角α的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、可求得点P到原点的距离r，则角α的三角函数值为：sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）.
训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值.
解：当α的终边位于第二象限时，在α的终边上取一点P（－1，2），
则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2，
当α的终边位于第四象限时，在α的终边上取一点P'（1，－2），
则r＝＝，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
1.已知角α的终边经过点P（－2，4），则tan α＝（ ）
A.2 B.－2
C.1 D.－1
解析：B 由题意，得tan α＝＝－2.故选B.
2.如图所示，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则cos α的值为（ ）
A.－ B. C.－ D.
解析：C 由题意及图示可知，A点的横坐标为－，所以cos α＝－.故选C.
3.已知角α的终边经过点（4，m）（m≠0），且sin α＝，则m＝（ ）
A.3 B.±3 C.5 D.±5
解析：B 因为角α的终边经过点（4，m）（m≠0），且sin α＝，所以sin α＝＝，解得m＝±3，故选B.
4.已知角α的终边在射线y＝－x（x≤0）上，则sin α＝.
解析：∵角α的终边在射线y＝－x（x≤0）上，∴在角α的终边上任意取一点P（－1，），则x＝－1，y＝，∴r＝＝，∴sin α＝＝.
课堂小结
1.理清单 （1）三角函数的概念（单位圆法、坐标法）； （2）坐标法求三角函数值. 2.应体会 由特殊到一般、转化与化归、数形结合. 3.避易错 三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点位置无关.
1.已知角α＝390°，则cos α＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
解析：A 在直角坐标系内作单位圆与角α的终边交于一点P（，），由三角函数的定义知cos 390°＝，故选A.
2.（2025·绍兴期末）若点P（sin，）在角α的终边上，则tan α的值为（ ）
A. B.1
C. D.
解析：B 因为sin＝，所以P（，），所以由三角函数定义可知tan α＝＝1，故选B.
3.（2025·绵阳期中）在单位圆中，已知角α是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P（－，y），则sin α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：D 由题意，（－）2＋y2＝1，y＞0，解得y＝，所以sin α＝，故选D.
4.（2025·哈尔滨期中）已知α为第四象限角，P（，m）为其终边上的一点，且cos α＝，则实数m＝（ ）
A.－4 B.4
C.－ D.
解析：C r＝，且m＜0，可得cos α＝＝＝，解得m＝－，故选C.
5.〔多选〕已知角α＝，则下列选项正确的是（ ）
A.α是第二象限角 B.sin α＝
C.cos α＝ D.tan α＝－
解析：ABD 在直角坐标系内作角α＝.如图所示，角的终边在第二象限且与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，｜OP｜＝1，∠POB＝π－＝，则｜PB｜＝，｜OB｜＝，则P（－，）.所以sin＝，cos＝－，tan＝＝－.故选A、B、D.
6.〔多选〕（2025·莆田期中）平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（x，－3），且tan α＝3，则（ ）
A.x＝－1 B.sin α＝－
C.cos α＝ D.α是第四象限角
解析：AB 对于A，因为角α的终边经过点P（x，－3），所以tan α＝＝3 x＝－1，故A正确；对于B、C，由P（－1，－3）得，sin α＝＝－，cos α＝＝－，故B正确，C错误；对于D，因为角α的终边落在第三象限内，则α为第三象限角，故D错误，故选A、B.
7.已知角θ终边上一点P的坐标为（cos 60°，－sin 60°），则tan θ＝－.
解析：由题意知tan θ＝＝＝－.
8.（2025·盐城期中）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点A（t，2t）（t＜0），则sin θ＝－.
解析：r＝｜OA｜＝＝＝－t，则sin θ＝＝＝－.
9.（2025·厦门期末）若点P在角的终边所在的直线上，且｜OP｜＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为（，－1）或（－，1）.
解析：点P在角的终边所在的直线上，且｜OP｜＝2（点O为坐标原点），设点P的坐标为（a，b），则a2＋b2＝4，且tan＝－＝，求得a＝，b＝－1，或a＝－，b＝1，故点P的坐标为（，－1）或（－，1）.
10.利用单位圆求π的三角函数值.
解：
如图，在平面直角坐标系中作∠AOB＝，易知∠AOB的终边与单位圆的交点的坐标为（－，－），所以sin＝－，cos＝－，tan＝.
11.（2025·滕州期末）若角α的终边与射线y＝3x（x≤0）重合，P（m，n）是角α终边上不与原点重合的一点，且｜OP｜＝，则m－n的值是（ ）
A.2 B.－2
C.4 D.－4
解析：A ∵角α的终边与射线y＝3x（x≤0）重合，∴点P（m，n）位于第三象限内，且m＜0，n＜0，n＝3m.∴｜OP｜＝＝｜m｜＝－m＝，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.故选A.
12.〔多选〕（2025·重庆西南大学附中期中）已知函数y＝loga（x－4）－12（a＞0且a≠1）的图象过定点P，且角θ的终边经过P，则（ ）
A.P（4，－12） B.sin θ＝－
C.cos θ＝－ D.tan θ＝－
解析：BD 因为y＝loga（x－4）－12（a＞0且a≠1），令x－4＝1，即x＝5，所以y＝loga1－12＝－12，即P（5，－12），sin θ＝＝－，cos θ＝＝，tan θ＝－.故选B、D.
13.已知角α的终边经过点P（－4m，3m）（m≠0），则2sin α＋cos α＝或－.
解析：由题意得，点P与原点之间的距离r＝＝5｜m｜.当m＞0时，r＝5m，∴sin α＝＝，cos α＝＝－，∴2sin α＋cos α＝2×－＝.当m＜0时，r＝－5m，∴sin α＝＝－，cos α＝＝，∴2sin α＋cos α＝2×（－）＋＝－.综上可得，2sin α＋cos α的值等于或－.
14.已知角α终边上一点P（2m，1），且sin α＝.
（1）求实数m的值；
（2）求tan α，cos α.
解：（1）易知｜OP｜＝，
∴sin α＝＝，解得m＝±.
（2）由（1）可知m＝±，
∴｜OP｜＝3，
当m＝时，P（2，1），则tan α＝＝，cos α＝；
当m＝－时，P（－2，1），则tan α＝＝－，cos α＝－.
15.（2025·淮北期中）平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝（0＜α＜π），则tan α＝.
解析：由题意得sch α＝＝＝（0＜α＜π），∴25（y－x）2＝x2＋y2，且y＞x，即24（）2－50＋24＝0，且y＞x，解得＝.故tan α＝.
1 / 2第一课时 三角函数的定义
1.已知角α＝390°，则cos α＝（ ）
A. B.－
C.－ D.
2.（2025·绍兴期末）若点P（sin，）在角α的终边上，则tan α的值为（ ）
A. B.1
C. D.
3.（2025·绵阳期中）在单位圆中，已知角α是第二象限角，它的终边与单位圆交于点P（－，y），则sin α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
4.（2025·哈尔滨期中）已知α为第四象限角，P（，m）为其终边上的一点，且cos α＝，则实数m＝（ ）
A.－4 B.4
C.－ D.
5.〔多选〕已知角α＝，则下列选项正确的是（ ）
A.α是第二象限角 B.sin α＝
C.cos α＝ D.tan α＝－
6.〔多选〕（2025·莆田期中）平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（x，－3），且tan α＝3，则（ ）
A.x＝－1 B.sin α＝－
C.cos α＝ D.α是第四象限角
7.已知角θ终边上一点P的坐标为（cos 60°，－sin 60°），则tan θ＝ .
8.（2025·盐城期中）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点A（t，2t）（t＜0），则sin θ＝ .
9.（2025·厦门期末）若点P在角的终边所在的直线上，且｜OP｜＝2（点O为坐标原点），则点P的坐标为 .
10.利用单位圆求π的三角函数值.
11.（2025·滕州期末）若角α的终边与射线y＝3x（x≤0）重合，P（m，n）是角α终边上不与原点重合的一点，且｜OP｜＝，则m－n的值是（ ）
A.2 B.－2
C.4 D.－4
12.〔多选〕（2025·重庆西南大学附中期中）已知函数y＝loga（x－4）－12（a＞0且a≠1）的图象过定点P，且角θ的终边经过P，则（ ）
A.P（4，－12） B.sin θ＝－
C.cos θ＝－ D.tan θ＝－
13.已知角α的终边经过点P（－4m，3m）（m≠0），则2sin α＋cos α＝ .
14.已知角α终边上一点P（2m，1），且sin α＝.
（1）求实数m的值；
（2）求tan α，cos α.
15.（2025·淮北期中）平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝（0＜α＜π），则tan α＝ .
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