5.2.2 同角三角函数的基本关系
1.若sin α＝－，α为第四象限角，则cos α的值为（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.（2025·三明期末）已知cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
3.（2024·石家庄质检）化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是（ ）
A. B.
C.1 D.
4.（2025·惠州期末）已知tan α＝3， 则sin αcos α＝（ ）
A. B.
C.± D.±
5.〔多选〕若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有（ ）
A.tan α＝ B.cos α＝
C.sin α＋cos α＝ D.sin α－cos α＝－
6.〔多选〕（2025·安庆期末）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则（ ）
A.θ∈（，π） B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
7.已知sin α＝，则1－cos4α＝ .
8.化简的结果是 .
9.已知sin θ＝，cos θ＝，则tan θ＝ .
10.（1）已知cos α＝－，求sin α，tan α的值；
（2）已知α∈（π，），tan α＝2，求cos α的值.
11.（2025·白城期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sin α，3），则cos α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
12.〔多选〕（2025·金陵中学月考）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A.＝2
B.若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
C.若tan x＝，则＝1
D.若α为第一象限角，则＋＝2
13.（2025·南京期末）已知函数f（tan x）＝sin2x－2sin xcos x，则f（2）＝ .
14.化简下列各式：
（1）cos4α＋sin2α（1＋cos2α）；
（2）－.
15.（1）求证：＝；
（2）已知＋＝1，求证：＋＝1.
2 / 25.2.2 同角三角函数的基本关系
课标要求
1.理解同角三角函数的基本关系式（逻辑推理）.
2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简（数学运算）.
情境导入
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位圆的交点.你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
知识点一｜同角三角函数的基本关系
问题 设角α是一个任意象限角，点P（x，y）为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r（r＝），那么sin α＝，cos α＝，tan α＝，请根据三角函数的定义回答：
（1）你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数有商数关系？
提示：平方关系：sin2α＋cos2α＝＋＝1.
商数关系：＝＝＝tan α.
（2）两种同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？
提示：平方关系适合任意角，根据三角函数的定义当α＝kπ＋（k∈Z）时，商数关系不适合.
【知识梳理】
同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的 平方和 等于1
商数关系 ＝ tan α α≠kπ＋（k∈Z） 同一个角α的正弦、余弦的 商 等于角α的 正切
角度1 直接利用基本关系式求值
【例1】 （1）（链接教材P183例6）若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：D 因为sin α＝－，由sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1－sin2α＝1－（－）2＝，又因α为第四象限角，所以cos α＝.由tan α＝＝＝－.故选D.
（2）若tan α＝－，求sin α的值.
解：因为tan α＝－＜0，则α为第二象限角或第四象限角，
由可得sin2α＝（）2，
当α是第二象限角时，sin α＝，
当α为第四象限角时，sin α＝－.
【规律方法】
已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）已知sin θ（或cos θ）求tan θ常用以下方法求解：
（2）已知tan θ求sin θ（或cos θ）常用以下方法求解：
训练1 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
解：∵cos α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0，
∴sin α＝＝＝，
tan α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0，
∴sin α＝－＝－＝－，
tan α＝＝.
角度2 利用弦切互化求值
【例2】 已知tan α＝－，求下列各式的值：
（1）；
解：原式＝＝＝－.
（2）2sin2α＋sin αcos α－3cos2α.
解：原式＝
＝
＝＝－.
【规律方法】
已知角α的正切值求关于sin α，cos α齐次式的值
（1）关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且每项次数相等，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
训练2 已知tan α＝3，求下列各式的值：
（1）＋；
解：＋＝＋＝＋＝－.
（2）.
解：＝＝＝.
知识点二｜ sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
【例3】 设α∈（0，π），sin α＋cos α＝，求cos2α－sin2α的值.
解：因为sin α＋cos α＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－.
又因为α∈（0，π），所以sin α＞0，cos α＜0，
所以（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝，所以cos2α－sin2α＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝－.
【规律方法】
sin θ±cos θ，sin θcos θ三者的关系
（1）对于三角函数式sin θ±cos θ，sin θcos θ之间的关系，通过（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcos θ进行转化；
（2）若已知sin θ±cos θ，sin θcos θ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sin θ，cos θ的值，从而求出其余的三角函数值.
训练3 已知α∈（0，π），sin α＋cos α＝，求tan α的值.
解：因为sin α＋cos α＝， ①
所以2sin α·cos α＝－＜0.
又因为 α∈（0，π），所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＞0，
所以sin α－cos α＝＝. ②
联立①②解得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－.
知识点三｜三角函数式的化简与证明
角度1 三角函数式的化简
【例4】 化简：（1）；
解：原式＝
＝＝1.
（2）sin2αtan α＋＋2sin αcos α.
解：原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝
＝.
【规律方法】
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
训练4 化简：＋（1＋tan2α）cos2α.
解：原式＝＋（1＋）cos2α
＝＋·cos2α＝1＋1＝2.
角度2 三角恒等式的证明
【例5】 求证：＝.
证明：法一 因为－＝＝0，
所以＝.
法二 因为（1＋cos α）（1－cos α）＝1－cos2α＝sin2α，
又1＋cos α≠0，sin α≠0，所以＝.
【规律方法】
证明三角恒等式的常用方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；
（4）变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等；
（5）比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
训练5 求证：2（1－sin α）（1＋cos α）＝（1－sin α＋cos α）2.
证明：左边＝2（1－sin α＋cos α－sin αcos α）
＝1＋（sin2α＋cos2α）－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝（1－2sin α＋sin2α）＋2cos α（1－sin α）＋cos2α
＝（1－sin α）2＋2cos α（1－sin α）＋cos2α
＝（1－sin α＋cos α）2＝右边.
∴原式成立.
1.已知sin α＝，tan α＝，则cos α＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 因为tan α＝，所以cos α＝＝＝.
2.若sin 3＝t，则cos 3＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：B 因为＜3＜π，sin 3＝t，所以cos 3＝－＝－，故选B.
3.已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 由已知得（cos α－sin α）2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α，因为cos α－sin α＝－，所以1－2sin αcos α＝，解得sin αcos α＝.
4.如果tan α＝1，那么＝3.
解析：由tan α＝1，得＝＝＝3.
课堂小结
1.理清单 （1）利用同角三角函数基本关系式求值； （2）sin α±cos α与sin αcos α关系的应用； （3）利用同角三角函数的基本关系化简与证明. 2.应体会 弦切相互转化思想，处理sin θ±cos θ，sin θcos θ之间的关系注意整体代换法. 3.避易错 求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论.
1.若sin α＝－，α为第四象限角，则cos α的值为（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：D 因为sin α＝－，α为第四象限角，所以cos α＝＝，故选D.
2.（2025·三明期末）已知cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
解析：A ∵cos α＝，且α为第四象限角，∴sin α＝－＝－，则tan α＝＝－，故选A.
3.（2024·石家庄质检）化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是（ ）
A. B.
C.1 D.
解析：C 原式＝sin2α＋cos2α（cos2α＋sin2α）＝sin2α＋cos2α＝1.
4.（2025·惠州期末）已知tan α＝3， 则sin αcos α＝（ ）
A. B.
C.± D.±
解析：A 因为tan α＝3，所以sin αcos α＝＝＝＝，故选A.
5.〔多选〕若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有（ ）
A.tan α＝ B.cos α＝
C.sin α＋cos α＝ D.sin α－cos α＝－
解析：AB 因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝，故B正确，所以tan α＝＝，sin α＋cos α＝＋＝，sin α－cos α＝－＝，故A正确，C、D错误.故选A、B.
6.〔多选〕（2025·安庆期末）已知θ∈（0，π），sin θ＋cos θ＝，则（ ）
A.θ∈（，π） B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
解析：ABD 因为sin θ＋cos θ＝ ①，所以（sin θ＋cos θ）2＝sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，所以2sin θcos θ＝－.又θ∈（0，π），所以sin θ＞0，所以cos θ＜0，即θ∈（，π），故A正确.（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，所以sin θ－cos θ＝ ②，故D正确.由①②，得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确.tan θ＝＝－，故C错误.故选A、B、D.
7.已知sin α＝，则1－cos4α＝.
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝，∴1－cos4α＝1－（）2＝.
8.化简的结果是cos 20°.
解析：＝＝＝＝｜cos 20°｜＝cos 20°.
9.已知sin θ＝，cos θ＝，则tan θ＝－或－.
解析：由sin2θ＋cos2θ＝（）2＋（）2＝1，可得m＝0或m＝8，当m＝0时，sin θ＝－，cos θ＝，故tan θ＝－；当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，故tan θ＝－.
10.（1）已知cos α＝－，求sin α，tan α的值；
（2）已知α∈（π，），tan α＝2，求cos α的值.
解：（1）因为cos α＝－＜0，且cos α≠－1，所以α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时，有sin α＝＝＝，tan α＝＝＝－.
当α是第三象限角时，同理有 sin α＝－＝－，tan α＝.
（2）由已知得
由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
又α∈（π，），所以cos α＜0，所以cos α＝－.
11.（2025·白城期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sin α，3），则cos α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：A 由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2（1－cos2α），解得cos α＝或cos α＝－2，由余弦函数的定义可知｜cos α｜＝≤1，则cos α＝－2应舍去.故选A.
12.〔多选〕（2025·金陵中学月考）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A.＝2
B.若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝2
C.若tan x＝，则＝1
D.若α为第一象限角，则＋＝2
解析：ABD A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，因为α为第一象限角，所以原式＝＋＝2.综上，A、B、D正确，故选A、B、D.
13.（2025·南京期末）已知函数f（tan x）＝sin2x－2sin xcos x，则f（2）＝0.
解析：因为f（tan x）＝sin2x－2sin xcos x，所以f（tan x）＝＝，所以f（2）＝＝0.
14.化简下列各式：
（1）cos4α＋sin2α（1＋cos2α）；
（2）－.
解：（1）原式＝cos4α＋（1－cos2α）（1＋cos2α）＝cos4α＋1－cos4α＝1.
（2）原式＝－
＝－
＝＝sin x＋cos x.
15.（1）求证：＝；
（2）已知＋＝1，求证：＋＝1.
证明：（1）法一（两边凑）
左边＝＝
＝＝
＝，
右边＝＝，
左边＝右边，所以原式成立.
法二（从左推右） 因为左边＝
＝
＝
＝＝右边，所以原式成立.
法三（从右推左）
因为右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边，
所以原式成立.
（2）设sin2A＝m（0＜m＜1），sin2B＝n（0＜n＜1），则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.
由＋＝1，得＋＝1，即（m－n）2＝0，所以m＝n.
所以＋＝＋＝＋＝1－n＋n＝1.
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