第二课时 诱导公式五、六
课标要求
1.了解公式五和公式六的推导方法（逻辑推理）.
2.准确记忆并灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明（数学运算）.
情境导入
我们容易计算像0，，这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？－α与α的终边有什么关系？如何求＋α的三角函数值？
知识点一｜诱导公式五、六
问题 如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1（x1，y1），作点P1关于直线y＝x的对称点P2（x2，y2）.
（1）以OP2为终边的角γ与角α有什么关系？
提示：γ＝2kπ＋（－α）（k∈Z）.
（2）角γ与角α的正（余）弦函数值有什么关系？
提示：显然x2＝y1，y2＝x1，根据三角函数的定义，得到sin α＝y1，cos α＝x1，故sin（－α）＝cos α，cos（－α）＝sin α.
（3）若OP1绕点O逆时针旋转后交单位圆于一点P3，那么以OP3为终边的角β与角α有什么关系？角β与α的正（余）弦函数值有什么关系？
提示：β＝＋α；sin（＋α）＝cos α，cos（＋α）＝－sin α.
【知识梳理】
提醒：（1）诱导公式五、六可概括为：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”；（2）诱导公式一～六可概括为“奇变偶不变，符号看象限”.①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦；②“奇”“偶”是对k·±α（k∈Z）中的整数k来讲的.
【例1】 求下列各式的值：
（1）sin 120°；
解：sin 120°＝sin（90°＋30°）＝cos 30°＝.
（2）cos 135°；
解：cos 135°＝cos（90°＋45°）＝－sin 45°＝－.
（3）sin211°＋sin279°；
解：sin211°＋sin279°＝sin211°＋sin2（90°－11°）＝sin211°＋cos211°＝1.
（4）sin（π＋α）.
解：sin（π＋α）＝sin［π＋（＋α）］＝－sin（＋α）＝－cos α.
【规律方法】
用诱导公式求值的方法
（1）对于三角函数式的求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；
（2）解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α.
训练1 已知sin（π＋α）＝－，计算：
解：根据题意，由sin（π＋α）＝－sin α＝－，得sin α＝，
故cos（α－）＝cos（－α）＝cos［π＋（－α）］＝－cos（－α）＝－sin α＝－.
（1）cos（α－）；（2）sin（＋α）.
解：根据题意，cos2α＝1－sin2α＝1－＝，
由sin α＝，知α为第一或第二象限角.
当α为第一象限角时，sin（＋α）＝cos α＝；
当α为第二象限角时，sin（＋α）＝cos α＝－.
综上所述，sin（＋α）＝±.
知识点二｜利用诱导公式化简
【例2】 化简：
.
解：
＝
＝－tan α.
【规律方法】
用诱导公式进行化简时的注意点
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
训练2 化简：
.
解：
＝＝tan 2α.
提能点｜诱导公式的综合应用
【例3】 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，
求的值.
解：因为sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，
所以sin α＝＝2或－，由y＝sin α的定义知sin α∈[－1，1]，所以sin α＝－，
因为α为第三象限角，所以cos α＝－，
所以
＝＝·＝＝.
变式 将条件中的“sin α”改为“cos α”，
求的值.
解：因为cos α是方程5x2－7x－6＝0的根，
可得cos α＝－，sin α＝－，tan α＝，
＝
＝－tan α＝－.
【规律方法】
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
训练3 已知f（α）＝.
（1）化简f（α）；
解：f（α）＝
＝＝cos α.
（2）若角A是△ABC的内角，且f（A）＝，求tan A－sin A的值.
解：因为f（A）＝cos A＝，又角A是△ABC的内角，则角A为锐角，
所以sin A＝＝，tan A＝＝，
因此，tan A－sin A＝－＝.
1.已知sin（＋α）＝，则cos α＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：A 由sin（＋α）＝sin（π＋α）＝－sin（＋α）＝－cos α＝，则cos α＝－.故选A.
2.若sin（＋θ）＜0，且cos（－θ）＞0，则θ是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析：B 由于sin（＋θ）＝cos θ＜0，cos（－θ）＝sin θ＞0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
3.sin 95°＋cos 175°的值为0.
解析：sin 95°＋cos 175°＝sin（90°＋5°）＋cos（180°－5°）＝cos 5°－cos 5°＝0.
4.化简：＝－.
解析：＝
＝－.
课堂小结
1.理清单 （1）诱导公式五、六； （2）利用诱导公式进行化简； （3）诱导公式的综合应用； 2.应体会 利用角的互余与互补转化. 3.避易错 函数符号的变化，三角形中角的范围.
1.与sin（θ－）一定相等的是（ ）
A.sin（－θ） B.cos（θ－）
C.cos（2π－θ） D.sin（θ＋）
解析：A 依题意，sin（θ－）＝－sin（－θ）＝－cos θ，sin（－θ）＝sin［2π－（＋θ）］＝－sin（＋θ）＝－cos θ，故选A.
2.已知sin（－α）＝，则cos（π＋α）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：A 由诱导公式可得sin（－α）＝cos α＝，又cos（π＋α）＝－cos α＝－，故选A.
3.（2025·潍坊月考）已知以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角α的终边经过点P（3，－4），则cos（π－α）＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
解析：B 角α的终边经过点P（3，－4），则sin α＝＝－，所以cos（π－α）＝－sin α＝，故选B.
4.（2025·连云港联考）化简：＝（ ）
A.－sin θ B.sin θ
C.cos θ D.－cos θ
解析：A 原式＝
＝＝－sin θ，故选A.
5.〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ）
A.sin（3π－x）＝sin x B.sin＝cos
C.cos（＋3x）＝sin 3x D.cos（＋2x）＝－sin 2x
解析：AB sin（3π－x）＝sin（π－x）＝sin x，sin＝sin（－）＝cos，cos（＋3x）＝cos（＋3x）＝－sin 3x，cos（＋2x）＝sin 2x，故选A、B.
6.〔多选〕（2024·南宁期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）
A.cos（A＋B）＝cos C B.sin（A＋B）＝sin C
C.cos＝sin D.sin＝cos
解析：BCD cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，A错误；sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，B正确；cos（）＝cos（）＝cos（－）＝sin，C正确；sin（）＝sin（）＝sin（－）＝cos，D正确.故选B、C、D.
7.已知cos（π－α）＝，则sin（α＋）＝－.
解析：∵cos（π－α）＝－cos α＝，∴cos α＝－，∴sin（α＋）＝cos α＝－.
8.（2025·海淀期中）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（2，1）.若角α的终边逆时针旋转得到角β的终边，则sin β＝.
解析：因为角α的终边经过点P（2，1），所以cos α＝＝，又β＝α＋，所以sin β＝sin（α＋）＝cos α＝.
9.已知角α的终边过点（－1，－3），则＝.
解析：因为角α的终边过点（－1，－3），所以tan α＝3，所以＝＝＝＝.
10.化简：·sin（α－π）·tan（－α）.
解：原式＝·（－sin α）·
＝·（－sin α）·
＝·（－sin α）·＝－sin α.
11.（2025·临泉期末）已知f（sin x）＝cos 3x，则f（cos 10°）的值为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：A f（cos 10°）＝f（sin 80°）＝cos 240°＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－.
12.（2025·南京月考）函数y＝loga（x＋4）＋4（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos（＋θ）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：D 对数函数y＝logax恒过点（1，0），将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得y＝loga（x＋4）＋4的图象，点（1，0）平移之后为点（－3，4），所以A（－3，4），令x＝－3，y＝4，则｜OA｜＝＝＝5，所以sin θ＝＝，由诱导公式可得：cos（＋θ）＝sin θ＝，故选D.
13.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为.
解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin2（90°－x°）＝sin2x°＋cos2x°＝1（1≤x≤44，x∈N），所以原式＝（sin21°＋sin289°）＋（sin22°＋sin288°）＋…＋（sin244°＋sin246°）＋sin290°＋sin245°＝45＋（）2＝.
14.已知f（α）＝.
（1）若α∈（0，2π），且f（α）＝－，求α的值；
（2）若f（α）－f（＋α）＝，且α∈（，），求tan α的值.
解：（1）f（α）＝
＝＝sin α，α∈（0，2π），且f（α）＝sin α＝－，则α＝或α＝.
（2）f（α）－f（＋α）＝sin α－sin（＋α）＝sin α＋cos α＝，
则sin α＝－cos α，所以cos2α＋sin2α＝cos2α＋＝1，
解得cos α＝或cos α＝－，由α∈（，），则cos α＝－，得sin α＝，
所以tan α＝＝＝－.
15.已知α≠kπ，k∈Z，cos（＋α）＝2cos（－β），tan（π＋α）＝3tan（π－β），求证：cos2α＝.
证明：由已知得sin2α＝4sin2β， ①
tan2α＝9tan2β. ②
将①÷②得9cos2α＝4cos2β. ③
再将①＋③得sin2α＋9cos2α＝4，
即1－cos2α＋9cos2α＝4，所以cos2α＝.
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1.与sin（θ－）一定相等的是（ ）
A.sin（－θ） B.cos（θ－）
C.cos（2π－θ） D.sin（θ＋）
2.已知sin（－α）＝，则cos（π＋α）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
3.（2025·潍坊月考）已知以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角α的终边经过点P（3，－4），则cos（π－α）＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
4.（2025·连云港联考）化简：
＝（ ）
A.－sin θ B.sin θ
C.cos θ D.－cos θ
5.〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ）
A.sin（3π－x）＝sin x
B.sin＝cos
C.cos（＋3x）＝sin 3x
D.cos（＋2x）＝－sin 2x
6.〔多选〕（2024·南宁期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（ ）
A.cos（A＋B）＝cos C B.sin（A＋B）＝sin C
C.cos＝sin D.sin＝cos
7.已知cos（π－α）＝，则sin（α＋）＝ .
8.（2025·海淀期中）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（2，1）.若角α的终边逆时针旋转得到角β的终边，则sin β＝ .
9.已知角α的终边过点（－1，－3），则＝ .
10.化简：·sin（α－π）·tan（－α）.
11.（2025·临泉期末）已知f（sin x）＝cos 3x，则f（cos 10°）的值为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
12.（2025·南京月考）函数y＝loga（x＋4）＋4（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos（＋θ）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
13.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为 .
14.已知f（α）＝.
（1）若α∈（0，2π），且f（α）＝－，求α的值；
（2）若f（α）－f（＋α）＝，且α∈（，），求tan α的值.
15.已知α≠kπ，k∈Z，cos（＋α）＝2cos（－β），tan（π＋α）＝3tan（π－β），求证：cos2α＝.
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