第一课时 诱导公式二、三、四
1.（2025·攀枝花期中）tan 240°＋sin 300°＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
2.（2025·南昌期末）若sin（α－）＝，则sin（α＋）＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
3.（2025·枣庄期末）已知tan（5π＋x）＝－2，则的值为（ ）
A.4 B.3
C.－3 D.－4
4.（2025·临沂期末）已知sin（π＋α）＝，且α是第四象限角，那么cos（α－π）的值是（ ）
A. B.－
C.± D.
5.〔多选〕下列三角函数式的值为负的是（ ）
A.cos 210° B.sin
C.sin（－） D.cos（－1 920°）
6.〔多选〕（2025·永州期中）已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中正确的有（ ）
A.sin（B＋C）＝sin A
B.cos（B＋C）＝cos A
C.tan（B＋C）＝tan A
D.sin2A＋cos2（B＋C）＝1
7.（2025·房山期末）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝ .
8.（2025·曲靖期末）在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点（sin，cos），则tan（π－α）＝ .
9.已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），｜θ｜＜，则θ＝ .
10.求下列三角函数值：
（1）cos（－480°）＋sin 210°；
（2）sin（－）·cos·tan.
11.（2025·长春月考）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3sin（－β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α的值是（ ）
A. B.
C. D.
12.〔多选〕（2025·西安月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”.已知sin（π＋α）＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是（ ）
A.sin β＝ B.cos（π＋β）＝
C.tan β＝ D.cos（2π－β）＝－
13.（2025·巴蜀期末）设函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f（2 024）＝－1，则f（2 025）＝ .
14.（1）已知cos（α－75°）＝－，且角α为第四象限角，求cos（105°＋α）＋tan（75°－α）的值；
（2）已知＝2，求的值.
15.（2025·深圳期末）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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课标要求
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法（逻辑推理）.
2.掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用（数学运算）.
情境导入
前面学习了“终边相同的角的同一三角函数值相等”，由两个角的终边具有这种特殊关系就得到了公式一：即sin（α＋2kπ）＝sin α，k∈Z；cos（α＋2kπ）＝cos α，k∈Z；tan（α＋2kπ）＝tan α，k∈Z，即已知sin 26°＝m，就可求得sin 386°，sin（－334°）的值.除此之外，如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点对称等.那么它们的三角函数值有何关系呢？如果已知sin 26°＝m，你能用m表示出sin 386°，sin（－26°），sin 154°，sin 206°吗？
知识点一｜诱导公式二、三、四
问题 如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1，作点P1关于原点的对称点P2.
（1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
提示：以OP2为终边的角β与角π＋α的终边相同，即β＝2kπ＋π＋α（k∈Z）.
（2）角π＋α与角α的三角函数值之间有什么关系？
提示：设P1（x，y），则P2（－x，－y），根据三角函数的定义可知，y＝sin α，x＝cos α，＝tan α（x≠0），sin（π＋α）＝－y，cos（π＋α）＝－x，tan（π＋α）＝.
（3）你能根据三角函数的定义探究角α与角－α的三角函数值之间的关系吗？
提示：如图，在直角坐标系内角－α与角α的终边关于x轴对称，根据三角函数的定义可得sin（－α）＝－sin α，cos（－α）＝cos α，tan（－α）＝－tan α.
（4）你能根据三角函数的定义探究角α与角π－α的三角函数值之间的关系吗？
提示：如图，在直角坐标系内，角π－α与角α的终边关于y轴对称，根据三角函数的定义可得sin（π－α）＝sin α，cos（π－α）＝－cos α，tan（π－α）＝－tan α.
【知识梳理】
1.公式二
sin（π＋α）＝ －sin α ，cos（π＋α）＝ －cos α ，tan（π＋α）＝ tan α .
2.公式三
sin（－α）＝ －sin α ，cos（－α）＝ cos α ，tan（－α）＝ －tan α .
3.公式四
sin（π－α）＝ sin α ，cos（π－α）＝ －cos α ，tan（π－α）＝ －tan α .
提醒：（1）运用以上三组诱导公式时，可把α“看成”锐角判断该三角函数值的符号，等号左右两端函数名称不变；（2）诱导公式中角α的正弦函数、余弦函数可以是任意角，正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
训练1 （1）cos（－45°）的值是（ C ）
A.－ B.－
C. D.
解析：cos（－45°）＝cos 45°＝，故选C.
（2）若tan α＝－2，则tan（π－α）的值是2.
解析：根据诱导公式知：tan（π－α）＝－tan α＝2.
知识点二｜给角求值问题
【例1】 计算：（1）sin（－）；
解：原式＝－sin＝－sin（2π＋）＝－sin＝－.
（2）sin（－60°）＋cos 225°＋tan 135°；
解：原式＝－sin 60°＋cos（180°＋45°）＋tan（180°－45°）
＝－－cos 45°－tan 45°＝－.
（3）sin·cos·tan.
解：原式＝sin（π＋）cos（4π＋）·tan（π＋）
＝－sincostan＝－××1＝－.
【规律方法】
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
训练2 求下列各三角函数值：
（1）cos（－）；
解：cos（－）＝cos＝cos（4π＋）＝cos（π＋）＝－cos＝－.
（2）tan（－765°）；
解：tan（－765°）＝－tan 765°＝－tan（45°＋2×360°）＝－tan 45°＝－1.
（3）sin＋tan－cos（－）.
解：sin＋tan－cos（－）
＝sin（π－）＋tan（2π－）－cos
＝sin＋tan（－）－cos（π－）
＝sin－tan＋cos
＝－1＋＝0.
知识点三｜给值（式）求值（变式）
【例2】 已知cos（－α）＝，则cos（＋α）的值为－.
解析：因为cos（－α）＝，所以cos（＋α）＝cos［π－（－α）］＝－cos（－α）＝－.
变式1 在本例条件下，求：cos（α－）和sin2（α－）的值.
解：cos（α－）＝cos（－α）＝cos（－α）＝.
sin2（α－）＝sin2［－（－α）］＝sin2（－α）
＝1－cos2（－α）＝1－（）2＝.
变式2 若将本例中条件“cos（－α）＝”改为“sin（α－）＝，α∈（，）”，如何求得？
解：因为α∈（，），则α－∈（，π）.
所以cos（＋α）＝－cos（－α）＝－cos（α－）
＝＝＝.
【规律方法】
解决条件求值问题的两个技巧
训练3 （1）若sin（π＋α）＝－，且α是第二象限角，则cos α＝（ B ）
A.－ B.－
C. D.
解析：由sin（π＋α）＝－sin α＝－，得sin α＝，又由α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.故选B.
（2）已知tan（π＋α）＝－，则＝－.
解析：tan（π＋α）＝－，则tan α＝－，原式＝
＝＝
＝＝－.
提能点｜化简求值
【例3】 化简：（1）；
解：原式＝
＝＝1.
（2）（n∈Z）.
解：原式＝
＝
＝＝－.
【规律方法】
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数值的符号有没有改变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切.
训练4 化简：
.
解：原式＝＝·＝1.
1.计算cos（－600°）＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：D cos（－600°）＝cos 600°＝cos（360°＋240°）＝cos 240°＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－.
2.〔多选〕下列等式正确的是（ ）
A.cos（－α）＝cos α
B.sin（360°－α）＝sin α
C.tan（2π－α）＝tan（π＋α）
D.cos（π＋α）＝cos（π－α）
解析：AD cos（－α）＝cos α，故A正确；sin（360°－α）＝－sin α，故B错误；tan（2π－α）＝－tan α＝－tan（π＋α），故C错误；cos（π＋α）＝－cos α＝cos（π－α），故D正确.故选A、D.
3.化简：sin（－α）cos（π＋α）tan（2π＋α）＝sin2α.
解析：原式＝－sin α（－cos α）tan α＝sin αcos α＝sin2α.
4.化简：·tan（π＋α）.
解：原式＝·tan α＝·＝－1.
课堂小结
1.理清单 （1）诱导公式二～四； （2）利用诱导公式解给角求值问题； （3）利用诱导公式解给值（式）求值（变式）问题； （4）利用诱导公式化简. 2.应体会 确定角的范围要数形结合，运用转化的思想利用诱导公式求值化简. 3.避易错 符号的确定.
1.（2025·攀枝花期中）tan 240°＋sin 300°＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
解析：B tan 240°＋sin 300°＝tan（180°＋60°）＋sin（360°－60°）＝tan 60°－sin 60°＝. 故选B.
2.（2025·南昌期末）若sin（α－）＝，则sin（α＋）＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
解析：D 因为sin（α－）＝，所以sin（α＋）＝sin［π＋（α－）］＝－sin（α－）＝－.故选D.
3.（2025·枣庄期末）已知tan（5π＋x）＝－2，则的值为（ ）
A.4 B.3
C.－3 D.－4
解析：B 由tan（5π＋x）＝－2得tan x＝－2，所以＝＝＝3.
4.（2025·临沂期末）已知sin（π＋α）＝，且α是第四象限角，那么cos（α－π）的值是（ ）
A. B.－
C.± D.
解析：B sin（π＋α）＝－sin α＝，即sin α＝－，因为α是第四象限角，所以cos α＝＝，所以cos（α－π）＝cos（π－α）＝－cos α＝－.故选B.
5.〔多选〕下列三角函数式的值为负的是（ ）
A.cos 210° B.sin
C.sin（－） D.cos（－1 920°）
解析：AD A.cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－＜0.B.sin＝sin（2π＋）＝sin＝sin（π－）＝sin＝＞0.C.sin（－）＝－sin（6π＋）＝－sin＝－sin（π＋）＝sin＝＞0.D.cos（－1 920°）＝cos 1 920°＝cos（5×360°＋120°）＝cos 120°＝cos（180°－60°）＝－cos 60°＝－＜0.
6.〔多选〕（2025·永州期中）已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中正确的有（ ）
A.sin（B＋C）＝sin A
B.cos（B＋C）＝cos A
C.tan（B＋C）＝tan A
D.sin2A＋cos2（B＋C）＝1
解析：AD 依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A，A正确；cos（B＋C）＝cos（π－A）＝－cos A，B错误；tan（B＋C）＝tan（π－A）＝－tan A，C错误；sin2A＋cos2（B＋C）＝sin2A＋cos2A＝1，D正确.
7.（2025·房山期末）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝.
解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所以sin β＝sin（π＋2kπ－α）＝sin α＝.
8.（2025·曲靖期末）在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点（sin，cos），则tan（π－α）＝.
解析：根据正切函数的定义可知tan α＝＝－＝－，所以tan（π－α）＝－tan α＝.
9.已知sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），｜θ｜＜，则θ＝.
解析：因为sin（π＋θ）＝－cos（2π－θ），所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝，又｜θ｜＜，所以θ＝.
10.求下列三角函数值：
（1）cos（－480°）＋sin 210°；
（2）sin（－）·cos·tan.
解：（1）原式＝cos 480°＋sin（180°＋30°）
＝cos（360°＋120°）－sin 30°
＝cos 120°－
＝cos（180°－60°）－
＝－cos 60°－
＝－－＝－1.
（2）原式＝sin（－4π＋）·cos（4π－）·tan（6π＋）
＝sin·cos（－）·tan
＝sin（π＋）·cos·tan
＝－sin·cos·tan
＝－××＝－.
11.（2025·长春月考）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3sin（－β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，则sin α的值是（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 由α为锐角，且2tan（π－α）－3sin（－β）＋5＝0，可得2tan α－3sin β－5＝0 ①.由tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，可得tan α－6sin β－1＝0 ②.①×2－②得3tan α－9＝0，所以tan α＝3，即＝3.因为sin2α＋cos2α＝1.所以sin2α＝.又α为锐角，所以sin α＞0，所以sin α＝.故选C.
12.〔多选〕（2025·西安月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”.已知sin（π＋α）＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是（ ）
A.sin β＝ B.cos（π＋β）＝
C.tan β＝ D.cos（2π－β）＝－
解析：ABD 因为sin（π＋α）＝－sin α＝－，所以sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中，sin β＝sin（π－α）＝sin α＝.故A符合条件；B中，cos（π＋β）＝cos（2π－α）＝cos α＝±，故B符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C不符合条件；D中，cos（2π－β）＝cos [2π－（π－α）]＝cos（π＋α）＝－cos α＝±，故D符合条件.故选A、B、D.
13.（2025·巴蜀期末）设函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f（2 024）＝－1，则f（2 025）＝1.
解析：因为f（2 024）＝asin（2 024π＋α）＋bcos（2 024π＋β）＝－1，所以f（2 025）＝asin（2 024π＋π＋α）＋bcos（2 024π＋π＋β）＝－asin（2 024π＋α）－bcos（2 024π＋β）＝1.
14.（1）已知cos（α－75°）＝－，且角α为第四象限角，求cos（105°＋α）＋tan（75°－α）的值；
（2）已知＝2，求的值.
解：（1）由题意可得cos（105°＋α）＝cos（180°＋α－75°）＝－cos（α－75°）＝.
∵角α为第四象限角，且cos（α－75°）＜0，
∴角α－75°为第三象限角，
∴sin（α－75°）＝－＝－，
∴tan（α－75°）＝＝2，
∴tan（75°－α）＝－tan（α－75°）＝－2，
∴cos（105°＋α）＋tan（75°－α）＝－2.
（2）∵＝2，
∴tan（3π－α）＝2，
∴tan α＝－2.
＝
＝＝，
把tan α＝－2代入，得原式＝＝.
15.（2025·深圳期末）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：C （1）若k为偶数，设k＝2n（n∈Z），则α＝2nπ＋β，有sin α＝sin（2nπ＋β）＝sin β；若k为奇数，设k＝2n＋1（n∈Z），则α＝（2n＋1）π－β，有sin α＝sin[（2n＋1）π－β]＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sin β.充分性成立.（2）若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β，即α＝2kπ＋β或α＝（2k＋1）π－β，故α＝kπ＋（－1）kβ.必要性成立.故应为充要条件.故选C.
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