5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1.若点M（，－m）在函数y＝sin x的图象上，则m＝（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.2
2.（2025·东莞实验中学月考）函数y＝－cos x（x＞0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（ ）
A.（，1） B.（π，1）
C.（0，1） D.（2π，1）
3.函数y＝sin ｜x｜的图象是（ ）
4.（2025·石家庄月考）不等式sin x＜－，x∈[0，2π]的解集是（ ）
A.（，） B.［，］
C.（，） D.（，）
5.〔多选〕下列函数与y＝sin x形状完全相同的是（ ）
A.y＝sin x－1 B.y＝｜sin x｜
C.y＝－cos x D.y＝
6.〔多选〕（2025·潍坊期末）在x∈（0，2π）上，能够满足cos x＞sin x成立的x的取值范围为（ ）
A. B.
C.∪ D.
7.用“五点法”作函数y＝sin 2x，x∈［－，］的大致图象时，所取的五点是 .
8.（2025·晋城月考）若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是 .
9.（2025·沈阳期中）函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是 .
10.用“五点法”作下列函数的简图：
（1）y＝2sin x（x∈[0，2π]）；
（2）y＝sin（x－）（x∈［，］）.
11.（2025·石嘴山月考）函数f（x）＝lg x与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.不确定
12.〔多选〕（2025·开封期末）关于三角函数的图象，下列说法中正确的有（ ）
A.y＝sin ｜x｜与y＝sin x的图象相同
B.y＝cos（－x）与y＝cos ｜x｜的图象相同
C.y＝｜sin x｜与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称
D.y＝cos x与y＝cos（－x）的图象关于y轴对称
13.（2025·哈尔滨期中）函数f（x）＝sin x＋2｜sin x｜，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝
（1）作出该函数的图象；
（2）若f（x）＝，求x的值.
15.（2025·聊城期末）已知定义在区间［－π，］上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f（x）＝－sin x.
（1）作出y＝f（x）的图象；
（2）求y＝f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程f（x）＝－有解，将方程所有解的和记作M，结合（1）中的图象，求M的值.
2 / 25.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课标要求
1.了解用单位圆作正弦函数图象的方法（数学抽象）.
2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象（直观想象）.
3.会用正弦函数、余弦函数的图象解答简单的问题（数学运算）.
情境导入
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象.数学中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.
知识点一｜正、余弦函数图象的初步认识
问题1 我们已经学习了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个正弦函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数的图象，再通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论.
（1）在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T（x0，sin x0）？
提示：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T（x0，sin x0）.
（2）如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？
提示：如图，借助单位圆，在x轴上把区间[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，就可得到越精确的函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象（通过信息技术展示）.
（3）根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能画出y＝sin x，x∈R的图象吗？
提示：由诱导公式一可知，函数y＝sin x，x∈[2kπ，2（k＋1）π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致，因此将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图所示.
（4）y＝cos x，x∈R的图象可由y＝sin x，x∈R的图象平移得到吗？原因是什么？
提示：可以，因为cos x＝sin（x＋），y＝sin x，x∈R的图象向左平移的单位长度可得到y＝cos x，x∈R的图象.
【知识梳理】
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线
函数 y＝sin x，x∈R
图象
2.余弦函数的图象叫做余弦曲线
函数 y＝cos x，x∈R
图象
【例1】 下列叙述正确的个数为（ ）
①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）成中心对称；②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：D 分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象（图略），由图象观察可知①②③均正确.
【规律方法】
解决正弦、余弦函数图象的注意点
对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是（ ）
A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B.都是既是轴对称又是中心对称图形
C.都与x轴有无数个交点
D.y＝sin（－x）的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称
解析：A 由正弦、余弦函数的图象知，B、C、D正确.
知识点二｜“五点法”作正、余弦函数的图象
问题2 （1）确定正弦函数图象的形状时，应抓住哪些关键点？
提示：五个关键点（0，0），（，1），（π，0），（，－1），（2π，0）.
（2）确定余弦函数图象的形状时，应抓住哪些关键点？
提示：五个关键点（0，1），（，0），（π，－1），（，0），（2π，1）.
【知识梳理】
“五点（画图）法”
函数 关键五点
y＝sin x （0，0）， （，1） ，（π，0），（，－1）， （2π，0）
y＝cos x （0，1）， （，0） ，（π，－1），（，0）， （2π，1）
【例2】 用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y＝sin x－1，x∈[0，2π]；
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
（2）y＝2＋cos x，x∈[0，2π].
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋cos x 3 2 1 2 3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
【规律方法】
作形如y＝asin x＋b（或y＝acos x＋b），x∈[0，2π]的图象的三个步骤
提醒：若函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数作图，也可利用对称性作出函数图象.
训练2 画出函数y＝－sin x在区间[0，2π]上的图象.
解：利用五个关键点确定y＝sin x的图象，这五个关键点也是画y＝－sin x图象的关键点，按五个关键点列表（如表）.
x 0 π 2π
y＝sin x 0 1 0 －1 0
y＝－sin x 0 －1 0 1 0
于是得到函数y＝－sin x在区间[0，2π]上的五个关键点为（0，0），（，－1），（π，0），（，1），（2π，0）.
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝－sin x在区间[0，2π]上的图象，如图.
提能点｜正、余弦函数图象的简单应用
角度1 与函数图象有关的交点问题
【例3】 判断方程sin x＝lg x的解的个数.
解：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法，描点画出函数y＝sin x的图象.
描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示，
由图象可知：y＝sin x与y＝lg x有3个不同交点，∴方程sin x＝lg x的解有3个.
【规律方法】
求解与函数图象有关的交点问题的策略
分别作出y＝sin x与y＝lg x的函数图象，利用函数图象的交点的个数来判断该方程解的个数，此方程的解为交点的横坐标.
提醒：作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
训练3 函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－的交点有2个.
解析：作出y＝cos x，x∈[0，2π]与y＝－的图象（图略），由图象可知，函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－有两个交点.
角度2 利用函数图象解不等式
【例4】 求函数y＝的定义域.
解：由2sin x－1≥0得sin x≥，
画出y＝sin x的图象和直线y＝.
可知sin x≥的解集为y＝sin x图象与直线y＝的交点及上方部分的集合，
即函数定义域为{x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
变式 本例中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？
解：由2cos x－1≥0得cos x≥，画出y＝cos x的图象和直线y＝.
观察图象可知函数的定义域为{x｜－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}.
【规律方法】
用三角函数图象解三角不等式的方法
（1）作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象，再向左、右平移后得到该函数在R上的函数图象；
（2）写出不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）根据诱导公式一，写出在定义域内的解集.
训练4 在[0，2π]内不等式sin x＜－的解集是（ ）
A.（0，π） B.（，）
C.（，） D.（，2π）
解析：C 画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如图所示，
因为sin＝，所以sin（π＋）＝－，sin（2π－）＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的是x＝或x＝.可知不等式sin x＜－的解集是（，）.
1.用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出的五点的横坐标是（ ）
A.0，，，，π B.0，，π，，2π
C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，，
解析：B 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π.
2.函数y＝sin（－x），x∈[0，2π]的简图是（ ）
解析：B y＝sin（－x）＝－sin x与y＝sin x关于x轴对称.
3.函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为 .
答案：（，4），（，4）
解析：由解得cos x＝0，当x∈[0，2π]时，x＝或，∴交点坐标为（，4），（，4）.
4.作出函数y＝2＋sin x，x∈[0，2π]的简图，观察函数图象，写出y的取值范围.
解：列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2＋sin x 2 3 2 1 2
描点，连线，如图.
由图知，y∈[1，3].
课堂小结
1.理清单 （1）正弦函数、余弦函数图象的初步认识； （2）“五点（画图）法”作图； （3）正弦函数、余弦函数图象的应用. 2.应体会 应用正、余弦函数图象时注意运用数形结合法. 3.避易错 五点的选取；函数图象平移的方向.
1.若点M（，－m）在函数y＝sin x的图象上，则m＝（ ）
A.0 B.1
C.－1 D.2
解析：C 由题意得－m＝sin，所以－m＝1，所以m＝－1.
2.（2025·东莞实验中学月考）函数y＝－cos x（x＞0）的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（ ）
A.（，1） B.（π，1）
C.（0，1） D.（2π，1）
解析：B 用五点作图法作出函数y＝－cos x（x＞0）的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近的最高点的坐标为（π，1）.
3.函数y＝sin ｜x｜的图象是（ ）
解析：B 因为函数y＝sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时，sin ｜x｜＝sin x，故选B.
4.（2025·石家庄月考）不等式sin x＜－，x∈[0，2π]的解集是（ ）
A.（，） B.［，］
C.（，） D.（，）
解析：A 如图所示，不等式sin x＜－，x∈[0，2π]的解集为（，），故选A.
5.〔多选〕下列函数与y＝sin x形状完全相同的是（ ）
A.y＝sin x－1 B.y＝｜sin x｜
C.y＝－cos x D.y＝
解析：AC y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位，没改变形状；y＝－cos x＝sin（x－），故y＝－cos x是将y＝sin x向右平移个单位，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，所以A、C完全相同，而y＝｜sin x｜，y＝＝｜cos x｜与y＝sin x的形状不相同.
6.〔多选〕（2025·潍坊期末）在x∈（0，2π）上，能够满足cos x＞sin x成立的x的取值范围为（ ）
A. B.
C.∪ D.
解析：BD 作出y＝sin x和y＝cos x在x∈（0，2π）上的函数图象如图，根据函数图象可得满足cos x＞sin x的x的取值范围为∪.
7.用“五点法”作函数y＝sin 2x，x∈［－，］的大致图象时，所取的五点是（－，0），（－，－1），（0，0），（，1），（，0）.
解析：因为x∈［－，］，所以2x∈[－π，π]，所以由正弦函数“五点法”知，应取2x＝－π，－，0，，π，即x＝－，－，0，，，所以得到五个点分别为：（－，0），（－，－1），（0，0），（，1），（，0）.
8.（2025·晋城月考）若方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是［－，0］.
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时，sin x∈[－1，1].要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
9.（2025·沈阳期中）函数y＝2cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是4π.
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
10.用“五点法”作下列函数的简图：
（1）y＝2sin x（x∈[0，2π]）；
（2）y＝sin（x－）（x∈［，］）.
解：（1）列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2sin x 0 2 0 －2 0
描点连线如图：
（2）列表如下：
x π 2π
sin x 1 0 －1 0 1
sin（x－） 0 1 0 －1 0
描点连线如图：
11.（2025·石嘴山月考）函数f（x）＝lg x与g（x）＝cos x的图象的交点个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.不确定
解析：C 在同一坐标系中，作出函数f（x）＝lg x与g（x）＝cos x的图象，如图所示，
由图可知，两函数的交点个数为3.
12.〔多选〕（2025·开封期末）关于三角函数的图象，下列说法中正确的有（ ）
A.y＝sin ｜x｜与y＝sin x的图象相同
B.y＝cos（－x）与y＝cos ｜x｜的图象相同
C.y＝｜sin x｜与y＝sin（－x）的图象关于x轴对称
D.y＝cos x与y＝cos（－x）的图象关于y轴对称
解析：BD 对于B，y＝cos（－x）＝cos x，y＝cos ｜x｜＝cos x，故其图象相同；对于D，y＝cos（－x）＝cos x，故这两个函数图象关于y轴对称，作图（图略）可知A、C均不正确.
13.（2025·哈尔滨期中）函数f（x）＝sin x＋2｜sin x｜，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（1，3）.
解析：f（x）＝sin x＋2｜sin x｜＝如图，则k的取值范围是（1，3）.
14.已知函数f（x）＝
（1）作出该函数的图象；
（2）若f（x）＝，求x的值.
解：（1）作出函数f（x）＝的图象.如图1所示.
（2）因为f（x）＝，所以在图1基础上再作直线y＝，如图2所示.
则当－π≤x＜0时，由图象知x＝－.当0≤x≤π时，x＝或x＝.综上，可知x的值为－或或.
15.（2025·聊城期末）已知定义在区间［－π，］上的函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f（x）＝－sin x.
（1）作出y＝f（x）的图象；
（2）求y＝f（x）的解析式；
（3）若关于x的方程f（x）＝－有解，将方程所有解的和记作M，结合（1）中的图象，求M的值.
解：（1）y＝f（x）的图象如图所示.
（2）任取x∈［－π，），则－x∈（，］，
因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，
所以f（x）＝f（－x），又当x≥时，f（x）＝－sin x，
所以f（x）＝f（－x）＝－sin（－x）＝－cos x.
所以f（x）＝
（3）当x＝时，f（）＝－.因为－∈（－1，－），所以结合图象可知，f（x）＝－有4个解，
分别设为x1，x2，x3，x4，且4个解满足x1＜x2＜＜x3＜x4，由图象的对称性可知x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，
所以M＝x1＋x2＋x3＋x4＝π.
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