第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
课标要求
1.了解正弦函数与余弦函数的单调性（直观想象）.
2.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期变化的规律，会求单调区间（逻辑推理）.
3.会比较三角函数值的大小，会求正弦函数与余弦函数的最值、值域等问题（数学运算）.
情境导入
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.如图一个过山车的轨道是一条正（余）弦曲线的一部分，其行进方式为从起点爬升、滑落，再爬升，再滑落循环开往终点.人坐在车内，离地面的高度一会增加，一会减少，一会儿到达最高处，一会儿又滑落到最低处，类似这种现象生活中的实例很多，如冲浪运动、无线电波的传输等，为此，我们今天将其抽象为正弦、余弦函数，研究它的单调性及最值问题.
知识点一｜正弦、余弦函数的单调性
问题1 （1）观察正弦（余弦）曲线，研究正弦（余弦）函数的单调性时，我们是否需要画出它们在R上的图象？
提示：不需要，选择一个周期的图象就能较好地将单调性完整地呈现出来.
（2）如图，观察正弦函数图象，描述正弦函数在区间［－，］内的单调性.
提示：正弦函数y＝sin x在区间［－，］上单调递增，在区间［，］上单调递减.
（3）根据函数单调性的定义，如何描述整个定义域上的正弦函数的单调性呢？
提示：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都单调递增；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］（k∈Z）上都单调递减.
【知识梳理】
正弦函数 余弦函数
图象
单调性 增区间 ［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
减区间 ［＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
提醒：（1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.
角度1 求正弦、余弦型函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间：
（1）y＝cos（＋）；
解：当2kπ－π≤＋≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间是［4kπ－，4kπ－］（k∈Z）.
当2kπ≤＋≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，
故函数的单调递减区间是［4kπ－，4kπ＋］（k∈Z）.
（2）y＝3sin（－2x）.
解：y＝3sin（－2x）＝－3sin（2x－），
要求y＝－3sin（2x－）的单调递增区间即求y＝sin（2x－）的单调递减区间，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝3sin（－2x）的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
要求y＝－3sin（2x－）的单调递减区间即求y＝sin（2x－）的单调递增区间，
即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝3sin（－2x）的单调递减区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
【规律方法】
求正、余弦函数的单调区间的策略
（1）结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
（2）在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，方法亦如此.
训练1 （1）在区间[0，2π]中，使y＝sin x与y＝cos x都单调递减的区间是（ ）
A.［0，］ B.［，π］
C.［π，］ D.［，2π］
解析：B 在区间[0，2π]中，y＝sin x的减区间是［，］，y＝cos x的减区间是[0，π]；∴y＝sin x和y＝cos x的公共减区间是［，］∩[0，π]＝［，π］，故选B.
（2）求函数y＝2cos（2x－）的单调区间.
解：令2kπ－π≤2x－≤2kπ（k∈Z），
即2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），
∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）.
∴函数的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），
即2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z），
∴kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
∴函数的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
∴函数y＝2cos（2x－）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z），单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
角度2 利用单调性比较大小
【例2】 比较下列各组数的大小.
（1）sin（－）与sin（）；
解：sin（－）＝sin（－6π－）＝sin（－），
sin（）＝sin（16π＋）＝sin.
因为y＝sin x在［－，］上单调递增，
所以sin（－）＜sin，
即sin（－）＜sin.
（2）cos 870°与sin 980°.
解：cos 870°＝cos（720°＋150°）＝cos 150°，
sin 980°＝sin（720°＋260°）＝sin 260°＝sin（90°＋170°）＝cos 170°.
因为0°＜150°＜170°＜180°，
且y＝cos x在[0°，180°]上单调递减，
所以cos 150°＞cos 170°，
即cos 870°＞sin 980°.
【规律方法】
比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.
训练2 三个数cos，sin，sin的大小关系是cos＜sin＜sin.
解析：cos＝sin（－），sin＝sin（π－）.因为－≈0.07，＝0.1，π－≈1.39，所以＞π－＞＞－＞0.又因为y＝sin x在（0，）上单调递增，所以cos＜sin＜sin.
知识点二｜正弦、余弦函数的最值（值域）
问题2 （1）观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
提示：正弦、余弦函数存在最大值和最小值，它们的最大值和最小值都分别是1和－1.
（2）当自变量x分别取何值时，正弦函数y＝sin x，x∈R取得最大值1和最小值－1？
提示：对于正弦函数y＝sin x，x∈R，当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值－1.
【知识梳理】
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1] [－1，1]
最值 ymax＝1 x＝＋2kπ，k∈Z x＝2kπ，k∈Z
ymin＝－1 x＝－＋2kπ，k∈Z x＝π＋2kπ，k∈Z
【例3】 （1）函数f（x）＝－cos（x＋），x∈［－，］的值域为（ ）
A.［－，］ B.［－，］
C.［－1，］ D.［－，1］
（2）函数f（x）＝sin 3x在[0，x0）上没有最小值，则x0的取值范围是（ ）
A.（0，） B.（0，） C.（，］ D.（，）
答案：（1）C （2）C
解析：（1）因为x∈［－，］，所以x＋∈［－，］，则cos（x＋）∈［－，1］，故f（x）的值域为［－1，］.故选C.
（2）函数f（x）＝sin 3x中，当x∈[0，x0）时，3x∈[0，3x0），由f（x）＝sin 3x在[0，x0）上没有最小值，得π＜3x0≤，解得＜x0≤，所以x0的取值范围是（，］，故选C.
【规律方法】
三角函数最值问题的求解方法
（1）y＝asin x（或y＝acos x）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a进行正负的讨论；
（2）y＝Asin（ωx＋φ）＋b（或y＝Acos（ωx＋φ）＋b）型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin（ωx＋φ）（或cos（ωx＋φ））的范围，最后求得最值.
训练3 函数y＝2cos（2x＋），x∈［－，］的值域为 [－1，2]
解析：因为x∈［－，］，所以2x＋∈［－，］，所以cos（2x＋）∈［－，1］，所以函数的值域为[－1，2].
1.函数y＝－cos x在区间［－，］上（ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.先减后增 D.先增后减
解析：C 因为y＝cos x在区间［－，］上先增后减，所以y＝－cos x在区间［－，］上先减后增.
2.设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则（ ）
A.a＞c＞b B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
解析：A b＝sin＝sin＝－sin＝sin＝cos，c＝cos＝cos＝cos＝cos.因为y＝cos x在上单调递减，且0＜＜＜＜，所以cos＞cos＞cos，即a＞c＞b.
3.函数y＝3－4cos（2x＋）的最大值为7，此时自变量的取值集合为{x｜x＝＋kπ，k∈Z}.
解析：当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f（x）max＝3＋4＝7.
4.函数y＝2sin（2x－）在区间[0，a]上的值域为[－，2]，求实数a的取值范围.
解：当x＝0时，y＝2sin（2x－）＝－，
由x∈[0，a]，可得2x－∈［－，2a－］，函数y＝2sin（2x－）在区间[0，a]上的值域为[－，2]，
根据正弦函数的图象知，≤2a－≤，解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是［，］.
课堂小结
1.理清单 （1）正弦、余弦函数的单调区间； （2）比较三角函数值的大小； （3）正弦、余弦函数的最值（值域）. 2.应体会 确定函数的单调区间注意整体代换、运用换元法求函数最值. 3.避易错 单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围.
1.y＝2sin（3x＋）的值域是（ ）
A.[－2，2] B.[0，2]
C.[－2，0] D.[－1，1]
解析：A 因为sin（3x＋）∈[－1，1]，所以y∈[－2，2].
2.下列命题中正确的是（ ）
A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C.y＝cos x在［－，］上单调递减
D.y＝sin x在［－，］上单调递增
解析：D 对于y＝cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝sin x，该函数的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z，故B错误，D正确.
3.已知函数f（x）＝sin（x＋）在x0处取得最大值，则x0可能为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f（x）取最大值.
4.函数y＝2sin（x－），x∈[－π，0]的单调递增区间为（ ）
A.［－π，－］ B.［－，－］
C.［－，0］ D.［－，0］
解析：D 法一 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为［－，0］.
法二 当x＝时，函数y＝2sin（x－），x∈R取得最大值，且易知最小正周期为2π，则函数y＝2sin（x－）的一个单调递增区间为［－π，］，即［－，］.所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为［－，0］.
5.〔多选〕对于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中正确的是（ ）
A.f（x）在（，）上单调递减
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的最小正周期为2π
D.f（x）的最大值为2
解析：AB 因为函数y＝sin x在（，π）上单调递减，所以f（x）＝sin 2x在（，）上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）＝sin 2（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
6.〔多选〕下列各式正确的是（ ）
A.sin＜sin
B.sin（－）＜sin（－）
C.cos（－）＞cos（－）
D.cos（－）＞cos
解析：ACD 由诱导公式可得sin＝sin（6π＋）＝sin，sin＝sin（6π＋）＝sin＝sin，因为正弦函数y＝sin x在（0，）上单调递增，且0＜＜＜，所以sin＜sin，即sin＜sin，A正确；因为y＝sin x在（－，0）上单调递增，且0＞－＞－＞－，所以sin（－）＞sin（－），B错误；cos（－π）＝cos（－4π－）＝cos（－）＝cos，cos（－π）＝cos（－4π－）＝cos（－）＝cos，因为y＝cos x在（0，π）上单调递减，且0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos（－π）＞cos（－π），C正确；因为cos（－）＝cos，cos＝cos（2π－）＝cos（－）＝cos，0＜＜＜，且函数y＝cos x在（0，）上单调递减，所以cos＞cos，所以cos（－）＞cos，D正确.故选A、C、D.
7.若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是[0，2].
解析：因为－1≤cos x≤1，要使cos x＝m－1有意义，需有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.
8.函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为[0，2].
解析：∵y＝｜sin x｜＋sin x＝又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2].
9.函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是（－π，0].
解析：∵y＝cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，∴只有当－π＜a≤0时，满足条件.故a的取值范围是（－π，0].
10.求函数y＝3－4cos（2x＋），x∈［－，］的最大值、最小值及相应的x的值.
解：因为x∈［－，］，所以2x＋∈［－，］，
从而－≤cos（2x＋）≤1.
所以当cos（2x＋）＝1，即2x＋＝0，x＝－时，
ymin＝3－4＝－1.
当cos（2x＋）＝－，即2x＋＝，x＝时，
ymax＝3－4×（－）＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；
当x＝时，ymax＝5.
11.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为［－1，］，则b－a的最大值和最小值之和等于（ ）
A. B.
C.2π D.4π
解析：C 如图，当定义域为[a1，b]时，值域为［－1，］，且b－a最大.当定义域为[a2，b]时，值域为［－1，］，且b－a最小.∴最大值与最小值之和为（b－a1）＋（b－a2）＝2b－（a1＋a2）＝2×＋＋＝2π.
12.已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－，）时，f（x）＝x＋sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
解析：D 由已知得，函数f（x）在（－，）上单调递增.因为π－2∈（－，），π－3∈（－，），π－3＜1＜π－2，所以f（π－3）＜f（1）＜f（π－2），即f（3）＜f（1）＜f（2），即c＜a＜b.故选D.
13.函数f（x）＝的单调递减区间是［kπ＋，kπ＋］，k∈Z.
解析：函数f（x）＝，则sin（2x－）≥0，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.又由正弦函数的性质可得2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.由可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f（x）＝的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z.
14.设函数f（x）＝sin（2x－），x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间［，］上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.
解：（1）最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间是［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
（2）令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，所以当t＝，即x＝时，f（x）min＝×（－）＝－1，当t＝，即x＝时，f（x）max＝×1＝.
15.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f（sin α）＞f（cos β）.
证明：由f（x＋1）＝－f（x），
得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），
所以函数f（x）是周期函数，且2是它的一个周期.
因为函数f（x）是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f（x）在[0，1]上单调递增.
又α，β是锐角三角形的两个内角，
则有α＋β＞，即＞α＞－β＞0，
因为y＝sin x在［0，］上单调递增，
所以sin α＞sin（－β）＝cos β，
且sin α∈（0，1），cos β∈（0，1），
所以f（sin α）＞f（cos β）.
1 / 2第二课时 正弦、余弦函数的单调性与最值
1.y＝2sin（3x＋）的值域是（ ）
A.[－2，2] B.[0，2]
C.[－2，0] D.[－1，1]
2.下列命题中正确的是（ ）
A.y＝cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B.y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C.y＝cos x在［－，］上单调递减
D.y＝sin x在［－，］上单调递增
3.已知函数f（x）＝sin（x＋）在x0处取得最大值，则x0可能为（ ）
A. B.
C. D.
4.函数y＝2sin（x－），x∈[－π，0]的单调递增区间为（ ）
A.［－π，－］ B.［－，－］
C.［－，0］ D.［－，0］
5.〔多选〕对于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中正确的是（ ）
A.f（x）在（，）上单调递减
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的最小正周期为2π
D.f（x）的最大值为2
6.〔多选〕下列各式正确的是（ ）
A.sin＜sin
B.sin（－）＜sin（－）
C.cos（－）＞cos（－）
D.cos（－）＞cos
7.若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是 .
8.函数y＝｜sin x｜＋sin x的值域为 .
9.函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是 .
10.求函数y＝3－4cos（2x＋），x∈［－，］的最大值、最小值及相应的x的值.
11.函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为［－1，］，则b－a的最大值和最小值之和等于（ ）
A. B.
C.2π D.4π
12.已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－，）时，f（x）＝x＋sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（ ）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
13.函数f（x）＝的单调递减区间是 .
14.设函数f（x）＝sin（2x－），x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间［，］上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.
15.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f（sin α）＞f（cos β）.
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