第三课时 正弦、余弦函数性质的综合问题
1.（2025·朝阳期中）函数y＝2sin（2x＋）的图象的一条对称轴是（ ）
A.x＝－ B.x＝0
C.x＝ D.x＝
2.（2025·嘉兴期末）函数y＝3cos（2x－）的一个对称中心是（ ）
A.（，0） B.（，0）
C.（，0） D.（，0）
3.已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），则f（）＝（ ）
A.3或0 B.－3或0
C.0 D.－3或3
4.（2025·南昌期末）已知y＝（cos x－a）2－1，当cos x＝－1时，y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1] B.[－1，0]
C.[0，1] D.[1，＋∞）
5.〔多选〕（2025·大理期末）设函数f（x）＝2sin（2x＋），则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x）的一个零点为x＝－
D.f（x）的最大值为1
6.〔多选〕（2025·太原期中）已知函数f（x）＝7cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则（ ）
A.ω＝2
B.直线x＝－是f（x）图象的一条对称轴
C.f（）＞f（）
D.函数f（x）图象的对称中心为（＋，0）（k∈Z）
7.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数图象的对称中心为 .
8.（2025·达州期末）已知函数f（x）＝1－sin2x＋sin x（0≤x≤），当x＝ 时，f（x）取得最大值.
9.设函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 .
10.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ＜）的图象关于直线x＝对称，且图象相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
（2）求f（x）的单调递增区间.
11.（2025·眉山期末）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜）的最小正周期为π，且关于（，0）中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A.f（1）＜f（0）＜f（2）
B.f（0）＜f（2）＜f（1）
C.f（2）＜f（0）＜f（1）
D.f（2）＜f（1）＜f（0）
12.〔多选〕对a，b∈R，定义min{a，b}＝若函数f（x）＝min{sin x，cos x}，则下列四个结论中正确的有（ ）
A.f（x）是以2π为周期的函数
B.当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取得最小值－1
C.f（x）图象的对称轴为直线x＝＋kπ（k∈Z）
D.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤
13.（2025·齐齐哈尔期末）已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若f（x）在（－m，m）上单调递增，则正数m的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝－sin2x＋sin x＋a.当f（x）＝0有实数解时，求a的取值范围.
15.已知函数f（x）＝cos（2x－），x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈［－，］时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
2 / 2第三课时 正弦、余弦函数性质的综合问题
课标要求
1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质（数学抽象、逻辑推理）.
2.能够解决简单的函数性质的综合问题（数学运算、逻辑推理）.
情境导入
同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想.
知识点一｜正弦、余弦函数的对称性
问题 （1）正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
提示：有，（kπ，0）（k∈Z）.
（2）正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
提示：是轴对称图形，对称轴方程为x＝＋kπ（k∈Z）.
（3）类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
提示：对称轴方程是x＝kπ（k∈Z），对称中心的坐标为（＋kπ，0）（k∈Z）.
【知识梳理】
正弦函数 余弦函数
图象
对称轴 x＝＋kπ（k∈Z） x＝kπ（k∈Z）
对称中心 （kπ，0）（k∈Z） （＋kπ，0）（k∈Z）
【例1】 （1）（2025·咸阳期中）函数f（x）＝sin（2x＋）的一个对称中心的横坐标是（ D ）
A.0 B. C.π D.
解析：由f（x）＝sin（2x＋）＝0，可得2x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－，k∈Z，所以当k＝1时，x＝，故选D.
（2）已知函数f（x）＝cos（x＋），则对称轴方程为x＝2kπ－，k∈Z.
解析：令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－，k∈Z.
【规律方法】
对于函数y＝sin（ωx＋φ），y＝cos（ωx＋φ）的图象的对称性，应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋（k∈Z），解出的x的值即对称中心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与x轴交点的横坐标.
训练1 函数y＝sin（x－）的图象的对称轴为＝＋kπ，k∈Z，对称中心为（＋kπ，0），k∈Z.
解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.故函数y＝sin（x－）的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为（＋kπ，0），k∈Z.
知识点二｜可转化为二次函数的最值（值域）问题
【例2】 函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0].
解析：因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－（sin x－1）2.又－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0].
变式1 把本例中“x∈R”变为“x∈［，］”，求函数的最大值和最小值及取得最值时x的值.
解：由例题解答可知y＝－（sin x－1）2，
因为x∈［，］，所以≤sin x≤1，所以当sin x＝1，即x＝时，ymax＝0；当sin x＝，即x＝时，ymin＝－.
变式2 本例函数变为y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R，求函数的值域.
解：因为y＝sin2x＋2cos x－2＝1－cos2x＋2cos x－2＝－cos2x＋2cos x－1＝－（cos x－1）2，
又－1≤cos x≤1，所以函数的值域为[－4，0].
【规律方法】
求y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）型函数最值（值域）的方法
形如y＝asin2x＋bsin x＋c（a≠0）型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f（x）＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值.
训练2 求函数y＝sin2x－sin x＋1，x∈［，］的值域.
解：由x∈［，］知sin x∈［，1］，令t＝sin x，t∈［，1］，
则y＝t2－t＋1＝＋，在t∈［，1］上单调递增，
当t＝时，取得最小值，当t＝1时，取得最大值1，故值域为［，1］.
知识点三｜函数性质的综合应用
【例3】 〔多选〕已知函数f（x）＝2cos（2x＋），则（ ）
A.函数f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x）的图象关于点（，0）对称
D.f（x）在区间（0，π）上有两个零点
解析：ABD 对于A：T＝＝π，A正确；对于B：f（）＝2cos（2×＋）＝－2，B正确；对于C：f（）＝2cos（2×＋）≠0，C错误；对于D：当x∈（0，π）时，2x＋∈（，），函数y＝2cos x在（，）上有两个零点，故f（x）在区间（0，π）上有两个零点，D正确.故选A、B、D.
【规律方法】
探究函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）时，首先要熟练掌握正弦函数和余弦函数的图象和性质，然后利用整体思想，将ωx＋φ看成一个整体，可利用换元思想（令t＝ωx＋φ），结合y＝Asin t，t∈R的性质求解.
训练3 在①f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为，②f（x）的图象关于点（－，0）对称且ω＜2，③f（）＝0且ω＜3，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）， ，求f（x）在［0，］上的最大值，并求对应的x的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：若选①，则＝，所以T＝，
所以＝，则ω＝3，从而f（x）＝sin（3x－）.
因为0≤x≤，所以－≤3x－≤，
当3x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值，且最大值为.
若选②，则－－＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－－，k∈Z.
因为0＜ω＜2，所以ω＝1，
所以f（x）＝sin（x－）.
因为0≤x≤，所以－≤x－≤，
当x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值，且最大值为.
若选③，则由f（）＝0，得－＝kπ，k∈Z，
则ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，则ω＝2，
所以f（x）＝sin（2x－）.
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
当2x－＝，即x＝时，f（x）取得最大值，且最大值为.
1.正弦函数y＝sin x，x∈R的图象的一条对称轴是（ ）
A.y轴 B.直线x＝－π
C.直线x＝ D.直线x＝π
解析：C 正弦函数y＝sin x，x∈R的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，函数的一条对称轴为直线x＝，故C正确，结合选项可知A、B、D均不符合题意，故选C.
2.函数f（x）＝cos（3x＋）图象的对称中心是（ ）
A.（kπ＋，）（k∈Z）
B.（kπ＋，0）（k∈Z）
C.（＋，）（k∈Z）
D.（＋，0）（k∈Z）
解析：D 令3x＋＝kπ＋（k∈Z），解得x＝＋（k∈Z），则f（x）图象的对称中心为（＋，0）（k∈Z），故选D.
3.已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝.
解析：因为直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，所以＝－＝π，所以T＝2π＝，ω＝1，所以f（x）＝sin（x＋φ），又因为x＝是f（x）的一条对称轴，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，而0＜φ＜π，所以φ＝.
4.函数y＝cos2x＋sin x的最大值为.
解析：因为y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x，令t＝sin x，t∈[－1，1]，则y＝－t2＋t＋1＝＋，所以当t＝时，ymax＝.
课堂小结
1.理清单 （1）正弦函数、余弦函数的对称性； （2）可转化为二次函数的最值（值域）问题； （3）函数性质的综合应用. 2.应体会 整体代换、换元法. 3.避易错 换元后忽视新元的范围.
1.（2025·朝阳期中）函数y＝2sin（2x＋）的图象的一条对称轴是（ ）
A.x＝－ B.x＝0
C.x＝ D.x＝
解析：C x＝时，y＝2sin（＋）＝2，是对称轴，故选C.
2.（2025·嘉兴期末）函数y＝3cos（2x－）的一个对称中心是（ ）
A.（，0） B.（，0）
C.（，0） D.（，0）
解析：B 令2x－＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z.所以函数y＝3cos（2x－）的对称中心为（＋，0），k∈Z.令k＝0，所以函数y＝3cos（2x－）的一个对称中心是（，0），故选B.
3.已知函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），则f（）＝（ ）
A.3或0 B.－3或0
C.0 D.－3或3
解析：D ∵函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），∴函数图象的对称轴是x＝，∴f（）取最大值或者是最小值，∵函数的最大值是3，最小值是－3，∴f（）＝－3或3，故选D.
4.（2025·南昌期末）已知y＝（cos x－a）2－1，当cos x＝－1时，y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－1] B.[－1，0]
C.[0，1] D.[1，＋∞）
解析：C 令t＝cos x∈[－1，1]，则y＝（t－a）2－1，t∈[－1，1]，可知y＝（t－a）2－1的图象开口向上，对称轴为t＝a，原题意等价于：当t＝－1时，y取最大值，当t＝a时，y取最小值，结合二次函数对称性可知：0≤a≤1，所以实数a的取值范围是[0，1].故选C.
5.〔多选〕（2025·大理期末）设函数f（x）＝2sin（2x＋），则下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的最小正周期为π
B.f（x）的图象关于直线x＝对称
C.f（x）的一个零点为x＝－
D.f（x）的最大值为1
解析：AC T＝＝π，故A正确；f（）＝2sin＝，所以x＝不是对称轴，故B错误；f（－）＝2sin 0＝0，所以x＝－是f（x）的一个零点，故C正确；因为sin∈[－1，1]，所以2sin∈[－2，2]，所以f（x）的最大值为2，故D错误.故选A、C.
6.〔多选〕（2025·太原期中）已知函数f（x）＝7cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则（ ）
A.ω＝2
B.直线x＝－是f（x）图象的一条对称轴
C.f（）＞f（）
D.函数f（x）图象的对称中心为（＋，0）（k∈Z）
解析：BC A选项，f（x）＝7cos（ωx－）（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝＝4，错误；B选项，由A可知，函数解析式为f（x）＝7cos（4x－），当x＝－时，f（－）＝7cos（4×（－）－）＝7cos（－π）＝－7，故x＝－是函数图象的一条对称轴，正确；C选项，f（）＝7cos（4×－）＝7cos，f（）＝7cos（4×－）＝7cos，因为在x∈（0，π）时，函数单调递减，则f（）＞f（），正确；D选项，令4x－＝＋kπ， 则x＝＋，则函数图象的对称中心为（＋，0），k∈Z，错误.故选B、C.
7.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数图象的对称中心为 .
答案：（－，0），k∈Z
解析：由题意，ω＝＝＝2，则f（x）＝sin（2x＋），令2x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－（k∈Z）.所以该函数图象的对称中心为（－，0）（k∈Z）.
8.（2025·达州期末）已知函数f（x）＝1－sin2x＋sin x（0≤x≤），当x＝ 时，f（x）取得最大值.
解析：令t＝sin x，则y＝1－t2＋t（0≤t≤1），对称轴为t＝，所以当t＝时，函数取得最大值，即sin x＝，得x＝.
9.设函数f（x）＝cos（ωx－）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为
解析：因为f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，所以f（x）取最大值f（），所以ω－＝2kπ（k∈Z），所以ω＝8k＋（k∈Z），因为ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值为.
10.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ＜）的图象关于直线x＝对称，且图象相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
（2）求f（x）的单调递增区间.
解：（1）因为图象相邻两个最高点的距离为π，故周期为π，
所以＝π，故ω＝2.
又图象关于直线x＝对称，故2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因为－≤φ＜，故令k＝0得φ＝－.
（2）由（1）知f（x）＝sin（2x－），
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
11.（2025·眉山期末）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜）的最小正周期为π，且关于（，0）中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A.f（1）＜f（0）＜f（2） B.f（0）＜f（2）＜f（1）
C.f（2）＜f（0）＜f（1） D.f（2）＜f（1）＜f（0）
解析：B 根据f（x）的最小正周期为π，故可得T＝＝π，解得ω＝2.又其关于（，0）中心对称，故可得sin（＋φ）＝0，又｜φ｜∈（0，），故可得φ＝－.则f（x）＝sin（2x－）.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得x∈［kπ－，kπ＋π］（k∈Z）.故f（x）在［－，π］上单调递增.又f（2）＝f（π－2），且0，π－2，1都在区间［－，π］中，且0＜π－2＜1，故可得f（0）＜f（2）＜f（1），故选B.
12.〔多选〕对a，b∈R，定义min{a，b}＝若函数f（x）＝min{sin x，cos x}，则下列四个结论中正确的有（ ）
A.f（x）是以2π为周期的函数
B.当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取得最小值－1
C.f（x）图象的对称轴为直线x＝＋kπ（k∈Z）
D.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤
解析：ACD 由题意知，函数f（x）＝作出图象如图所示，最小正周期为2π.
当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，f（x）＝cos x，当2kπ＋＜x≤2kπ＋，k∈Z时，f（x）＝sin x，所以f（x）图象的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f（x）取得最小值－1.当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z时，f（x）＞0，且f（x）的最大值为f（＋2kπ）＝，可得0＜f（x）≤.故正确的选项是A、C、D.
13.（2025·齐齐哈尔期末）已知函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若f（x）在（－m，m）上单调递增，则正数m的取值范围是（0，］.
解析：因为函数f（x）＝sin（ωx－）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以×＝，解得ω＝2，即f（x）＝sin（2x－），因为f（x）在（－m，m）上单调递增，则m＞0，所以函数f（x）＝sin（2x－）的单调递增区间包含0，令－≤2x－≤，得－≤x≤，所以（－m，m） ［－，］，所以故m的取值范围为（0，］.
14.已知函数f（x）＝－sin2x＋sin x＋a.当f（x）＝0有实数解时，求a的取值范围.
解：令t＝sin x，则－1≤t≤1.
f（x）＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1，1]内有实数解.
则a＝t2－t，t∈[－1，1]，
设h（t）＝t2－t＝（t－）2－，t∈[－1，1]，
当t＝时，h（t）min＝－，
当t＝－1时，h（t）max＝2，
∴a的取值范围是［－，2］.
15.已知函数f（x）＝cos（2x－），x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈［－，］时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
解：（1）因为f（x）＝cos（2x－），所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］（k∈Z）.
（2）由（1）可知：f（x）＝cos（2x－）在区间［－，］上单调递增，在区间［，］上单调递减，又f（－）＝0，f（）＝，f（）＝－1，
所以当a∈[0，）时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实根.
所以实数a的取值范围为[0，）.
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