第一课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
课标要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义（数学抽象）.
2.会求常见三角函数的周期（数学运算）.
3.会根据已学过的知识，结合函数的图象研究三角函数的奇偶性（直观想象）.
情境导入
潮涨潮落、月圆月缺、四季交替等是自然界中按一定的规律周而复始出现的现象.在数学中，我们如何刻画现实中这些周期性的变化规律呢？本节利用三角函数这一数学模型研究现实生活中具有周期现象的变化规律.根据这种变化规律再研究三角函数的其他性质.
知识点一｜正弦、余弦函数的周期性
问题1 （1）正弦函数图象上，横坐标每相隔2π个单位长度，图象就会重复出现，其理论依据是什么？
提示：由诱导公式sin（x＋2kπ）＝sin x（k∈Z）可知，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.
（2）根据以上现象和理论依据，你能否说明f（x）＝sin x，x∈R函数值是周期变化的？周期是多少？
提示：根据sin（x＋2kπ）＝sin x，k∈Z，x∈R可知，如当k＝1时，存在一个2π，对 x∈R可得sin（x＋2π）＝sin x，说明y＝sin x，x∈R的值每隔2π就重复出现，故y＝sin x，x∈R为周期函数，2π为它的周期.
（3）正弦函数f（x）＝sin x的周期是否唯一？正弦函数f（x）＝sin x的周期有哪些？
提示：正弦函数f（x）＝sin x的周期不止一个.±2π，±4π，±6π…都是正弦函数的周期.事实上，任何一个2π的整数倍都是它的周期.
【知识梳理】
1.函数的周期性
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个 非零常数T ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f（x＋T）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做周期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
3.正弦函数是 周期函数 ，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π.
4.余弦函数是 周期函数 ，2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π.
提醒：（1）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内的每一个值时”，要特别注意“每一个值”的要求；（2）并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期.
【例1】 求下列三角函数的最小正周期T：
（1）f（x）＝sin（x＋）；
解：令z＝x＋，
因为sin（2π＋z）＝sin z，
所以f（2π＋z）＝f（z），则f（（x＋2π）＋）＝f（x＋），所以函数f（x）＝sin（x＋）的最小正周期T＝2π.
（2）f（x）＝cos（2x＋）；
解：法一（定义法） 因为f（x）＝cos（2x＋）＝cos（2x＋＋2π）＝cos［2（x＋π）＋］＝f（x＋π），即f（x＋π）＝f（x），
所以函数f（x）＝cos（2x＋）的最小正周期T＝π.
法二（公式法） 因为f（x）＝cos（2x＋），所以ω＝2.
又最小正周期T＝＝＝π，
所以函数f（x）＝cos（2x＋）的最小正周期T＝π.
（3）f（x）＝｜sin x｜.
解：法一 因为f（x）＝｜sin x｜，
所以f（x＋π）＝｜sin（x＋π）｜＝｜－sin x｜＝｜sin x｜＝f（x），故f（x）的最小正周期为π.
法二 画出函数y＝｜sin x｜的图象，如图所示，
由图象可知f（x）的最小正周期T＝π.
【规律方法】
求函数周期的方法
（1）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f（x＋T）＝f（x）的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
（2）公式法：对形如y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0）的函数，可利用T＝来求；
（3）图象法：画出函数的图象，借助图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
训练1 （1）设函数f（x）＝sin（x－），则f（x）的最小正周期为（ D ）
A. B.π
C.2π D.4π
解析：函数f（x）＝sin（x－）的最小正周期T＝＝4π.故选D.
（2）设a＞0，若函数y＝sin（ax＋π）的最小正周期是π，则a＝2.
解析：由题意知T＝＝π，所以a＝2.
知识点二｜正弦、余弦函数的奇偶性
问题2 由正弦函数、余弦函数的图象各自不同的对称性，你能否判断出f（x）＝sin x，x∈R与f（x）＝cos x，x∈R的奇偶性？如何从理论上加以验证？
提示：正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称.
正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数，根据诱导公式，得sin（－x）＝－sin x，cos（－x）＝cos x均对一切x∈R恒成立.
【知识梳理】
正弦函数是 奇函数 ，余弦函数是 偶函数 .
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝｜sin x｜＋cos x；
解：函数的定义域为R，
又f（－x）＝｜sin（－x）｜＋cos（－x）＝｜sin x｜＋cos x＝f（x），
所以f（x）是偶函数.
（2）f（x）＝cos（－x）－x3·sin（π＋x）.
解：函数的定义域为R，
因为f（x）＝sin x＋x3cos x，
所以f（－x）＝sin（－x）＋（－x）3cos（－x）＝－sin x－x3cos x＝－（sin x＋x3cos x）＝－f（x），
所以f（x）为奇函数.
【规律方法】
利用定义判断三角函数奇偶性的三个步骤
训练2 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝x2cos（＋x）；
解：函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）＝x2cos（＋x）＝－x2sin x，
∴f（－x）＝－（－x）2sin（－x）＝x2sin x＝－f（x），
∴f（x）为奇函数.
（2）f（x）＝sin（cos x）.
解：函数f（x）的定义域为R，
∴f（－x）＝sin[cos（－x）]＝sin（cos x）＝f（x），
∴f（x）为偶函数.
提能点｜三角函数的奇偶性与周期性的应用
【例3】 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）＝sin x，则f（）＝.
解析：因为f（x）的最小正周期是π，且为偶函数，所以f（）＝f（－＋2π）＝f（－）＝f（），因为当x∈［0，］时，f（x）＝sin x，所以f（）＝sin＝，所以f（）＝.
变式1 若本例中“偶”变“奇”其他条件不变，求f（）的值.
解：f（）＝f（－）＝－f（）＝－sin＝－.
变式2 若本例条件不变，求f（－）的值.
解：f（－）＝f（）＝f（3π＋）＝f（）＝sin＝.
【规律方法】
探求三角函数周期性与奇偶性的解题策略
（1）探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0）的形式，再利用公式求解；
（2）判断函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0）是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx（A≠0，ω＞0）或y＝Acos ωx（A≠0，ω＞0）中的一个.
训练3 已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈［0，］时，f（x）＝1－sin x，当x∈［，3π］时，求f（x）的解析式.
解：x∈［，3π］时，3π－x∈［0，］，由已知条件可知，f（3π－x）＝1－sin（3π－x）.
又f（x）是以π为周期的偶函数，
所以f（3π－x）＝f（－x）＝f（x）＝1－sin x，
所以f（x）的解析式为f（x）＝1－sin x，x∈［，3π］.
1.下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A.y＝sin B.y＝sin 2x
C.y＝cos D.y＝cos（－4x）
解析：D 对于D，y＝cos（－4x）＝cos 4x，最小正周期T＝＝，同理，对于A、B、C计算得到的最小正周期，不符合题意.
2.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝（ ）
A.2 B.－2
C.－98 D.98
解析：B 因为f（x＋4）＝f（x），所以函数的周期是4.因为f（x）在R上是奇函数，且当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，所以f（7）＝f（7－2×4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.故选B.
3.已知a∈R，函数f（x）＝sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，则a＝0.
解析：因为f（x）＝sin x－｜a｜，x∈R为奇函数，所以f（0）＝sin 0－｜a｜＝0，所以a＝0.
4.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝cos（＋）；
（2）f（x）＝sin｜x｜.
解：（1）显然x∈R，f（x）＝cos（＋）＝sin（x），所以f（－x）＝sin（－x）＝－sin（x）＝－f（x），
所以函数f（x）＝cos（＋）是奇函数.
（2）显然x∈R，f（－x）＝sin ｜－x｜＝sin ｜x｜＝f（x），
所以函数f（x）＝sin ｜x｜是偶函数.
课堂小结
1.理清单 （1）三角函数的周期性； （2）三角函数的奇偶性； （3）三角函数周期性、奇偶性的综合应用. 2.应体会 利用定义法、公式法、图象法求函数的周期，研究奇偶性与周期性可数形结合. 3.避易错 （1）判断奇偶性易忽视定义域关于原点对称；（2）用公式T＝求y＝Asin（ωx＋φ）的最小正周期时，易忽视ω＞0.
1.函数f（x）＝sin（－x）的奇偶性是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
解析：A 由于x∈R，且f（－x）＝sin x＝－sin（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数.
2.函数y＝cos（x＋）是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数
D.最小正周期为2π的偶函数
解析：C 因为y＝cos（x＋）＝－sin x，所以T＝＝2π，所以函数的最小正周期为2π.又因为－sin（－x）＝sin x，所以函数y＝cos（x＋）是奇函数.故函数y＝cos（x＋）是最小正周期为2π的奇函数，故选C.
3.（2025·成都七中期中）函数f（x）＝xsin x的部分图象是（ ）
解析：A ∵f（－x）＝－xsin（－x）＝xsin x＝f（x），∴函数是偶函数，排除B、D；当x取趋近于0的正数时，f（x）＞0，故选A.
4.（2025·泉州期中）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T，若f（）＝1，则φ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B T＝，则f（）＝1，即2sin（ω×＋φ）＝1，即2sin（＋φ）＝1，即2cos φ＝1，则cos φ＝，又0＜φ＜π，则φ＝，故选B.
5.〔多选〕下列函数中，最小正周期为2π的是（ ）
A.y＝cos B.y＝cos（x＋π）
C.y＝｜cos｜ D.y＝｜cos 2x｜
解析：BC y＝cos的最小正周期为T＝＝4π；y＝cos（x＋π）的最小正周期为T＝2π；y＝｜cos｜的最小正周期为T＝2π；因为y＝cos 2x的最小正周期为T＝＝π，所以y＝｜cos 2x｜的最小正周期为T＝，故选B、C.
6.〔多选〕（2025·佛山期末）下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（ ）
A.y＝｜cos x｜ B.y＝sin 2x
C.y＝sin（2x＋） D.y＝cosx
解析：AC 对于A，定义域为R，因为f（－x）＝｜cos（－x）｜＝｜cos x｜＝f（x），所以函数为偶函数，因为y＝｜cos x｜的图象是由y＝cos x的图象在x轴下方的图象关于x轴对称后与x轴上方的图象共同组成，如图所示，所以y＝｜cos x｜的最小正周期为π，所以A正确，
对于B，定义域为R，因为f（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以函数为奇函数，所以B错误，对于C，定义域为R，f（x）＝sin（2x＋）＝cos 2x，最小正周期为π，因为f（－x）＝cos（－2x）＝cos 2x＝f（x），所以函数为偶函数，所以C正确，对于D，定义域为R，最小正周期为＝4π，所以D错误，故选A、C.
7.若函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝10
解析：由题意，知T＝＝，所以ω＝10.
8.（2025·天津北辰联考）设函数f（x）＝x3cos x＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝－9.
解析：令g（x）＝x3cos x，∴g（－x）＝（－x）3cos（－x）＝－x3cos x＝－g（x），∴g（x）为奇函数，又f（x）＝g（x）＋1，∴f（a）＝g（a）＋1＝11，g（a）＝10，∴f（－a）＝g（－a）＋1＝－g（a）＋1＝－9.
9.已知定义域为R的函数f（x）同时满足以下三个条件：①函数的图象不过原点；②对任意x∈R，都有f（x）＝f（－x）；③对任意x∈R，都有f（x＋π）＝f（x）.则f（x）的解析式为f（x）＝ .（写出一个即可）
答案：cos 2x（答案不唯一）
解析：由题意，根据②可知函数f（x）为偶函数，由③可知函数f（x）的周期为π，再由函数f（x）的图象不过原点，可得满足条件的一个函数为f（x）＝cos 2x.
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝cos（＋2x）cos（π＋x）；
（2）f（x）＝＋.
解：（1）因为x∈R，f（x）＝cos（＋2x）cos（π＋x）
＝－sin 2x·（－cos x）＝sin 2xcos x.
所以f（－x）＝sin（－2x）cos（－x）＝－sin 2xcos x＝－f（x）.
所以函数f（x）是奇函数.
（2）对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
所以f（x）＝＋的定义域为R.
因为f（－x）＝＋
＝＋＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数.
11.（2025·泰安期末）已知k∈Z，则“函数f（x）＝sin（2x＋θ）为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：B 当f（x）＝sin（2x＋θ）为偶函数时，θ＝＋kπ，k∈Z；当θ＝＋2kπ，k∈Z时，f（x）＝sin（2x＋）＝cos 2x为偶函数，综上，“函数f（x）＝sin（2x＋θ）为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的必要不充分条件.
12.〔多选〕关于x的函数f（x）＝sin（x＋φ）有以下说法，其中正确的是（ ）
A.对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数
B.存在φ，使f（x）是奇函数
C.对任意的φ，f（x）都不是偶函数
D.不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数
解析：BD 当φ＝π时，f（x）＝sin（x＋π）＝－sin x，是奇函数.当φ＝时，f（x）＝sin（x＋）＝cos x，是偶函数.故A、C错误，B正确；无论φ为何值，f（x）不可能恒为0，故不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数，故D正确.
13.（2025·巴中期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x＋2）＝－，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x＋1），则f（－11）＋f（13）的值为0.
解析：当x≥0时，f（x＋2）＝－，所以f（x＋4）＝f（x），即4是f（x）（x≥0）的一个周期.所以f（13）＝f（1）＝log22＝1.又f（x）是偶函数，所以f（－11）＝f（11）＝f（3）＝－＝－1，所以f（－11）＋f（13）＝0.
14.已知函数y＝sin x＋｜sin x｜.
（1）画出函数的简图；
（2）此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.
解：（1）y＝sin x＋｜sin x｜
＝
图象如图所示.
（2）由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
15.已知函数f（x）＝cosx，求f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）的值.
解：因为f（1）＝cos＝，f（2）＝cos＝－，
f（3）＝cos π＝－1，f（4）＝cos＝－，
f（5）＝cos＝，f（6）＝cos 2π＝1，
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝0，
即每连续六项的和均为0.
所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝f（2 023）＋f（2 024）＋f（2 025）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＝＋（－）＋（－1）＝－1.
1 / 2第一课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
1.函数f（x）＝sin（－x）的奇偶性是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
2.函数y＝cos（x＋）是（ ）
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数
D.最小正周期为2π的偶函数
3.（2025·成都七中期中）函数f（x）＝xsin x的部分图象是（ ）
4.（2025·泉州期中）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T，若f（）＝1，则φ＝（ ）
A. B.
C. D.
5.〔多选〕下列函数中，最小正周期为2π的是（ ）
A.y＝cos B.y＝cos（x＋π）
C.y＝｜cos｜ D.y＝｜cos 2x｜
6.〔多选〕（2025·佛山期末）下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（ ）
A.y＝｜cos x｜ B.y＝sin 2x
C.y＝sin（2x＋） D.y＝cosx
7.若函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝ .
8.（2025·天津北辰联考）设函数f（x）＝x3cos x＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝ .
9.已知定义域为R的函数f（x）同时满足以下三个条件：①函数的图象不过原点；②对任意x∈R，都有f（x）＝f（－x）；③对任意x∈R，都有f（x＋π）＝f（x）.则f（x）的解析式为f（x）＝ .（写出一个即可）
10.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝cos（＋2x）cos（π＋x）；
（2）f（x）＝＋.
11.（2025·泰安期末）已知k∈Z，则“函数f（x）＝sin（2x＋θ）为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.〔多选〕关于x的函数f（x）＝sin（x＋φ）有以下说法，其中正确的是（ ）
A.对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数
B.存在φ，使f（x）是奇函数
C.对任意的φ，f（x）都不是偶函数
D.不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数
13.（2025·巴中期中）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x＋2）＝－，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x＋1），则f（－11）＋f（13）的值为 .
14.已知函数y＝sin x＋｜sin x｜.
（1）画出函数的简图；
（2）此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.
15.已知函数f（x）＝cosx，求f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）的值.
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