5.4.3 正切函数的性质与图象
课标要求
1.了解正切函数图象的画法（直观想象）.
2.理解并掌握正切函数的性质（逻辑推理）.
3.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题（数学运算）.
情境导入
前面已学习了正（余）弦函数的图象的作法，并由函数图象研究了它们的性质，根据定义或同角三角函数的关系知，正切函数是正弦与余弦的比，且定义域为{xx≠kπ＋，k∈Z}，那么正切函数是否也具有周期性、奇偶性、单调性、对称性及最值呢？你能选择合适的方法更简单的研究正切函数吗？
知识点一｜正切函数的定义域、周期性与奇偶性
问题1 （1）角的正切是如何定义的？正切函数y＝tan x的定义域是什么？
提示：＝tan α（α≠＋kπ，k∈Z），正切函数y＝tan x的定义域为{x｜x≠＋kπ，k∈Z}.
（2）我们知道tan（x＋π）＝tan x，那么tan（x＋kπ）（k∈Z）与tan x相等吗？
提示：相等.tan（x＋kπ）＝tan x.
【知识梳理】
1.周期性：由诱导公式tan（x＋π）＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是 周期函数 ，周期是π.
2.奇偶性：由诱导公式tan（－x）＝－tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是 奇函数 .
提醒：注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T＝.
角度1 求定义域
【例1】 函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 由正切函数的定义域，令2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋（k∈Z），所以函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}.故选D.
【规律方法】
求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z；
（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
训练1 函数f（x）＝tan（－）的定义域为{x｜x≠2kπ－，k∈Z}.
解析：函数f（x）＝tan（－）有意义，则－≠kπ－，k∈Z，解得x≠2kπ－，k∈Z，所以函数f（x）＝tan（－）的定义域为{x｜x≠2kπ－，k∈Z}.
角度2 判断函数的奇偶性、求周期
【例2】 （1）函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（ B ）
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
解析：函数的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称.又f（－x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数为偶函数.故选B.
（2）函数f（x）＝tan（－4x＋）的最小正周期为（ A ）
A. B.
C.π D.2π
解析：函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
【规律方法】
1.函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法
（1）定义法：存在一个非零常数T，使得对y＝Atan（ωx＋φ）的定义域内的每一个x，都有x＋T∈D，且Atan[ω（x＋T）＋φ]＝Atan（ωx＋φ），那么非零常数T为y＝Atan（ωx＋φ）的周期；
（2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝；
（3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系.
训练2 （1）函数f（x）＝｜tan 2x｜是（ D ）
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
解析：f（x）的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}，且f（－x）＝｜tan（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数，T＝.
（2）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝atan 3x＋4，若f（5）＝6，则f（－5）＝2.
解析：设g（x）＝atan 3x，则f（x）＝g（x）＋4，因为g（－x）＝－atan 3x＝－g（x），所以g（x）＝atan 3x为奇函数，f（5）＝g（5）＋4＝6，所以g（5）＝2，则g（－5）＝－2，所以f（－5）＝g（－5）＋4＝2.
知识点二｜正切函数的图象与对称性
问题2 （1）作正切函数y＝tan x的图象的关键是什么？
提示：三个点（－，－1），（0，0），（，1）及两条渐近线x＝－和x＝在图象中起着关键作用.
（2）如何画出函数y＝tan x的图象？
提示：如图，先画出y＝tan x，x∈［0，）的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y＝tan x，x∈（－，0］的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈（－，）的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线.
【知识梳理】
解析式 y＝tan x
图象
对称性 对称中心（，0）（k∈Z）
提醒：正切函数是中心对称图形，且对称中心为（，0），但不是所有的f（）都等于0，有的可能无意义.
【例3】 函数f（x）＝2tan（2x－）的对称中心是（ ）
A.（，0） B.（kπ＋，0），k∈Z
C.（＋，0），k∈Z D.（＋，0），k∈Z
解析：D 令2x－＝（k∈Z），解得x＝＋（k∈Z），故函数的对称中心为（＋，0），k∈Z.故选D.
【规律方法】
正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键.
训练3 y＝a（a为常数）与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为（ ）
A.π B.
C. D.π
解析：C y＝tan 3x的周期为，所以y＝a（a为常数）与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为.
知识点三｜正切函数的单调性与最值（值域）
问题3 正切函数y＝tan x在其定义域上是增函数，对吗？
提示：不对，在每一个区间（－＋kπ，＋kπ）（k∈Z）上都单调递增，但在整个定义域上不是增函数.
【知识梳理】
1.单调性：正切函数在每一个区间（－＋kπ，＋kπ）（k∈Z）上都 单调递增 .
2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是 实数集R .
【例4】 （1）函数y＝tan（sin x）的值域是（ C ）
A.［－，］ B.［－，］
C.[－tan 1，tan 1] D.[－1，1]
解析：∵－1≤sin x≤1，∴－＜－1≤sin x≤1＜.∵y＝tan x在（－，）上是单调递增的.即－tan 1≤tan（sin x）≤tan 1，∴函数y＝tan（sin x）的值域为[－tan 1，tan 1]. 故选C.
（2）函数y＝tan（－3x＋）的单调递减区间是（ D ）
A.［kπ－，kπ＋］（k∈Z）
B.（kπ－，kπ＋）（k∈Z）
C.［－，＋］（k∈Z）
D.（－，＋）（k∈Z）
解析：y＝tan（－3x＋）＝－tan（3x－），令kπ－＜3x－＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜＋，k∈Z，所以函数y＝tan（－3x＋）的单调递减区间是（－，＋）（k∈Z），故选D.
【规律方法】
1.求函数y＝tan（ωx＋φ）的单调区间的方法
y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0）的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ＜ωx＋φ＜＋kπ，k∈Z即可.当ω＜0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
2.求正切函数值域的方法
（1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域；
（2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域.
训练4 （1）函数y＝tan（2x＋）的递增区间是（ B ）
A.（－＋kπ，＋kπ）（k∈Z）
B.（－＋，＋）（k∈Z）
C.（＋kπ，＋kπ）（k∈Z）
D.（－＋，－＋）（k∈Z）
解析：由－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－－＋kπ＜2x＜－＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z，所以函数的递增区间为（－＋，＋）（k∈Z），故选B.
（2）函数y＝3tan（π＋x），－＜x≤的值域为（－3，].
解析：函数y＝3tan（π＋x）＝3tan x，因为正切函数在（－，］上单调递增，所以－3＜y≤，所以值域为（－3，].
提能点｜比较大小
【例5】 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1）tan（－3），tan（－3.1）；（2）tan，tan.
解：（1）由于－－π＜－3.1＜－3＜－π，且函数y＝tan x在区间（－－π，－π）上单调递增，因此tan（－3.1）＜tan（－3）.
（2）由于－＋π＜＜＜＋π，且函数y＝tan x在区间（－＋π，＋π）上单调递增，因此tan＜tan.
【规律方法】
运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将所求角化到同一单调区间内；
（2）运用正切函数单调性比较大小关系.
训练5 比较tan（－）与tan（－）的大小.
解：因为tan（－）＝－tan，tan（－）＝－tan，
又0＜＜＜，y＝tan x在［0，）上单调递增，
所以tan＞tan，所以－tan＜－tan，
即tan（－）＜tan（－）.
1.函数f（x）＝tan（－），x∈R的最小正周期为（ ）
A. B.π
C.2π D.4π
解析：C f（x）＝tan（－），因为ω＝，所以T＝＝2π，则函数f（x）的最小正周期为2π.故选C.
2.当x∈（－，）时，函数y＝tan ｜x｜的图象（ ）
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.无法确定
解析：B 函数y＝tan ｜x｜，x∈（－，）是偶函数.其图象关于y轴对称.故选B.
3.比较大小：tan＜tan.（填“＞”或“＜”）
解析：因为tan＝tan，tan＝tan，又 0＜＜＜，y＝tan x在［0，）上单调递增，所以 tan＜tan，即 tan＜tan.
4.求函数y＝tan（3x－）的定义域及单调区间.
解：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋（k∈Z），得x≠＋（k∈Z），
所以函数的定义域为{x｜x≠＋，k∈Z}.
令kπ－＜3x－＜kπ＋（k∈Z），
即－＜x＜＋（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为（－，＋）（k∈Z），不存在单调递减区间.
课堂小结
1.理清单 （1）正切函数的定义域、周期性与奇偶性； （2）正切函数的图象与对称性； （3）正切函数的单调性与最值（值域）； （4）比较大小. 2.应体会 研究正切函数的性质注意运用整体代换. 3.避易错 最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为（，0）（k∈Z）.
1.函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是（ ）
A.{x∈R｜x≠}
B.{x∈R｜x≠－}
C.{x∈R｜x≠kπ＋，k∈Z}
D.{x∈R｜x≠＋，k∈Z}
解析：D 由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z.∴函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是{x∈R｜x≠＋，k∈Z}.
2.函数y＝（－≤x≤，且x≠0）的值域为（ ）
A.[－1，1] B.（－∞，－1]∪[1，＋∞）
C.（－∞，1] D.[－1，＋∞）
解析：B 因为－≤x≤，且x≠0，所以－1≤tan x＜0或0＜tan x≤1，则≤－1或≥1.
3.函数f（x）＝tan（x＋）的单调递增区间是（ ）
A.（kπ－，kπ＋），k∈Z
B.（2kπ－，2kπ＋），k∈Z
C.（kπ－，kπ＋），k∈Z
D.［kπ－，kπ＋］，k∈Z
解析：C 由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，故f（x）的单调递增区间是（－＋kπ，＋kπ），k∈Z.
4.tan x≥1的解集为（ ）
A.{x｜x≥kπ＋，k∈Z}
B.{x｜x≥2kπ＋，k∈Z}
C.{x｜x≥}
D.{x｜kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z}
解析：D ∵tan x≥1，由图象（图略）知，＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.
5.〔多选〕函数y＝tan的性质有（ ）
A.在（0，）上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为
解析：AB 令x∈（0，），则∈（0，），所以y＝tan在（0，）上单调递增，所以A正确；tan（－）＝－tan，故y＝tan为奇函数，所以B正确；T＝＝2π，所以C不正确；由≠＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为{x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确.
6.〔多选〕与函数y＝tan（2x－）的图象不相交的一条直线是（ ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝－
解析：AD 令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan（2x－）的图象不相交，所以令k＝－1，x＝－；k＝0，x＝.
7.已知函数f（x）＝tan x＋，若f（a）＝5，则f（－a）＝－5.
解析：易知函数f（x）为奇函数，故f（a）＋f（－a）＝0，则f（－a）＝－f（a）＝－5.
8.已知f（x）＝tan ωx（0＜ω＜1）在区间［0，］上的最大值为，则ω＝.
解析：因为0＜ω＜1，f（x）在区间［0，］上的最大值为，所以f（x）max＝tan＝，所以＝，所以ω＝.
9.比较大小：tan 4＞tan 3.
解析：∵＜3＜π＜4＜π，y＝tan x在（，π）上单调递增，∴tan 4＞tan 3.
10.画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，并根据图象求出函数的单调区间、最小正周期.
解：因为y＝｜tan x｜＋tan x＝画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，如图所示，则函数的单调递增区间是［kπ，kπ＋），k∈Z，最小正周期是π.
11.如图所示，函数y＝tan（2x＋）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（ ）
A. B. C.π D.2π
解析：A 在y＝tan（2x＋）中，令x＝0，得y＝tan＝1，故OD＝1.又函数y＝tan（2x＋）的最小正周期为T＝，所以EF＝.所以S△DEF＝·EF·OD＝××1＝.
12.已知函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f（）＝（ ）
A.0 B.－
C.－1 D.
解析：A 由题意，可知T＝，所以ω＝＝4，即f（x）＝tan 4x，所以f（）＝tan（4×）＝tan π＝0，故选A.
13.设定义在区间（0，）上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为.
解析：画出函数y＝6cos x，y＝5tan x，y＝sin x在（0，）上的图象，如图所示.观察图象可知，线段P1P2的长即为满足6cos x＝5tan x时的x对应的sin x的值，所以6cos x＝5tan x＝5·，所以6cos2x＝5sin x.因为sin2x＋cos2x＝1，x∈（0，），所以0＜sin x＜1，则6sin2x＋5sin x－6＝0，所以sin x＝（负值舍去），故线段P1P2的长为.
14.已知函数f（x）＝3tan（－）.
（1）求它的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较f（π）与f（）的大小.
解：（1）因为f（x）＝3tan（－）＝－3tan（－），
所以T＝＝＝4π，
由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，
4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z，
因为y＝tan（－）在（4kπ－，4kπ＋），k∈Z上单调递增，
所以f（x）＝3tan（－）在（4kπ－，4kπ＋），k∈Z上单调递减.
故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为（4kπ－，4kπ＋），k∈Z.
（2）f（π）＝3tan（－）＝3tan（－）＝－3tan，
f（）＝3tan（－）＝3tan（－）＝－3tan，
因为＜，且y＝tan x在（0，）上单调递增，
tan＜tan，所以f（π）＞f（）.
15.已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求使y＝f（x）在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围.
解：（1）当θ＝－时，f（x）＝x2－x－1＝－.
∵x∈[－1，]，且f（x）的图象开口向上，
∴当x＝时，f（x）min＝－；
当x＝－1时，f（x）max＝.
（2）函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵f（x）在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≥或－tan θ≤－1，
即tan θ≤－或tan θ≥1，
∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z，
故θ的取值范围是（－＋kπ，－＋kπ］∪［＋kπ，＋kπ），k∈Z.
1 / 25.4.3 正切函数的性质与图象
1.函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是（ ）
A.{x∈R｜x≠}
B.{x∈R｜x≠－}
C.{x∈R｜x≠kπ＋，k∈Z}
D.{x∈R｜x≠＋，k∈Z}
2.函数y＝（－≤x≤，且x≠0）的值域为（ ）
A.[－1，1] B.（－∞，－1]∪[1，＋∞）
C.（－∞，1] D.[－1，＋∞）
3.函数f（x）＝tan（x＋）的单调递增区间是（ ）
A.（kπ－，kπ＋），k∈Z
B.（2kπ－，2kπ＋），k∈Z
C.（kπ－，kπ＋），k∈Z
D.［kπ－，kπ＋］，k∈Z
4.tan x≥1的解集为（ ）
A.{x｜x≥kπ＋，k∈Z}
B.{x｜x≥2kπ＋，k∈Z}
C.{x｜x≥}
D.{x｜kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z}
5.〔多选〕函数y＝tan的性质有（ ）
A.在（0，）上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为
6.〔多选〕与函数y＝tan（2x－）的图象不相交的一条直线是（ ）
A.x＝ B.x＝－
C.x＝ D.x＝－
7.已知函数f（x）＝tan x＋，若f（a）＝5，则f（－a）＝ .
8.已知f（x）＝tan ωx（0＜ω＜1）在区间［0，］上的最大值为，则ω＝ .
9.比较大小：tan 4 tan 3.
10.画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，并根据图象求出函数的单调区间、最小正周期.
11.如图所示，
函数y＝tan（2x＋）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（ ）
A. B.
C.π D.2π
12.已知函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f（）＝（ ）
A.0 B.－
C.－1 D.
13.设定义在区间（0，）上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为 .
14.已知函数f（x）＝3tan（－）.
（1）求它的最小正周期和单调递减区间；
（2）试比较f（π）与f（）的大小.
15.已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求使y＝f（x）在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围.
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